天体运动复习资料

高一春季期期末（补充）复习资料Ⅱ 第六章  第二部份 一、天体运动中常规问题的处理 1、天体运动中的绝大多数问题解决的原理及比较单一，处理的基本思路是：将天体的运动近似看成匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列方程，向心加速度按涉及的运动学量选择相应的展开形式。 ，由此方程组要熟练掌握求线速度、角速度、周期、中心天体质量、中心天体密度、第一宇宙速度、最小周期的方法，如有必要，可结合黄金代换式简化运算过程。  二、变轨问题 1、当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由G＝m得v＝，由此可见轨道半径r越大，线速度v越小．当由于某原因速度v突然改变时，若速度v突然减小，则F＞m，卫星将做向心运动，轨迹变为以减速点为远地点的椭圆；若速度v突然增大，则 F＜m，卫星将做离心运动，轨迹变为以加速点为近地点的椭圆。 2、卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术。 ①卫星从圆轨道变到椭圆轨道分析：如图，设卫星原来在1轨道上 做圆周运动则有，到达Q时，若速度突然增大为，则 由于此时，卫星将做离心运动，轨迹变为以Q为近地点的椭圆。 ②卫星从椭圆远点变到圆轨道分析：如图，在椭圆轨道2远地点p， 万有引力，要使卫星改做圆周运动轨道3，必须满足 和， 而在远点明显成立，所以只需增大速度，让速度增大到成立即可，由此可知椭圆轨道2在远地点p的速度小于圆周运动轨道3的线速度。 这个任务由卫星自带的推进器完成。“神舟”飞船就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的。 ③卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同． 三、追及问题 说明：圆周运动中的追及和相遇问题应“利用（角）位移关系列方程”。当然，如果能直接将角位移关系转化成转动圈数关系，运算过程更简洁，但不如利用角位移关系容易理解，而且可以和直线运动中同类问题的解法统一起来，记忆比较方便。常见情况下的角位移关系如下，请自行结合运动过程示意图理解。设，则：     例：两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为，卫星离地面的高度等于，b卫星离地面高度为，则：（1）、、b两卫星运行周期之比是多少？ （2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则至少经过多少个周期与b相距最远？ 解：（1）对做匀速圆周运动的卫星使用向心力公式：  可得：   所以 （2）由可知：，即转动得更快。   设经过时间两卫星相距最远，则由图可得：      其中时对应的时间最短， 而  所以， 得： 四、同步卫星、近地卫星、赤道上的物体各物理量的比较。 1、同步卫星与近地卫星都是由万有引力提供向心力遵循相同的运动规律，总结有： 注：若不知卫星的质量关系不能比较万有引力的大小。 2、同步卫星和赤道上的物体有相同的角速度和周期，所以由可得   注：若三者一起比较，则同步卫星做为“桥梁”关系 例：地球同步卫星离地心距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是(  ) A、　  　B、      C、          D、      五、地面附近的物体万有引力与重力的关系 1、 合力与分力的关系 如图所示，设地球质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则地球对物体的万有引力方向指向地心O。大小为，同时由于物体随地球自转，在平行于赤道平面的轨道平面内做匀速圆周运动，需要的向心力指向轨道圆心，大小为 由图看出，万有引力F的另一个分力就是物体受到的重力mg，即物体所受的重力mg为其所万有引力F的其中一个分力。 六、双星、三星问题 1、双星：在天体运动中，将两颗彼此相距较近远离其它星体的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，它们以两者连线上的某一点为圆心做角速度相同的匀速圆周运动。 双星系统具有以下特点: (1)双星彼此间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力,即向心力等大、反向. (2)双星具有共同的角速度,轨道半径和线速度均与双星的质量成反比. (3)双星始终与它们共同的圆心在同一条直线上. （4）轨道半径不等于引力距离（这一点务必理解）。 例：宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不至于因万有引力的作用吸引到一起.设二者的质量分别为m1和m2,二者相距为L.求: (1)双星的轨道半径之比;  (2)双星的线速度之比;  (3)双星的角速度. 