空间想象力测试 向量与空间想象力

空间想象力测试 向量与空间想象力 向量与空间想象能力 首都师范大学 王尚志 北大附中 张思明 首都师范大学 胡凤娟 西安市教研室 汪香志 内容摘要:向量是高中数学课程的重要组成部分。高中数学教师有必要对高中向量部分有一个正确的理解。本文将阐述用向量来处理立体几何问题能使问题变得简单，同时又不削弱空间想象能力的发展。本文将对以下几个部分进行讨论:空间想象能力与高中几何课程目标，高中几何概念与空间向量，距离、交角与算法，三垂线定理与空间向量，用空间向量讨论立体几何的某些问题，我们提供一些思考的角度，希望通过这些讨论，提供高中数学教师理解高中几何中的向量。 关键词:空间向量，空间想象能力，三垂线定理，距离， 1 交角 1、空间想象力与高中几何课程目标 《普通高中数学课程》在“课程目标”中指出:“提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据推理等基本能力”; 《普通高中数学课程标准》在“内容标准”中指出:“三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求”。 在高中数学中，“空间想象能力”的培养是依托内容实现的，在必修2的几何课程中， 直观图、三视图、空间基本图形(点、线、面)的位置关系等是培养“空间想象能力”的载体，对于希望在理、工科发展的学生来说，选修2中“空间向量与立体几何”是培养“空间想象能力”的又一载体。在学习这些内容的过程中，提升学生的“空间想象能力”; “空间想象能力”的增长，又有助于学生理解这些内容的数学本质，内容的学习与能力的培养是不可分割的。例如:“逻辑推理能力”的培养，是可以用多种载体来实现的，下象棋、下围棋、打桥牌等都有助于培养“逻辑推理能力”，在数学课程中，我们是通过具体的数学内容来培养“逻辑推理能力”的;反之，“逻辑推理能力”的增长，有助于对设定的数学内容的理解。“内容目标”和“能力目标” 2 是相辅相成的。 在这里，我们着重来讨论“空间向量与立体几何”与培养“空间想象能力”之间的关系。首先，我们应该清楚“空间向量与立体几何”要解决的基本问题，主要是讨论基本图形(点、线、面)的位置关系，而主要是平行关系和垂直关系，这两种关系是数学中的基本关系，在大学的几何课程和其他数学课程中，这两种关系都起到非常重要的作用;另一个任务是讨论空间图形的度量关系，主要是距离和角度，面积和体积及其他度量关系在大学还会继续学习。在与这些问题有关的概念、求解过程、定理的证明和应用学习过程中，提升“空间想象能力”。“空间向量”是学习的内容，也是提升“空间想象能力”的载体，同时也是研究空间图形性质的基本工具和方法，不仅在讨论高中几何中有重要的作用，这种方法在以后的数学学习中，也是基本的和重要的，是我们老师经常说的“通性通法”。 有人指出:“空间想象能力”是“对于客观事物的空间形式(形状、结构、度量及位置 关系)及其符号表示想象和再造想象的能力”，而培养学生的“空间想象能力”应结合观察力、记忆力和思维能力的提高来进行。这些观点一定要结合学习的内容，射影几何有射影几何的内容，泛函有泛函的内容等，它们都是培养“空间想象能力”的载体。 3 2、高中几何概念与空间向量 在这里我们主要讨论距离、角度等概念与向量的关系，即用向量的观点认识距离和角度 与综合几何认识距离和角度之间的差异，以及对“空间想象能力”的影响。 (1)距离 空间距离问题主要是点到直线、两平行直线、两异面直线、点到平面、平行于平 面的直线与该平面、两平行平面之间的距离，而其中点到直线、点到平面的距离是基础，其 他几种距离问题一般都可以化归为求这两种距离。 “点P到直线l的距离”的定义:过点P向直线l作垂线，垂足为Q则 线段PQ的长就是点P到直线l的距离; 用向量的方法理解:先确定直线的方向向量，再在点P和直线l确定 的平面 上，找出直线l的法向量，然后在直线l上任取一点Q，确定 向量，那么向量在向量上的投影 Q P ||cos , 的绝对值就是“点P到直线l的距离”。 “点P到平面 的距离”:根据已知点P是平面 外的任意一点，过 点P作PA ，垂足为A，则PA唯一，PA的长是点P 4 到平面 的距 离。 用向量的方法加以理解:先描述平面 的方程，再求出平面 的法向量，然后在平面 直线l上任取一点Q，确定向量 量，那么向在向量上的投影Q P ||cos , 的绝对值就是 “点P到平面 的距离”。 “平行于平面 的直线l与该平面的距离”可以转化为“点P到直线l的距离”问题， 即:“平行于平面 的直线l与该平面的距离”可以看成是直线l上任意一点P到平面 的 距离。 “两平行平面的距离”:指两平面之间的距离。即:平面的法向量在 两平面之间的长度，是图五中Q P 的长度。 “异面直线的距离”:指两异面直线的公垂线在这两异面直线间的线段 的长度。