一元二次方程的解法(因式分解法)

一元二次方程的解法(因式分解法) 一元二次方程的解法——因式分解法 教学目标: 1. 会用因式分解法解一元二次方程。 2. 会通过一元二次方程根的判别式，判别一元二次方程根的情况，会通过一元二次方程 根的情况确定字母的取值范围。 3. 选择适当的方法解一元二次方程。 重点、难点: 重点: 1. 选择适当的方法解一元二次方程 2. 应用判别式解决问题 难点: 1. 选择适当的方法灵活地解一元二次方程 2. 通过一元二次方程根的情况确定字母的取值范围 教学过程: (一)知识要点: 1. 一元二次方程解法四:因式分解法 把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式， 如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方 程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。 2. 一元二次方程根的判别式 若一元二次方程有两个不等实根 若一元二次方程有两个相等实根 若一元二次方程无实根 【典型例题】 例1. (1) (2) (3) (4) 解: (1)去括号，整理得: 因式分解，得: 或 (2)整理得: 因式分解得: 或 (3)整理得: 因式分解得: 第 1 页 共 4 页 一元二次方程的解法——因式分解法 (4)整理得: 因式分解得: 或 例2. 不解方程，判断下列方程是否有实根，若有，指出相等还是不等。 (1) (2)(x是未知数) 解: (1)原方程化为: ?方程有实根，且有两个相等实根 (2)当a为任何实数时，都有，所以总有，即方程 是一元二次方程，有 其中，对a的任何实数值都有是正数，因而一定是负数，也就是， 对a的任何实数值，都有，于是可知，无论对a取任何实数值，原方程都没有实数根。 例3. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 解:当且仅当是一元二次方程时，才可能有两个实数根，所以有， 又由于方程有两个不相等的实根，k又应满足条件，所以方程有两个实 根的条件是: 解这个不等式组，得: 所以，k的取值范围是且 例4. 求证:当a和c的符号相反时，一元二次方程一定有两个不等实 根。 分析:只需证 证明:在中，当a和c符号相反时，有 又由于b为任何实数时，总有，于是有 ?当a和c的符号相反时，方程一定有两个不等实根。 第 2 页 共 4 页 一元二次方程的解法——因式分解法 例5. 已知关于x的方程在下列情况下，分别求m的非负 整数值。 (1)方程只有一个实数根 (2)方程有两个相等的实数根 (3)方程有两个不相等的实数根 分析:由于既没有指出已知方程是一元二次方程，也没有给出条件，所以它不 一定是一元二次方程，应作分类讨论。 解: (1)当，即m,2时，已知方程是一元一次方程 也就是当m,2时，已知方程只有一个实数根 (2)当已知方程有两个相等的实数根时，必须且只需 ?当m,3时，已知方程有两个相等的实数根。 (3)当已知方程有两个不相等的实数根时，必须且只需 由于m是非负整数，所以满足条件的值是 m,0或m,1 ?当m,0或m,1时，已知方程有两个不等的实数根 小结:我们利用两周的时间学习了一元二次方程的解法，希望同学们注意总结各种方法， 在今后解一元二次方程时应用适当的方法，一元二次方程实数根的判别式是一元一次方程一 章的一项重点内容，它阐述了判别式和实根情况的对应关系，对同学们综合能力的提高有很 大影响。 【模拟】(答题时间:30分钟) 一. 用适当方法解一元二次方程: 1. 2. 3. 4. 二. 不解方程，判断下列各方程根的情况 1. 2. 3. 三. k为何值时，方程的两个根相等, 四. k为何值时，方程有两个不相等的实根, 第 3 页 共 4 页 一元二次方程的解法——因式分解法 五. k为何值时，方程没有实根, 【试题】 一. 1. ， 2. ， 3. 4. ， 二. 1. 无实根 2. 有两个相等的实根 3. 有两个不等的实根 三. 或3 四. 五. 第 4 页 共 4 页