怎样的弹簧才是“轻质弹簧”

怎样的弹簧才是“轻质弹簧” 怎样的弹簧才是“轻质弹簧” 第23卷总第253期 2005年第10期(上半月) 物理教学探讨 JournalofPhysicsTeaching Vo1.23No.253 (S)i0.2005.37. 怎样的弹簧才是" 肖立 轻质弹簧" 绍兴稽山中学校,浙江省绍兴市312000 高中物理课本在定义"弹簧振子"这个概念 时明确指出它必须满足两个条件:第一,小球滑 动时的摩擦力很小,可以忽略.第二,弹簧的质量 比小球小得多,也可以忽略. 中学范围内关于弹簧振动周期的习题中,除 了直接指出是"弹簧振子"以外,对于弹簧的说 明一般都指出是属于"轻质弹簧".课后一位学生 提出这样的疑问:是不是质量很小的弹簧才叫轻 质弹簧?对于这个问题,参考书是这样回答的:弹 簧的质量比小球的质量小得多才叫轻质弹簧,但 究竟要小到多少才算得上"小得多"呢?当弹簧 的质量比小球的质量不是小很多或者两者大小 相当的情况下(摩擦阻力和其他阻力仍不计),又 如何来求弹簧的振动周期呢?这就是我们要来讨 论的问题. 设匀质弹簧连同小球一起被穿在一光滑的 水平杆上,弹簧的原长为f,质量为m,劲度系数 为k,其一端固定在支架上,小球质量假设为肘. 现使小球拉离平衡位置并达到最大位移,然后放 手,让其连同弹簧在光滑的杆上自由振动,可以 设想,小球以及弹簧上每一质点各自在其平衡位 置附近以相同的位相和频率作简谐振动,即各质 点同时到达其平衡位置;也同时达到其最大位 移,而且,各质点的振幅却与它离固定端O的距 离成正比,小球振动的振幅最大且等于A. 如图所示,设弹簧上 某点P的平衡位置在 轴上的坐标为,它在平 衡位置附近振动的最大 位移为,其振动方程可示为: l=COS(oat+). P点的振动速度: ::一Xo)si'n(mt+).一丁+. 在P点取质量微元dm=Adz(此入为弹簧 的线密度,为dm的长度),此质量微元在t时 刻的振动动能为: dEx: : 专A2x2m2sin2(t+). 对积分即可求出弹簧在t时刻具有的振动 动能: E=IdEx = 吉A2aj2sin2(„)X2dx = 吉以2sin2(~t+). 另外,我们可以求出小球在t时刻具有的振 动动能: EK=告m2$in2(mt+). 显然,当小球达到其平衡位置时,弹簧上各 质点也达到其平衡位置,此时,弹簧和小球的振 动动能的和达到最大值,它应该等于弹簧有最大 伸长时外力对弹簧所做的功,因此有: 吉22+1MA2?2=1M2. 厂—一 ?. 也可以写成: T=27r 4M+2/3. 这就是当弹簧质量m不能忽略时,弹簧振 子周期的表达式. 如果以To=27r?警表示理想弹簧振子振 动的周期,那么比较理想弹簧振子和弹簧质量不 能忽略这两种情况下的周期,可以得到两者的比 值为: T?+. 由上式可知:当M=m时,T=1.15To; 当M=5m时,T=1.03To; 当M=10m时,T=1.01To.一般说来, >10m时,实例中的弹簧就可以看作是"轻质弹 簧"了.(栏目编辑罗琬华)