这里公垂线并不好找，那么我们有两种方法来转化这个问题:设两异面直线为l1,l2。 第一种是:在直线l1,l2上分别任意取两点P,Q，过点P作直线 5 l2//l2，ll//l1，Ql 211则与可以确定一个平面;再过点作直线则l2与 l1可以确定一个平面 ，则平面 与平面 之间的距离就是异面直线 l1,l2之间的距离。到了这里就转化成了“两平行平面之间的距离”了，问题在上面已经得 到解决。 l第二种是:在直线l1上任意取一点P，过点P作直线l2//l2，则l1与2 可以确定一个平面 ;再过直线l2，作一个与平面 垂直的平面 ，则平 面 与平面 相交于直线l2，则直线l2与直线l2之间的距离就是异面直 线l1,l2之间的距离。到了这里就转化成了“平行于平面的直线与该平面之间 的距离”了，问题在上面已经得到解决。 可以看出，我们用到的向量和法向量都是自由向量，那么在解决空间距离问题 的过程中，我们寻找需要的向量就更简单，问题更加容易得到解决了。 (2)交角 空间交角问题主要是两相交直线、两异面直线、直线到平面、两平面的的交角， 6 而其中两相交直线之间的交角是基础，其他几种交角问题一般都可以化归为求这种交角。 “两相交直线的交角”:两相交直线的交角可以概括为:从一条直线到另一条直线的角中， 把其中不大于直角的角叫做两直线的交角。用向量来解释就是，与两直线的方向向量所成的角 有关，如果 是钝角，则 ～ 是两直线的交角;否则， 就是两直线的交角。 “两异面直线的交角”:直线a、b是两条异面直线，经过空间任意一点o，作直线 a 、b ，并使a //a,b //b。我们把直线a 、b 所成的角叫做异面直线a、b所成的角。用 向量来解释就是，与两直线的方向向量所成的角 有关，如果 是钝角，则 ～ 是两直线 的交角;否则， 就是两直线的交角。这与用向量解释“两相交直线的交角”是完全一样的。 “直线和平面的交角”:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。用向量解 释就是，与直线的方向向量和平面的法向量所成的角有关，如果 是钝角，则 ～ 是两直线的交角;否则， 就是两直线的交角。 “二面角的平面角”:以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的 7 两条射线，这两挑直线所成的角。用向量解释就是，与两平面的法向量所成的角有关，如图， n,m分别为二面角 ～l～ 的法向量，则n,m与二面角的平面角互补。但由于二面角的大小范围是 0 ,1 8，0而法向量的方向又是不确定的，故 n m arccos 当二面角为锐二面角时， n m ， n m ～arccos, 当二面角为钝二面角时n m 钝或锐二面角依图确定。 可以看出，向量的点乘在求交角问题当中的重要性。 3、距离、交角与算法 前面我们已经分析了距离的概念和向量的理解，我们再用下面的图来表示以上的理解， 从这些图里我们发现了什么共同的东西, 距离都是向量在法向量上投影的绝对值。 图(1)中线段Q P 的长度“点P到直线l的距离”; 图(2)中线段Q P 的长度 是“点P到平面 的距离”; 图(3)中线段Q P 的长度是“平行于平面 的直线l与该 平面的距离”; 图(4)中线段Q P 的长度是“两平行 8 平面的距离”; 图(5)中线段Q P 的长度是“异面直线的距离”。这就是我们老师通常说的“通性通法”。 我们再观察下面几个图: 图(6)中只要求出向量的a,b的夹角，那么直线l1,l2的交角根据前面的分析就可以 知道了;图(7)中只要求出向量的a,b的夹角，那么异面直线l1,l2的交角根据前面的分 析就可以知道了;图(8)中只要求出向量的a,b的夹角，那么直线l与平面 所成的角根 据前面的分析就可以知道了;图(9)中只要求出向量的,的夹角，那么根据前面的分 析二面角的大小也就知道了。 在使用向量求解距离和交角问题的过程中，依然需要画图，需要根据图形进行合理的 想象。这样的一项工作一定要让学生自己去做，让学生在自己动手操作的过程中，仔细的体 会。在空间向量的学习过程中，依然能够使得学生的“空间想象能力”得以提高，与综合几 何的方法相比较，这并没有削弱“空间想象能力”的发展。 如何培养“空间想象能力”，一定使学生能够看懂图，脑子 9 里有图，能把图和对概念的 认识、理解和求解过程联系起来，在这样的一个过程中慢慢的提升了学生的“空间想象能力”。 4、三垂线定理与空间向量 三垂线定理及其逆定理: 平面外的一条直线l，在平面 的投影内的射线为l，直线a ， „ „若 a l，则 a l;(三垂线定理) „若 a l，则 a l(三垂线定理的逆定理) 关于三垂线定理的证明，从图上一目了然，l上的一点向平面 做垂线0，这个垂线 与直线a垂直。 