鲈鱼身长、胸围与体重关系的讨论

鲈鱼身长、胸围与体重关系的讨论 鲈鱼身长、胸围与体重关系的讨论 摘要 本文讨论的是鲈鱼身长、胸围与体重之间的关系。根据题目中所给出的数据可以分 析出三点简单的结论： ? 鲈鱼的身长越长体重也就越重，体重与身长之间存在正相关的关系； ? 鲈鱼的胸围越长体重也越重，体重与胸围之间也存在正相关的关系； ? 鲈鱼的体重与身长、胸围共同存在某种关系。 根据以上的，我建立了三个模型来使之满足以上结论： 32?模型一： W,L,80L，3008L,37262 此模型是利用MATLAB软件的多项式拟合法进行数据拟合的得到的初等函数，得出 体重与身长的简单关系。 32?模型二： W,,C，90C,2228C，118113 与?中模型类似，此模型是利用相同方法的到的体重与胸围的简单关系。 2?双变量模型： W,0.0327LC 考虑到单一变量的不可靠性，我将身长、胸围两变量同时考虑到模型的建立当中， 在合理的模型假设中得出结论。 本模型的优点在于对条件的逐渐加强，从单一变量过渡到双重变量，模型精确度得 到很好的提高。利用现有的MATLAB软件进行数据拟合，还有EXCEL自定义函数进行误差分析的计算，得出了模型参数，最终结果能够较好的反映现实。 关键字：单一变量 双变量 多项式拟合 1 1.问题重述 本问题讨论的是按照测量鲈鱼的身长、胸围来估算鲈鱼重量的方法。从常识出发， 鱼的体重应该与身长、胸围有关，一般情况下，身长越长的鱼体重也越重，胸围越长体 重也越重。但我们需要的是，跟据已知数据得出一种估算方法，这就要从定性分析过渡 到定量分析，方向明确后就要从影响体重的因素着手。首先考虑单一变量即：身长与体 重的简单关系；胸围与体重的简单关系。但这样的出的结论过于粗糙，不能很好的反映 现实，于是对条件加强。同时考虑身长、胸围对体重的影响，从而得到更精确的模型。 2.模型假设 ?假定鱼池中只有一种鲈鱼； ?假定该鱼池中鲈鱼的密度相同； ?鲈鱼的体态用与胸围等周长，与身长等高的圆柱形来近似。 3.符号说明 鲈鱼的身长 L C鲈鱼的胸围 W鲈鱼的体重 , 模型三的待定系数 4.模型建立与求解 当仅仅考虑身长对体重的影响时，由已知数据可以列如下： 身长31.8 32.1 32.1 35.9 36.8 36.8 43.8 45.1 （cm) 重量（g) 482 482 454 652 737 765 1162 1389 表1 不同身长的鱼的体重 表中的鲈鱼身长是按照升序排列的，能看到随着身长的增长鱼的体重也随之增加， 利用MATLAB软件做出身长和体重的散点图如下： 2 身长和体重的散点图 1400 1300 1200 1100 1000 W(g)900 800 700 600 500 400303234363840424446L(cm) 根据散点图决定利用三次多项式拟合得到的各项系数如下： 1 -80 3008 -37262 从而得到了拟合函数： 32 W,L,80L，3008L,37262 根据拟合数据得到的图形1400 1300 1200 1100 1000 W(g)900 800 700 600 data1500data2 400303234363840424446L(cm) 3 利用得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表： 身长31.8 32.1 32.1 35.9 36.8 36.8 43.8 45.1 （cm) 重量（g) 482 482 454 652 737 765 1162 1389 拟合值454.4 481.4 481.4 695.5 726.6 726.6 1180.0 1377.1 （g） 相对误5.73 0.12 6.04 6.67 1.41 5.02 1.64 0.86 差（%） 表2 估测值与实际值的对比及相对误差 仅仅考虑胸围对体重的影响时，由已知数据可以列表如下： 胸围21.3 21.6 21.6 22.9 24.8 24.8 27.9 31.8 （cm) 重量（g) 482 482 454 652 737 765 1162 1389 表3 不同胸围的鱼的体重 表中的鲈鱼胸围是按照升序排列的，能看到随着身长的增长鱼的体重也随之增加， 利用MATLAB软件做出身长和体重的散点图如下 胸围和体重的散点图1400 1300 1200 1100 1000 W(g)900 800 700 600 500 40020222426283032C(cm) 同样利用三次多项式拟合得到的各项系数如下： -1 90 -2228 