全等三角形证明之能力拔高(经典题目)

全等三角形能力拔高题    姓名： 一、角度转化问题 1．已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB． 求证：AD＝AC． 2．已知：如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC． 求证：BD＝CE． 3．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ． 求证：HN＝PM. 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF． 5．已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC． 求证：ED⊥AC． 二、二次全等问题 1.已知：如图，线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB＝CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，AE＝CF． 求证：BO＝DO． 2．已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF. 3．如图，E在AB上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC等于AD吗？为什么？ 4．已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF. 求证：AB∥DC. 5、已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC， 求证：EB=FC 【练习】1、已知∠B=∠E=90°，CE=CB，AB∥CD. 求证：△ADC是等腰三角形。 2、如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。 求证：MB=MC 3、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD 4、如图：在△ABC中，∠C =90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30， BD：CD=3：2，则DE=            。 5、如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知：EG∥AF，________，__________ 求证：_________ 6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E， 求证：BC垂直且平分DE. 【思维拓展】 证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长”、“补短”等方法，构造全等三角形。 提示：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法： （1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割） （2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）） 1、如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证AB=AC+BD 2、如图，AD∥BC，E为AB的中点，DE平分∠ADC， CE平分∠BCD，求证AD+BC=CD. 【提升练习】 1、如图所示，OP为∠MON的平分线，请利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请在图（1）中作出，然后解答下列问题。 （1） 如图（2）所示，在△ABC中，∠ACB是直角。∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD,CE相交于点F。请写出FE与FD之间的数量关系。 （2） 如图（3）所示，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而其他条件不变，（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 图（1）              图（2）                图（3）                2、如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F。 （1）证明：EF与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF（如图1）。 （2）如图2，EF与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。 3、已知，如图①所示，在 和 中， ， ， ，且点 在一条直线上，连接 分别为 的中点． （1）求证：① ；② ； （2）在图①的基础上，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4、已知：如图， 是等边三角形，过 边上的点 作 ，交 于点 ，在 的延长线上取点 ，使 ，连接 ． （1）求证： ； （2）过点 作 ，交 于点 ，请你连接 ，并判断 是怎样的三角形，试证明你的结论． 5、 中， 将 绕点 顺时针旋转角 得 交 于点 ， 分别交 于 两点．如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 与 有怎样的数量关系？并证明你的结论； 6、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． 7、如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF相交于点F. ⑴ 如图14―1，当点E在AB边的中点位置时： ① 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是          ； ② 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是        ； ③ 请证明你的上述两猜想. ⑵ 如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明 8、已知 中， 为 边的中点， 绕 点旋转，它的两边分别交 、 （或它们的延长线）于 、 当 绕 点旋转到 于 时（如图1），易证 当 绕 点旋转到 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， 、 、 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 9、已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE，解答下列各题：如果AB=AC，∠BAC=90°． （1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD，CE之间的位置关系怎样？说明理由。 （2）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙， (1)中的结论是否还成立？为什么？ 10、如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE；②AF⊥DE.(不需要证明) (1)如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”) (2)如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 11、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点． ，且EF交正方形外角 的平分线CF于点F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证 ，所以 ． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．