ll0 l因此，可以看出，如果a l，那么a就与直线l和直线0所在的平面 垂直，当然，a 就一定垂直于这个平面上的直线l。 同样的，可以看出，如果a l，那么a就与直线l和直线0所在的平面垂直，当然，a就一定垂直于这个平面上的直线l。 三垂线定理及其逆定理，可以帮助我们建立空间想象力。 用空间向量认识三垂线定理及其逆定理 我们构造另外一个图。 从向量的角度来说，向量a是直线a的方向向量;向量b 10 是直线l的方向向量;直线l上的点向平面 做垂线，向量c就是这条垂线的方向向量，当然，它也是平面 的法向量; „dll 向量是直线在平面投影的方向向量。 ???l 这样三垂线定理及其逆定理可以表述为: 若向量a垂直于向量b，则向量a垂直于向量d。(三垂线定理) 若向量a垂直于向量d，则向量a垂直于向量b。(三垂线定理的逆定理) 从条件我们知道，向量c是平面 的法向量，它垂直于平面 的任何一个向量，当然它也垂直于向量a，即a c 0。有了这个准备，三垂线定理及其逆定理的证明就很明显了。 关于三垂线定理的证明，由于a b，即a b 0。我们知道，向量b和向量c是不共线的，向量b和向量c的线性组合可以表示它们所在平面的任何一个向量，所以向量d可以用它们的线性组合表示，即d b, c。那么向量a与向量d是否垂直的问题，就可以用向量点乘的运算来进行讨论。于是我们有: a d a( b, c) a ( b),a( c) 11 a b, a c 0, 0 0 这样我们就完成了证明。从上面的证明过程看起来，比综合几何的证明要长一些，我们希望老师能关注这样一个问题，在上面的证明中，那些加黑的部分，是我们在向量教学中，帮助学生掌握的内容，把向量的概念、向量的代数运算、以及它们的几何意义等融入学生的头脑，例如，一点和两个不共线的向量可以唯一的决定一个平面，一点和一个法向量也可以决定唯一的一个平面，等等。 使学生接受这种思维方式，变成一种“下意识的思维”，有了这样的准备，向量的证明就变得非常简单了。为了使老师有一个深刻的印象，我们做一个类比，我们在学习因式分解 22(a,b)(a～b) a～b方法的时候，例如，理解这个公式，需要用到乘法对加法的分 配律，在这部分的教学中，我们希望这种认识变成一种“下意识的思维”，以至于使我们感到这是天经地义的事，好像我们没有进行推理一样。三垂线定理的逆定理的证明也是一样的，我们就不再重复了。 这两种证明的比较:上面我们提供了两种证明的方法，前一种我们通常称之为综合几何的证明方法，后一种是向量几何的证明方法。在这里，我们不去比较究竟哪一种证明比哪 12 一种证明更简单，因为简单是一个相对的概念，它依赖于我们所拥有的知识背景。 我们只想向老师介绍，在今后的学习中，我们更多要用到的是向量几何的方法。正如我们前面反复强调的，向量进入高中数学，是数学教育内容的一个重大举措，我们相信经过一段时间的适应，老师会逐渐的理解和接受这种处理方式，使中学的学习内容和大学的学习内容建立起更自然的联系。 5、用空间向量讨论立体几何的某些问题 例1(全国卷1 如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB?AD，侧面PAD为边长等于2的正 三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为 120?. (I)求点P到平面ABCD的距离; (II)求面APB与面CPB所成二面角的大小. 分析:对于第一问，用综合几何的方法和向量的方法难度是相同的。而对于第二问，要求面APB与面CPB所成二面角的大小，我们不大容易找到所求的角，在这样的情况下，用向量来解决问题，就可以使问题变得非常简单。但是，使用向量来处理问题，非常重要的一点就是建立合适的直角坐标系，需要注意的是坐标系的建立并不唯一。根据题目中的 13 条件，PB?AD和侧面PAD为边长等于2的正三角形，不难发现建立如图所示的直角坐标系即可。这样各个点的坐标也可以根据题目中的条件求出来。问题就变得非常 简单了。 (II)解法一:如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x 轴平 行于DA. 33333P(0,0,),B(0,,0),PB中点G的坐标为(0,,).连结AG. 2244 又知A(1, 3,0),C(～2,,0).由此得到: 22 (1,～3,～),4433 (0,,～), (～2,0,0).22于是有 0, 0 所以GA PB BC PB.GA,BC的夹角 等于所求二面角的平面角，,,,,10分 于是cos ～2727所以所求二面角的大小为.,,12分 ～,77 解法二:如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG?PB，FG//BC， FG=1BC. 2 ?AD?PB，?BC?PB，FG?PB， ??AGF是所求二面角的平面角.,,9分 ?AD?