参数方程和普通方程的互化

参数方程和普通方程的互化 教学目标 1(理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的( 2(基本掌握消去参数的方法( 3(培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力(即在“互化”训练中，提高学生解决数学问题的转化能力( 教学重点与难点 使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则，明确新旧知识之间的联系，掌握消去参数的基本方法( 教学过程 放投师:前面的课程里，我们学习了参数方程，下面请看这样一个问题:(影片) 222由圆外一点Q(a，b)向圆x+y=r作割线，交圆周于A、B两点，求AB中点P -5)( 的轨迹的参数方程(如图3 割线过点Q(a，b)，故割线PQ方程为: 分析 此斜率k可作为参数((投影) 解 设过点Q的直线方程是y-b=k(x-a)，则圆心O与AB中点P的 即为所求点P的轨迹的参数方程( 师:你能根据点P的参数方程说出点P的轨迹吗, 生:(无言以对)看不出来( (启发学生猜想，培养参与意识() 师:你通过题目中点P符合的条件，多画几个点，猜想一下它的形状( 学生在纸上画，讨论() ( 生:点P的轨迹(1)过坐标原点，也就是已知圆的圆心((2)轨迹不是直线( 师:参数方法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法(也就是说，参数方程里的参数可以协调x、y的变化(基于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程(即想办法消去参数k，把参数方程转化为我们熟知的普通方程，再去研究它的几何性质就容易了( 22把(3)代入(2)得:x-ax+y-by=0((4) 方程(4)证实了我们的猜想是正确的，具体地说:点P的轨迹是一个过圆心 222的圆弧(在圆x+y=r的内部)( 师:以上事例说明，有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，确实需要把参数方程化为我们认知的普通方程(这节课我们就来学习把参数方程化为普通方程的法则( 0例1 炮弹从点(0，0)以初速度v向倾斜角为α的方向发射，问:(1)在时刻t的高度和水平距离如何,(2)炮弹描绘的(弹道)是一条什么样的曲线, (学生通过物理知识，很容易解决这个问题() 解 (1)设炮弹发射后的位置在点M(x，y)(如图3-6)，因为炮弹在Ox方向是以vcosα为速度的匀速直线运动，在Oy方向是以vsinα为初速度的竖直上00 抛运动，所以按匀速直线运动的公式知:炮弹在时刻t的水平距离是x=vcosα?t，0按竖直上抛运动的位移公式知:炮弹在时 即弹道曲线的参数方程上看不出来，那么怎么办呢, 生:消去参数t，转化成为普通方程后，就可看出曲线的形状了( 故炮弹描绘的曲线是一条抛物线((含顶点在内的一部分(因为二次项系数是负值，所以这是开口向下的抛物线，与实际问题相吻合() 例2 把参数方程 即3x+5y-11=0是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线( 师:这个同学理解了消参的基本方法——代入消参法(这正与解方程组中代入消元法相类似(他用学过的知识解决了新问题(你认为他的解题过程有问题吗, 生:挺好的(我与他解的一样，没问题( 师:同学们在解题时注意参数t的取值范围了吗, 生:t为不等于-1的实数，即t?-1( 师:答案是否有何不妥, 生:没觉得哪儿不妥，轨迹确实是一条直线( 师:普通方程是相对于参数方程而言的，它反映了坐标变量x与y之间的直接关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x与y之间的间接关系(如能消去参数(不是所有的参数方程都能化为普通方程)，参数方程就转化为普通方程，所以普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同的表达形式(为此，在化参数方程为普通方程时，必须注意变数的范围不应扩大或缩小，也就是对应曲线上的点不应增加也不应减小(这就要求参数方程和消去参数后的普通方程等价(请修正一下你的答案( 生:3x+5y-11=0(x?