分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终 与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也 相等。但两者做匀速圆周运动的半径不相等。 解：设行星转动的角速度为，周期为T 由万有引力提供向心力有: ① ② (1)①②两式相除,得＝.      (2)因为v＝ωR,所以＝＝. (3)由几何关系知:R1＋R2＝L③      联立①②③式解得:ω＝ 补充问题：若已知双星的角速度和距离能求两颗星的总量吗？ 2、三星问题：宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上（如下图）,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。（设想一下行星做圆周运动的向心力如何求？） 七、火箭或飞船在上升（下降）阶段中的超失重问题 例：某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在卫星中， 在卫星以加速度随火箭加速上升的过程中，当物体 与卫星中的支持物的相互压力为90N时，求此时卫星距地球面有多远？（地球半径。） 分析：物体具有竖直向上的加速度，处于超重状态，物体对支持物的压力大于自身实际重力， 而由于高空重力加速度小于地面重力加速度，同一物体在高空的实际重力又小于在地面的实际重力。 解：如图，设此时火箭离地球表面的高度为h，火箭上物体对支持物的压力为FN，物体受到的重力为。根据超、失重观点有 可得            而由；   可得 所以 说明：航天器在发射过程中有一个向上加速运动阶段，在返回地球时有一个向下减速阶段，这两个过程中航天器及内部的物体都处于超重状态；航天器进入轨道作匀速圆周运动时，由于万有引力（重力）全部提供向心力，此时航天器及内部的所有物体都处于完全失重状态。 高一春季期期末（补充）复习资料Ⅱ  第六章  第一部份 三个宇宙速度 一．知识网络 二．基本公式及注意： 1．向心加速度a＝υ2/r＝ω2r＝(2π/T)2r  2．向心力F心＝mυ2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωυ=F合 3．开普勒第三定律：T2/R3＝K(K＝4π2/GM)｛R:轨道半径，T:周期，M：中心天体的质量，K:常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝ 4．万有引力定律：F＝Gm1m2/r2 （G＝6.67×10-11N•m2/kg2，方向在它们的连线上） 注意： 1．天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向＝F万； 2．应用万有引力定律可估算天体的质量、密度等； 3．地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同； 4．卫星轨道半径变小时、速度变大、角速度变大、周期变小（一同三反）； 5．地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。 三．几个问题    1．地球表面的物体所受到的重力近似等于万有引力，即有 （其中R为地球的半径，M为地球的质量） 2．求重力加速度的方法：得重力加速度 3．求天体的质量及密度：方法一：（用万有引力等于向心力来求解） 得中心天体的质量 中心天体的密度 方法二：（用万有引力等于重力来求解）得M=gR2/G    4．人造卫星：得： 线速度，角速度，周期 5．地球同步人造卫星：在赤道上空，周期为24小时；高度、线速度大小、角速度、周期、频率均是一定的，且有GMm/(r地+h)2＝m4π2(r地+h)/T2｛h≈36000km，h:距地球表面的高度，r地:地球的半径｝ 6．第一宇宙速度（环绕速度）7.9km/s， 地球 计算方法一 m/s 方法二 m/s 第二宇宙速度（逃逸速度）11.2km/s， 第三宇宙速度（脱离速度）16.7km/s. 例2．已知地球的质量为M，半径为R；月球的质量为m， 半径为r0；月球绕地球做圆周运动的轨道半径为r，周 期为T，如图右所示。引力常量为G，则    A．地球表面处的重力加速度等于  B．地球表面处的重力加速度等于 C．月球表面处的重力加速度为      D．月球表面处的重力加速度为 分析与解答：由及得地球表面处的重力加速度等于，故AB均错；月球表面处的重力加速度为，故C对D错. 例3．2008年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的神舟七号飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功，9月27日翟志刚成功实施了太空行走。已知神舟七号飞船在离地球表面高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，地球的半径R，万有引力常量为G．在该轨道上，神舟七号航天飞船        A．运行的线速度大小为；        B．运行的线速度大于第一宇宙速度     C．