面POB，?AD?EG. 14 又?PE=BE，?EG?PB，且?PEG=60?. 在Rt?PEG中，EG=PE?cos60?=. 2 在Rt?PEG中，EG=1EGAD=1. 于是tan?GAE==， 2AE2 又?AGF=π,?GAE. 所以所求二面角的大小为π,arctan3.,,12分 2 例2(天津 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD ?底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF?PB交PB于点F。 (1)证明PA//平面EDB; (2)证明PB?平面EFD; (3)求二面角C—PB—D的大小。 分析:根据题意“底面ABCD是正方形，侧棱PD?底面ABCD”，建立如下图的直角坐标系是非常自然的事情，有了坐标系，根据前面介绍的方法，在大脑里我们就已经知道这 个问题我已经拿下了。这有利于减轻学生的思想负担，增强学习数学的自信心。同时，在求解的过程中，依然需要观察、思考、推理、判断，能使学生的“空间想象能力”得到提高。 如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC a。 (1)证明:连结AC，AC交BD于G，连结EG。 依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,aa,)。 22 15 ?底面ABCD是正方形，?G是此正方形的中心，故点G的坐标为(,a 2a,0)且 2 aa (a,0,～a), (,0,～)。 22 ?PA 2EG，这表明PA//EG。 而EG 平面EDB且PA 平面EDB，?PA//平面EDB。 (2)证明;依题意得B(a,a,0)， (a,a,～a)。又aaa2a2 DE (0,,)，故 0,～ 0。 2222 ?PB DE。 由已知EF PB，且EF DE E，所以PB 平 面EFD。 (3)解:设点F的坐标为(x0,y0,z0)， ，则 (x0,y0,z0～a) (a,a,～a)。 从而x0 a,y0 a,z0 (1～ )a。所以 (～x0,aa11～y0,～z0) (～ a,(～ )a,( ～)a)。 2222 由条件EF PB知，FE PB 0，即 111～ a2,(～ )a2～( ～)a2 0，解得 223aa2a,)，且 ?点F的坐标为(,333 aaaaa2a (～,,～)， (～,～,～) 366333 a2a22a2 ～, 0 ? ～333 16 即PB FD，故 EFD是二面角C—PB—D的平面角。 a2a2a2a2 ～, ?FE FD ，且 91896 a2a2a2a2a24a26|| ,, a，|| ,, a， 9363669993 a266a a631。 2?cosEFD ? EFD 3。 所以，二面角C—PB—D的大小为 。 3 通过这两个例子的比较，能看到用向量解决问题是“通性通法”，只要能建立合适的直角坐标系，再用我们在前面给出的求距离和夹角的方法，就能很快找到答案。用向量处理几何问题，是“通性通法”，在学习和理解这种方法的过程，学生的“空间想象能力”同样也得到了提高。有这么好的方法，我们为什么不用呢, 六、小结 高中几何经历着综合几何——综合几何与向量几何——向量几何，在以后的学习中，向量几何将是我们的核心，它是以后数学学习中的基本方法和工具。这并是说不要综合几何，并不是说用向量几何来处理任何几何问题都比综合几何有优越性。希望能引起老师们的思考，向量几何是数学的基本方法和工具，老师们应该勇于接受和使用，能体会到，向量几何的学习和使用，同样有助于提高学生的“空间想象能 17 力”。 参考文献: [1].普通高中数学课程标准研制工作组.普通高中数学课程标准[M],人民教育出版社,2004(04) [2].严士健，张奠宙，王尚志，普通高中数学课程标准解读[M]，江苏教育出版社，2004(04) [3].王尚志 张饴慈 吕世虎 马芳华.整体把握与实践高中数学新课程[M], 高等教育出版社 [4].王尚志 张饴慈 吕世虎 马芳华.普通高中新课程数学教学指导[M], 高等教育出版社 [5].王春生.浅论空间想象能力的培养[J],教师论坛,2004,(04) [6].李燕杰,李晓东,宋士波.更新观念,完善学生空间想象能力的培养[J],数学教育学报,1996,5(4); 57,60 [7].严勇华.例谈点到平面的距离的求法[J],中学生百科,2007,(08) [8].白光亮. 利用法线求二面角的大小[J], 中学教研(数学),2004,11 百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆 18 19