正多边形包络的一个充要条件

正多边形包络的一个充要条件 成都市龙泉驿区教育局教研室  王富英 （610100） 一、多边形包络的概念 一个多边形包络是指一个多边形被另一些多边形铺砌成无空缺的面。这里的“铺砌成无空缺的面”要求“不重叠、不缺角、不留空隙且顶点要聚集”。 图1                            （图2） 如图1，中间的正方形与周围8个正方形铺砌成无空缺的面，这时我们称中间的四方形与8个四边形构成了一个包络，但不能说它与4个黑色四边形构成了一个包络，因为这时中间四边形的四个顶点处还有空缺部分（图2）。 二、正多边形包络的一个充要条件 定理：正m边形与m(k-1)个正n边形构成一个包络的充要条件为： (k-1)mn=2 (km+n)    (k≥2,m、n≥3,m、n、k N) .  （1） 证明： 正m边形的一个内角为 ，正n边形的一个内角为 。正m边形与m(k-1)个正n边形构成包络的充要条件为：在正m边形的每一个顶点处有等式          ① 成立。 将   ， 代入等式①，得： +k = .        ② 化简整理，得：(k-1)mn=2 (km+n)。          ③ 由于②到③可逆，故命题成立。 由定理可得如下推论： 推论1：一个正m边形与m个正n边形构成一个包络的充要条件为： mn=4m+2n    (m、n≥3,m、n N) .        (2) 证明：在等式（1）中令k=2即得。 由于m、n≥3,m、n N，，故等式（2）的解只有四个：m=10,n=5; m=6,n=6;  m=4,n=8 ;  m=3,n= 12 。即推论1描述了如下四种包络：一个正十边形与10个正五边形构成一个包络；一个正六边形与6个正六边形构成一个包络；一个正方形与4个正八边形构成一个包络；一个正三角形与3个正十二边形构成一个包络。 推论2：与正三角形构成一个包络的正多边形只有正三角形和正六边形。 证明：在等式（1）中令n=3，并整理得， (k-3)m=6      ( k≥2,m≥3,m、k N)          ④ ④ 的解为：m=6,k=4;  m=3,k=5  .  证毕。 推论3：若正多边形与自身构成一个包络，则这样的正多边形只有正三角形、正四边形和正六边形。（如图3~图5） 证明：在等式（1）中，令n=m并整理，得  ，因为，n为大于或等于3的整数，所以，n只能为3、4、6。证毕。 正多边形的包络在图案设计、地面装饰（如城市道路建设、庭院建设到室内装修等）等方面有着十分广阔地应用。例如，图3—图5是几个地面装饰图案，每一种图案实际上是由若干个正多边形与自身构成的包络组成的。 （图3）                              （图4） （图5）                          因此，本文的定理与三个推论实际上是这类地砖铺设的数学原理。利用这些原理，可以设计一些十分漂亮的地面铺设图案；利用这些原理还可事先判断可用那些正多边形进行设计。如由推论3可得：用相同的正多边形地砖铺设无空隙地面的地砖只有正三角形、正四边形和正六边形的地砖。 本文讨论的一个正多边形被另一种正多边形包络的结论是平面多边形包络理论的一部分。平面多边形的包络理论还有正多边形被其它n(n≥2)种正多边形包络、任意凸多边形被其它凸多边形包络、凹多边形被其它多边形包络等包络成立的条件、性质等内容。若构成多边形的面不是平面而是曲面，则称这种多边形为曲面多边形。这样，就把多边形包络由平面推广到三维空间。对三维空间曲面多边形包络本文的定理仍然成立，它是用曲面多边形图案设计一些球类（如足球）的数学原理。由平面多边形的包络理论和曲面多边形的包络理论共同构成多边形的包络理论。多边形的包络理论有着十分广阔的实际背景，它是对社会生活中利用多边形（包括平面多边形和曲面多边形）进行图案设计（地面装饰设计、纺织图案设计、皮革制造设计、美术图案设计等）的数学抽象。同时，对它的性质作进一步的研究（如仿射性质与拓扑性质的研究），还可进一步丰富数学本身的内容。所以，多边形包络的研究具有重要的理论价值和实际意义。 对多边形包络的研究是数学园地中一块尚未开垦的处女地，笔者此文的结论只是该园中拾得的一朵小花。笔者预测：对多边形包络的研究有着十分广阔的前景和重要的价值，它将成为数学研究中一朵艳丽的奇葩。 注：此文已被《中学数学教学参考》2004年1-2期摘要发表。