耐克函数

耐克函数 双钩函数 函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)叫做双钩函数。 (注:形如 ?ax-b/x 的函数不是双钩函数) 该函数是奇函数，图象关于原点对称。位于第一、三象限。 当x>0时，由基本不等式(均值不等式)可得:y ?2?ab 当且仅当ax=b/x,即x=?(b/a)时取等号。 故其顶点坐标为(?(b/a)，2?ab)，图象在(0，?(b/a))上是单调递 减的，在(?(b/a)，+?)上是单调递增 同理:当x<0时，由基本不等式可得:y?-2?ab 当且仅当ax=b/x,即x=-?(b/a)时取等号。 故其顶点坐标为(-?(b/a)，-2?ab)， 图象在(-?，-?(b/a))上是单调递增, 在(-?(b/a)，0)上是单调递减的. 当a<0,b<0 时可转化为a>0,b>0的情况 因为它是奇函数 所以，当x<0时，由基本不等式可得:y?-2?ab 当且仅当ax=b/x,即x=-?(b/a)时取等号。 故其顶点坐标为(-?(b/a)，-2?ab)， 图象在(-?，-?(b/a))上是单调递增, 在(-?(b/a)，0)上是单调递减的. 当a<0,b<0 时可转化为a>0,b>0的情况 下面我们证明函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)在x>0上的单调性 设x1>x2且x1，x2?(0，+?) 则f(x1)-f(x2)=(ax1+b/x1) -(ax2+b/x2) =a(x1-x2)-b(x1-x2)/x1x2 =(x1-x2)(ax1x2-b)/x1x2 因为x1>x2，则x1-x2>0 当x?(0，?(b/a))时，x1x2b/a 则ax1x2-b>b-b=0 所以f(x1)-f(x2)>0，即x?(?(b/a)，+?)时，f(x)=ax+b/x单调递增。