在区间内用线性函数近似代替

在区间内用线性函数近似代替 Ch19 总练习 2f(x),x1. 在区间内用线性函数近似代替,试求使得积分a,b1,x,3a，bx 322取得最小值. (a，bx,x)dx,1 322解 要使得积分取最小值,即要求 (a，bx,x)dx,1 3,,22((a，bx,x)dx,0,,,1,,a (*) ,3,22,((abxx)dx0.，,,,,1,b, 从而 3,22 ((a，bx,x)dx,1,a 223,，,(abxx)dx= ,1,a 32=2(a，bx,x)dx ,1 3bx232,(ax，x,)|= 123 26=. 2,(2a，4b,)33,22((a，bx,x)dx ,1,b 223,，,(abxx)dx= ,1,b 322(a，bx,x),xdx= ,1 4abx2332,(x，x,)|= 1234 26=2,(4a，b,20). 3 从而(*)式可化为 26,2a，4b,,0,,,3 ,26,4a，b,20,0.,3, 11,a,,,,解之得 3, ,b,4., 1x(1,y),x,y,,,2. 设u(x),k(x,y)v(y)dy,其中与为0,1上的连续函v(y)k(x,y),,,0y(1,x),x,y, ,,数.证明. u(x),,v(x) 证 ,将函数改写为 ,x,0,x,1u(x) 1xu(x),y(1,x)v(y)dy，x(1,y)v(y)dy ,,0x 1x= (1,x)yv(y)dy，x(1,y)v(y)dy ,,0x 从而 1x,u(x),,yv(y)dy，x(1,x)v(x)，(1,y)v(y)dy,x(1,x)v(x) ,,0x 1x,yv(y)dy，(1,y)v(y)dy= ,,0x ,,故u(x),,xv(x),(1,x)v(x),,v(x). 3. 求函数 2，,asin(1,)Fadx(),的不连续点,并作函数F(a)的图象. ,0x 2解 当,即时,有 1,a,0a,1 2，,sin(1,a)x2 F(a),d[(1,a)x],20(1,a)x ，,sint,=dt,. ,02t 2当1,a,0,即时,有 a,1 2，,sin(a,1)x2 F(a),,d[(a,1)x],20(a,1)x ，,sint,,dt,,=. ,02t 2当,即时,有.所以函数的不连续点是的图象如F(a),0F(a)a,,1,F(a)1,a,0a,1 图. ，,4. 证明:若在时一致收敛于,且对任何f(x,t)dtF(x)limf(x,t),,(t)x,a,0x,，,,,t,a,b,(0,，,)一致地成立,则 ，,limF(x),,(t)dt. ,0x,, ，,证 先证积分,(t)dt收敛. ,0 ，,,,,因f(x,t)dt在时一致收敛,所以对任给的,存在,对 ,,0N,0A,A,Nx,a,0 和一切,有 x,a ''Af(x,t)dt,,. ',A ,,,,,0,,t,A,A又f(x,t)对任意的一致收敛于,(t)(x,，,)因此对,存在 ,,,A,A ,,t,a,b,对一切和,有 X,ax,X ,f(t),(t),. ,,,,A,A 从而 ''''''AAA,,,,(t)dt,(,(t),f(t))dtf(x,t)dt+,2,(,A,A,N). ''',,,AAA ，,，,limF(x),,(t)dt因此,积分,(t)dt收敛.再证 ,,00x,, 首先,有 ，, F(x),,(t)dt,0 AAAA，,=F(x),f(x,t)dt，f(x,t)dt,,(t)dt，,(t)dt,,(t)dt ,,,,,00000 AAAA，, F(x),f(x,t)dt|，|f(x,t)dt,,(t)dt|，|,(t)dt,,(t)dt (1) ,,,,,,00000，,f(x,t)dtNF(x) 由一致收敛于知, 对任给的,存在,对一切和一切,,0A,N1,0 ,有 x,0 AF(x),f(x,t)dt,,. (2) ,0 ，,由收敛,对上述,存在,当时 ,(t)dtNA,N,,022,0 ，, (3) |,(t)dt|,,,A ,,,,,f(x,t),(t)(x,，,,t,0,A取定A,N，N,从而(3),(2)都成立.再由知,对, ,012,,A 存在,当时对一. t,(0,A]X,ax,X ,fxtt. (4) (,),(),,A A从而. (f(x,t),,(t))dt,,,0 由(1)-(4)知:对一切的,有 x,X ，,. F(x),,(t)dt,3,,0 ，,limF(x),,(t)dt因此. ,0x,, 5. 设f(x)为二阶可微函数,F(x)为可微函数.证明函数 x，at11 u(x,t),[f(x,at)，f(x，at)]，F(z)dz,x,at22a满足弦振动方程 22,u,u2u(x,0),f(x),u(x,0),F(x),a及初值条件. t22,t,x x11证 u(x,0),[f(x)，f(x)]，F(z)dz,f(x)，0,f(x),x22a 因为 1,f(x,at),(x,at),f(x，at),(x，at)[,,]u(x,t)=+ t2,(x,at),t,(x，at),t1,(x，at),(x,at)+[F(x，at),,F(x,at),] 2a,t,t ,f(x，at)1,f(x,at)1[,a，a]aF(x,at)]=+[aF(x，at)，, 2,(x,at),(x，at)2a所以 1,f(x)1,f(x)u(x,0)aF(x)]=[,a，a]+[aF(x，at)， t,x2a2,x 10，,2aF(x),F(x)=. 2a 222,fx，at,x，at,u1,f(x,at)()()=+ a,[,a,(,a)]222,t,t,x，at2,(x,at)() ,F(x,at),(x,at)1,F(x，at),(x，at)[a,，a,]+ 2a,(x，at),t,(x,at),t 222Fxat1,(，),fx，at,F(x,at)af(xat)(),,2,a[,]=+ . (1) [，]22axat,(x,at)2,(，)2(xat),x，at,,() 因为 ,f(x，at)1,f(x,at)1[，]u(x,t)==+, F(x,at)][F(x，at),x2,(x,at),(x，at)2a所以 2221,F(x，at),fx，at,F(x,at),u1f(xat)(),,[,]=+ (2) [，]222,(x,at)2a,(x，at),t2(xat),x，at,,() 对比(1)(2)两式得: 22,u,u2,a. 22,t,x 6. 证明: 21ln,xdx,,(1); ,016,x n,utuln(1,)dt,,(2) ,. 0,u,1,2,0tnn1, nn,1,,11(1,x)lnx(1,x)ln,,dx,(,)dxx(,1,1,x,1)证明: (1)因,所以 ,,,,00n1,xn,,1n1n 2n,1,,1,,(1x)1(,)dx,,,,根据?14.1习题3的结论得 ,,2,0n6n,1n,1n 21ln,xdx,,从而. ,016,x n,tln(1,),,t(0,x,1)(2) 由于, ,n,n1 n,1,uuln(1,t)tdt,(,)dt(0,u,1)所以. ,,,00tnn,1 n,1n,,utu(,)dt,,(0,u,1)根据?14.1习题3的结论得 ,,2,0nnn,,1n1 n,utuln(1,)dt,,从而,. (0,u,1),2,0tnn1,