交集、并集、补集、全集

交集、并集、补集、全集 ... ... 1.理解交集、并集、全集与补集的概念。 2.熟悉交集、并集、补集的性质，熟练进行交、并、补的运算 什么叫集合A、B的交集？并集？ ： 交集：A?B={x | x?A , 且x?B} 并集：A?B={x | x?A , 或x?B} 上面用描述法给出的交集、并集的定义，要特别注意逻辑联结词"且"、"或"的准确意义，在交集中 用"且"在并集中用"或交、并运算有下列推论： 、什么叫全集？补集？ ： 在研究集合与集合的关系时，相对于所研究的问题，存在一个集合I，使得问题中的所有集合都是I的 子集，我们就把集合I看作全集，全集通常用I示。 补集： 。 ： 全集和补集都是相对的概念。全集相对于所研究的问题，我们可以适当地选 取全集，而补集又相对于 全集而言。如果全集改设了，那么补集也随之而改变。为了简化问题可以巧 设全集或改设全集，"选 取全集"成为解题的巧妙方法。 补运算有下列推论：?；?；?。 (1)求证： ， 。 (2)画出下列集合图（用阴影表示）： ? ； ?； ?； ? 。 ： (1)证明两个集合M和P相等可分两步完成：第一步证明"由x?MT x?P"； 第二步证明"由x?P Tx?M "。 (2)利用（1）的结果画?、?。 ： (1)中的两个等式是集合的运算定律，很容易记住它，解题时可以 应用它。这个证明较难，通常不作 要求。 但其证明是对交、并、补运算及子集的很好练习。 (2)中的四个集合图也是集合的图示法的很好练习。图(1)叫做"左月牙"，图2叫做"右月牙"。画图3、 图4时要利用集合的两个运算律来画。 4322、已知A={x | 2x＋5x－3x=0}，B={x | x＋2|x|－15=0}，求A?B，A?B。 先用列举法化简集合A和B。 4322 由2x＋5x－3x=0得x=0，或2x＋5x－3=0， ?x=0，或x=－3，或x=， ?A={－3，0， } 2 由x＋2|x|－15=0得|x|=3或|x|=－5， ?x= ?3，即得B={－3，3}。 ?A?B={－3}，A?B={－3，0， ，3} 、设全集I={2，3，a2＋2a－3} , A={2 , |2a－1|} , ={5} , 求实数a的 值。 ： ： 设全集I={1，2，3，…9}，={3，8}， ={2，5}，={1， 2，3，5，6，7，8}， 求集合A，B。 ： 、设A={x | x>5或x<－1} , B={x | a?x?a＋3}，试问实数a为何值时， (1) A?B=φ；(2) A?B?φ；(3) AB。 ： ： 数形结合在集合中有两个方法：一是画集合图，如例3；二是利用坐标系，如本例画数轴（数轴是 一维的坐标系）。这两个方法总括为集合的图示法，即寻求集合与图形的对 应，找到直觉。从而把 抽象的集合问题具体化和形象化 此外，本题之（二）的解法是补集法，省去了多少烦恼！ 设全集I={(x , y) | x , y?R}，集合M={(x , y) | }，N={(x , y) |y=3x－2}，那 么 等于（ ）。 (A) φ (B) (2 , 4) (C) {(2 , 4)} (D) N ： 先等价化简集合M，再用坐标平面内的点集理解集合M与N的关系。 ： ， ?M={(x , y)| y=3x－2，且x?2}， ?N=M?{(2 , 4)} ?={(2 , 4)}，故选（C）。 本题是数形结合法的范例，用点集来理解抽象的集合M、N的关系就十分清晰、直观。解题的关键是 分清M和N的关系，当找到N=M?{(2 , 4)}时，问题便迎刃而解。此外，注意 单元素集合{(2,4)}和元素 （2, 4）不同，所以选（B）是错误的。 、据统计我校高中一年级的100名学生中，爱好体育的学生有75人，爱好文艺的学生有56人，试问文 艺、体育都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？ 利用集合图列出各种爱好者的人数间的函数关系。 ： 设A={爱好体育的学生}，B={爱好文艺的学生}， 则A?B={文艺、体育都爱好的学生}， A?B={爱好文艺或爱好体育的学生}。 我们把有限集合M的元素个数记作card(M)，card(A)=75， card(B)=56，card(A?B)=y , card(A?B)=x。于是由集合图（图7） 得 x=75＋56－y (75?x?100) 即 y=131－x (75?x?100) ?31?y?56。 答：文艺、体育都爱好的学生最多有56人，最少有31人。 ： 关于有限集合的并、交的元素个数的问题，用图解法解决具有无比的优越 性。 一般地，对于任意两个有限集合A , B有 card(A?B)=card(A)＋card(B)－card(A?B). 其道理可由图8看出来。 对于任意的三个有限集合A，B，C，有 card(A?B?C) =card(A)＋card(B)+card(C)－ card(A?B)－ card(B?C)－ card(C?A)＋ card(A?B?C) 其道理可由图9看出来。 (1．已知全集I={0,－1 ,－2 ,－3 ,－4}，集合M={0,1,－2}，N ={0,－3,－4}，则= A.{0} B.{－3，－4} C.{－1，－2} D. φ (2．设全集为R，集合M={x | f(x)=0}，P={x | g(x)=0}，S={x | h(x)=0}，则方程 的解集是（ ） A. M?P?N B.M?P C.M?P?S D.M?P? (3．已知集合P、M满足P?M={1，2}，P?M={1，2，3，4，5}，全集I=N，则(P?M)?( )为（ ） A.{1，2，3} B.{2，3，4} C.{3，4，5} D.{1，4，5} (4．设I是全集，集合P、Q满足P?Q，则下面结论中错误的是 A.P?Q=Q B. C. D. (5．满足{1，2}?M={1，2，3}的所有集合M有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个 二、填空题 1、设A={梯形}，B={平行四边形}，C={矩形}，D={菱形}，E={正方形}，则(A?B) ?(B?C)?(D?E)= . 2、设x,y?R，集合A={(x,y)|4x－y－3=0},B={(x,y)|2x－3y＋11=0} , 则A?B= . 3、全集I={1，2，3，4}，子集A和B满足： ={1}，A?B={3}， ={2}，则A= 。 24、集合A={1，x}，且 ={1，3，x}，则实数x的取值范围是 。 5、某班48名学生中，有13人爱打篮球又爱唱歌，有29人不爱唱歌，有16人不爱打篮球。则不爱打篮球 又不爱唱歌的学生数为 。 1、D 2、{(2 , 5)} 3、{3 , 4} 4、{0 , － , } 5、10 一、选择题 1．集合{1，2，3}的子集共有（ ） A．7个 B．8个 C．6个 D．5个 2．下列命题或记法中正确的是（ ） +- A．R?R B．Z {x|x0,x?Z} C．空集是任何集合的真子集 D． 3．同时满足{1}A{1，2，3，4，5}，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．设A={x|1