数学模型答案

模型 《数学模型》公选课试卷 一、填空题(每题5分，满分20分): xx1. 设开始时的人口数为，时刻的人口数为，若允许的最大人口数为，人口tx(t)0m增长率由表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 . r(x),r,sx xxxdmrx(1),x(0)xx(t).,,,,, 0xdtx,rtmm1，(,1)ex0 2. 设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 . 1021,32.5779(万元) 920 3. 一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 . A,AB,B4. 设某种物资有两个产地，其产量分别为10、20，两个销地的销量相等1212 a,均为15。如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为则最优运输与运价具有 两个特点. 22 Maxx,,ijij,,11 st. x，x,101112 x，x,20 2122 x，x,151121 x，x,151222 1 二、分析判断题(每题10分，满分20分): 1. 一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”。交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路。那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素,试至少列出3种。 2. 在文字教材4.1中我们给出了营养配餐问题的数学模型 minZ=4x+3x 12 xx10，5,50,(1),12,xx5，8,40,(2),12s.t. ,6x，5x,42,(3)12, ,x,x,012, x,x其中表示参与配餐的两种原料食品的采购量，约束条件(1)、(2)、(3)依次表示铁、12 *Tx,(2,6)蛋白质和钙的最低摄入量。并用图解法给出了其最优解，试分析解决下述问题: (1) 假如本题的目标数不是求最小而是求最大值类型且约束条件不变，会出现什么结果, (2) 本题最后定解时，只用了直线(1)与直线(3)，而直线(2)未用上，这件事说明了什么,试从实际问题背景给以解释. 解:(1)假如本题的目标函数不是求最小而是求最大值类型且约束条件不变，则可行域不存在，故无解。 5010(2)，若用直线(2)， ，50/11〉10/11，则z不可能取到最小，同理直x,(,)1111 线(2)与直线(3)也不可能取到最小。 2 三、计算题(每题20分，满分40分): 1. 某公司自国外A厂家进口一部分精密机器.由厂家到出口港有三个港口B、B、B123供选择，运费依次为20，40和30;而进口港也有三个可供选择，代号为C，C和C，运123 C,C,C费为:B到C、C、C依次为70、40、60，B到C、C、C依次为30、20、40，B到112321233123依次为40、10、50;进口后可经由两个城市D、D运抵目的地E，从C、C、C到D、121231D的运费为10和40，60和30，30和30;从D、D到E的运费则为30和40. 试利用图212 模型协助策划一个运输路线，使总运费最低. 首先建立图模型如图 70 10 BC1 1 40 40 60 30 D 1 20 60 30 40 20 BCE A 2 2 30 40 30 40 30 D40 2 10 30 BC50 3 3 其次，利用双标号法求最短路线过程如图 20 70 90 70 10 100 80 BC1 1 40 40 60 30 D1 20 40 60 40 60 110 30 0 40 20 BA CE 2 2 30 40 30 40 30 D40 2 10 30 70 BC50 3 3 30 80 最后，利用逆向搜索法可得最优运输方案为 A,B,C,D,E, 方案1 322 A,B,C,D,E, 方案2 311 A,B,C,D,E.l,110. 方案3 211min 3 2. 某工程队承担一座桥梁的施工任务.由于施工地区夏季多雨，需停工三个月.在停工期间该工程队可将施工机械搬走或留在原处.如搬走，需搬运费1800元.如留原处，一种方案是花500元筑一护堤，防止河水上涨发生高水位的侵袭.若不筑护堤，发生高水位侵袭时将损失10000元.如下暴雨发生洪水时，则不管是否筑护堤，施工机械留在原处都将受到60000 据历史资料，该地区夏季高水位的发生率是25%，洪水的发生率是2%.试用决策元的损失. 树法分析该施工队要不要把施工机械搬走及要不要筑护堤, 答:首先，建立决策树模型如图 -1800 B 搬走 高水位 0.25 -500 A D 筑堤 洪水 0.02 -60500 不搬走 C 高水位 0.25 -10000 不筑堤 B 洪水 0.02 -60000 其次，使用期望值法计算过程见图 -1800 -1800 B 搬走 高水位 0.25 -1335 -500 A D 筑堤 洪水 0.02 -1335 -60500 不搬走 C 高水位 0.25 -3700 -10000 不筑堤 B 洪水 0.02 -60000 最优决策为:不必搬走机械，但要筑一个护堤，期望损失1335元。 4 四、综合(本题满分20分): 试建立确定情形下允许缺货的存储问题的数学模型。 提示: 所谓的确定情形下的存储模型是指文字教材第一章提到过的不允许缺货的存储模型;所谓允许缺货是在不允许缺货模型假设条件下，再考虑因缺货造成的损失建立相应的模型。(要求按照五步建模法进行建模工作，本题应给出五个步骤。) 22cRc**bbR解:确定型且不允许缺货的存储模型公式:，其中是平QT,,,ccRss **ccQT,均每天的销售量，为一次进货手续费，为单位商品存储费(元/天);而bs 分别为一次进货量和相邻两次进货的时间间隔. 5