-3)是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线(去掉点(-3，4))( 师:观察一下方程(1)、(2)的形式与你学过的知识中哪个式子类似,(提供类比，用以理解直线的参数方程形式不只一种，它与选定的参数相关() 至此，想必学生悟到t的几何意义:动点P分PP所成的比，即t= 12 解 过点(2，1)，(-3，4)的直线方程是: 化简，得3x+5y-11=0( 师:这个事实说明，据参数的几何意义，也能达到消参的目的( 师:例2表明，直线的参数方程的形式不只一种(那么对同一个参数方程来 说，指定的参数不同，会带来曲线的形状不同吗,你试试看((激发学生探索问 题的兴趣) 生:对同一个参数方程来讲，由于指定的参数不同，会带来曲线形状的变化( 例4 化下列参数方程为普通方程( (让学生按小组讨论求解，然后在投影仪上打出答案() 222略解 (1)(x+1)+y=sinθ+cosθ， 2所以 (x+1)+y=1，(0?y?1)( 22所以x-y=4( 师:消去参数的方法常用的有哪些,转化过程中应注意什么, (学生讨论后教师板书) 消去参数的方法常用的有以下两种: (1)代入法:先求出参数的表达式，然后代入另一个方程中去(如例1)( (2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数((如例4) 转化过程中应注意参数的范围不能扩大也不能缩小(也就是对应曲线上的点，不应增加也不应减少，保证参数方程和消参后的普通方程等价( 师:方程组中有3个变量，其中的x和y表示曲线上点的坐标;θ是参变量(参数方程之所以能描绘出动点的轨迹，是由于当给出一个参数值时，就能唯一地求出相应的x与y的值，因而也就确定了这时点所在的位置(所以问题可转化为讨论当θ为何值时，点P到直线的距离最小问题( 因为tanθ、cotθ同号， 又|tanθ+2cotθ+2|?|tanθ+2cotθ|-|2|， 从例5的结论知道，参数θ不是问题的主要对象，却能牵动主要对象的根本性质(这个问题的解决再一次说明:参数方程能明确地揭示点的运动规律，对解决某些问题有不可替代的优越性( 师:这节课我们学习了参数方程化为普通方程的法则( 首先通过问题的提出，我们知道有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程(又在将参数方程化为普通方程的过程中，掌握了消去参数的常用方法，并且理解了参数方程和消去参数后所得的普通方程为什么要等价( 家庭作业: 一、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线( 2二、关于t的方程t+(2+i)t+4xy+(2x-y)i=0(x，y?R，i是虚数单位)有实根，求动点P(x，y)的轨迹的普通方程( 下面是作业题略解( 222一、(1)(x-x)+(y-y)=t， 00 以(x，y)为圆心，|t|为半径的圆( 00 (2)y-y=tanθ(x-x)，过点(x，y)，斜率是tanθ的直线( 0000 (3)2x+y-5=0(0?x,3)，缺一个端点的线段( 22(4)y-x=4(y?2)，双曲线的上支( 二、已知方程整理为: 2(t+2t+4xy)+i(2x-y+t)=0 因为x，y，t?R， 22得4x+y+4x-2y=0为所求( 说明 参数方程与普通方程的互化，应该是两课时，这是第一课时的:参数方程化为普通方程(对这一问题课本仅用3,2页的篇幅介绍了互化的方法共3个例题(纵观全章《参数方程、极坐标》也只是对参数方程进行了初步研究(而事实上，参数方程也是解析几何的重要内容之一，是继续学习数学知识的基础，在生产实践中也有广泛的应用(我们知道，参数方程与带有参数的问题固然不同，但是学习参数方程对于熟练参数的运用却很有帮助(更有一类问题，看来不是参数方程，而实质上是参数方程问题( 这就是所求轨迹的方程，轨迹是双曲线( 这解法有些使人莫名其妙，实际上这是参数方程(本来我们应该先把对应直线的交点求出来: 这就是所求轨迹的参数方程(为了求x、y的方程而消t的话，可以照这样进行: 数学中的参数好像是一种活泼的元素，有它的时候可以添一些麻烦，但这麻 烦却多半是有趣的现象(它能使一些问题化繁为简(故活用参数， 问题，常规解法是: 这一问题也可巧用参数，把它转化成求过动点(cosθ，sinθ)和定点(1，2)直线的斜率取值范围问题(动点P(cosθ，sinθ)的轨迹是以坐标原点为圆心，1为半径的圆(挖去(1，0)点)(如图3-7知: (北京市陈经纶中学 纪小华)