18113 从而得到了拟合函数： 4 32 W,,C，90C,2228C，118113 利用得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表： 胸围21.3 21.6 21.6 22.9 24.8 24.8 27.9 31.8 （cm） 重量（g) 482 482 454 652 737 765 1162 1389 拟合值473 487.8 487.8 581.5 779.0 779.0 1142.9 1391.9 （cm） 相对误1.90 1.19 6.93 12.12 5.39 1.80 1.67 0.21 差（%） 表4 估测值与实际值的对比及相对误差 同时考虑身长、胸围对体重的影响： 此模型要用到基本假设?及即：鲈鱼的体态用与胸围等周长，与身长等高的圆柱形 2C来近似。因为圆柱体的体积等于底面积乘高，底面积可以用周长表示：.因此可以分4, 2析得出.又物体质量等于密度与体积的乘积，因此只需根据数据求出密度即可。W,LC 2,于是身长、胸围与体重的关系可以表示为：，问题转化为对系数的求解。W,,LC ,利用MATLAB软件和已知的八组数据可以求出对应的值： 0.0334 0.0322 0.0303 0.0346 0.0326 0.0338 0.0341 0.0305 为了得到精确地模型对数据进行处理 ,0.0327 , 2因此 W,0.0327LC 利用得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表： 重量（g) 765 482 1162 737 482 1389 652 454 估算值740 472 1115 740 490 1491 616 490 （g） 相对误3.25 2.12 4.05 0.42 1.60 7.37 5.58 7.87 差（%） 表5 估测值与实际值的对比及相对误差 5 5.模型检验 对于给出的三个模型分别进行了检验，分别求出了估算值与实际值的相对误差： 对于模型一： 相对误5.73 0.12 6.04 6.67 1.41 5.02 1.64 0.86 差（%） 平均相对误差为： 3.44% 对于模型二： 相对误1.90 1.19 6.93 12.12 5.39 1.80 1.67 0.21 差（%） 平均相对误差为： 3.90% 对于模型三： 相对误3.25 2.12 4.05 0.42 1.60 7.37 5.58 7.87 差（%） 平均相对误差为： 2.26% 从数据上看模型一二三基本符合实际。 6.模型评价及推广 本问题采用了三个模型进行求解，模型一二只考虑单一变量，利用三次多项式进行 数据拟合，得到了以下两模型： 32模型一： W,L,80L，3008L,37262 32模型二： W,,C，90C,2228C，118113 对此二模型的检验得到的精度均在5%以内，因此可以用来对实际问题进行估测。 因单一变量的模型较粗糙，于是将两个变量综合考虑，通过对机理的分析得到了更 加精确的模型三： 2 W,0.0327LC 此模型的精度在2%左右，较前两模型有进一步提高，可以更好的反映实际。原因应 归咎于变量的选取、条件的加强。 此模型的缺点在于模型假设过于理想，仅仅将鱼的体型看做圆柱形，这会带来较大 误差。还有一点是模型求解所利用的数据过少，这也增大了误差。在实际的应用中应加 大数据的采集量来减小误差。 此模型可一推广到对木料重量的估测上，如应用模型三，其精确度会进一步提高， 因木料的形状更接近圆柱形，更满足模型假设。 6 附录 建模中利用到MATLAB的程序如下 >>L=[31.8 32.1 32.1 35.9 36.8 36.8 43.8 45.1]; >>W=[482 482 454 652 737 765 1162 1389]; >>plot(L,W,'*') xlabel('L'),ylabel('W'); >>p=polyfit(L,W,3) p = 1.0e+004 * 0.0001 -0.0080 0.3008 -3.7262 >>L=[31.8 32.1 32.1 35.9 36.8 36.8 43.8 45.1]; >> C=[ 21.3 21.6 21.6 22.9 24.8 24.8 27.9 31.8]; >> W=[482 482 454 652 737 765 1162 1389]; >>a=W./L./C.^2 a = 0.0334 0.0322 0.0303 0.0346 0.0326 0.0338 0.0341 0.0305 7