运行时的向心加速度大小为；  D．地球表面的重力加速度大小为 分析与解答：运行的线速度大小，故A错；由得，所以神舟七号飞船运行的线速度小于第一宇宙速度，故B错；运行时的向心加速度大小为，故C错；由及得地球表面的重力加速度大小，故D对. 例4．一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体．要确定该行星的密度只需要测量（已知引力常量为G）  A．飞船的轨道半径    B．飞船的运行速度  C．飞船的运行周期    D．行星的质量 分析与解答：，行星的密度，故C对。 例5．在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球运动，可视为绕地球做匀速圆周运动。每到太阳活动期，由于受太阳的影响，地球大气层的厚度增加，从而使得某些太空垃圾进入稀薄大气层，运动轨道半径开始逐渐变小，则这块太空垃圾的： A、线速度逐渐变小；            B、加速度逐渐变小； C、运动周期逐渐变小；          D、机械能逐渐变小。 分析与解答：CD  提示：因为太空垃圾绕地球运动，可视为绕地球做匀速圆周运动，所以有，太空垃圾运动轨道半径r逐渐变小，线速度逐渐变大、运动周期逐渐变小，故A错C对；加速度，半径r逐渐变小加速度逐渐变大，故B错；太空垃圾进入稀薄大气层与大气摩擦产生热量，机械能转化为热量，所以机械能逐渐变小，故D对. 例6．已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍，若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，他的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为： A．6个小时        B．12小时        C．24小时          D．36小时 分析与解答：设地球半径为R，密度为ρ1，自转周期为T1，设行星半径为r，密度为ρ2，自转周期为T2，根据万有引力定律得： 对地球同步卫星有：，对行星的同步卫星有： 由题知ρ1=2ρ2，又知地球同步卫星周期T1=24小时，由以上各式得T2=12小时，故B正确. 高一春季期期末（补充）复习资料Ⅱ第六章  第二部份 训练题 1． 开普勒三定律也适用于神舟七号飞船的变轨运动。飞船与火箭分离后进入预定轨道，飞船在近地点（可认为近地面）开动发动机加速，之后，飞船速度增大并转移到与地球表面相切的椭圆轨道，飞船在远地点再次点火加速，飞船沿半径为r的圆轨道绕地运动。设地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若不计空气阻力，试求神舟七号从 近地点到远地点的时间（变轨时间）。 2．荡秋千是大家喜爱的一项体育活动．随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。假设你当时所在星球的质量是M、半径为R，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为G。那么， （1）该星球表面附近的重力加速度等于多少？ （2）若经过最低位置的速度为,你能上升的最大高度是多少？ 3．如图所示，A是地球的同步卫星。另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，已知地球半径为R，地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。 （1）求卫星B的运行周期；（2）若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间， 他们再一次相距最近？   4．北京时间9月27日17时，航天员翟志刚在完成一系列空间科学实验，并按预定进行太空行走后，安全返回神舟七号轨道舱，这标志着我国航天员首次空间出舱活动取得成功。若这时神舟七号在离地面高为h的轨道上做圆周运动，已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g。航天员站在飞船时，求：（1）航天员对舱底的压力，简要说明理由。（2）航天员运动的加速度大小。 5．为了迎接太空时代的到来，美国国会通过一项计划：在2050年前建造成太空升降机，就是把长绳的一端搁置在地球的卫星上，另一端系住升降机。放开绳，升降机能到达地球上；人坐在升降机里，在卫星上通过电动机把升降机拉到卫星上。已知地球表面的重力加速，地球半径为R。求：  （1）某人在地球表面用体重计称得重800N，站在升降机中，当升降机以加速度（g为地球表面处的重力加速度）竖直上升时，在某处此人再一次用同一体重计称得视重为850N，忽略地球自转的影响，求升降机此时距地面的高度h；  （2）如果把绳的一端搁置在同步卫星上，地球自转的周期为T，求绳的长度L至少为多长? ：1、      2、（1）（2） 　3．（1）（2） 　4．（1）航天员对神舟七号的压力为零。解释：略（2）。 5．（1）；（2）。