类比迁移在数学学习中的作用与应用

类比迁移在数学学习中的作用与应用 摘要:数学是培养人的能力的一门重要学科，对大多数人而言，数学思想方法比形式化的数学知识更加重要，在生活和工作中发挥着更为重要的作用，其中类比法贯穿知识始终，它对学生当前的数学学习，乃至未来的、探索问题，合情猜测和推理结果。本文结合目前高中数学学习，对学生类比推理能力的培养举措进行探讨，论述了类比推理的重要性，以及它在学生能力培养上所发挥的作用。 类比 迁移 关键词:数学思想方法 数学学习 数学是培养人的能力的一门重要学科, 从到中学,乃至到了大学，学生都为它投入了大量的时间和经历.有学生是这样他的数学经历:小学数学老师教会了我加、减、乘、除,初中数学老师教会了我乘方、开方,高中数学老师教给了我数学理念„„新课标也指出:高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用. 统计数字也表明:学生毕业后，研究数学和从事数学教育的人占1%，使用数学的人占29%，基本不用或很少用数学的占70%.对大多数学生而言，数学思想方法比形式化的数学知识更加重要，因为前者更具有普遍性，更能在他们未来的生活和工作中发挥作用。联合国教科文组织的数学教育论文专辑中曾叙述过这样一个典型的例子:我们能确信三角形面积公式一定是重要的吗,很多人在校外生活中使用这个公式至多不超过一次。更重要的是获得这样的思想方法:就是通过分割一个表面成一些简单的小块，并且用一种不同的方式重新组成这个图形来求它的面积值.这个见解也映证了数学思想方法是提高数学素质的关键. 一、问题的提出 高中阶段，学生学习和应用的数学思想方法有很多，其中类比法在高中数学的许多方面都发挥着积极作用.人们已经公认，类比是人类获得新知和解决问题的重要机制之一。美国数学家波利亚对类比法推崇倍至，他在《怎样解题》的第三部分——探索法小词典里,首先谈到的即是类比。他认为: “在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成就中无不充满了类比。类比可在不同的水平使用„„”,“我们希望能预测结果,或者,至少在某种似乎可信的程度上预测结果的某些特征.这种似乎可信的预测通常是以类比为基础的”. 根据类比领域专家Genter的观点，类比是知识从一个领域(源领域)向另一 1 个领域(目标领域)的映射,源情景事物之间存在的关系系统也存在于目标情景的事物之间时,类比便有可能发生.因此类比方法也称为类比推理,它是从特殊到特殊的推理,是物体共有关系的迁移,而不迁移其中的物体或物体属性.类比推理具有如下形式: F,F,？F,PA具有性质 12n ,,,F,F,？FB具有性质, 12n ,推测B具有性质. p ,F,F,？F,P这里, 分别与相同或相似.A和B指不同的对象或不同的事物 p12n 二、类比推理对高中数学教学的作用与重要性 类比不仅在数学领域发挥着重要作用——例如瑞士数学家哈德?欧拉通过类比成功地解决了另一个瑞士数学家雅克?伯努利所没有解决的“求所有自然数平方 111222的倒数之和,即的和”的问题,并用同样的方法发现了莱布1()()()，，，，234 111,尼兹级数的和,即，再如柯尔莫戈洛夫将概率和测度作类比,解,，,，,13574 决了长久以来存在的概率含义缺乏坚实数学基础的困扰,得到公理化概率论;它在其他科学发挥着巨大的作用——物理学家卢瑟福曾将原子内部的情况和太阳系类比m最后得出原子结构的行星模型说,原子极小,而宇宙博大,二者竟如此相像,类比思想确具创造性. 1.类比法能有效沟通新旧知识，突破教学难点 心理学研究表明,当学习处于学生的“最近发展区”范围之内时,学生更容易获得成功，这种成功感可以有力地保证学生不会因过多的失败而放弃他们的努力, 失去发现的机会.同时，应用类比法，可以促使学生回顾旧知,尝试在已有知识的基础上,去发现新结论、构建新知识, 可以有效的实现旧知识在新内容中的正迁移，帮助学生建立新旧知识的联系,突破教学难点,降低教学难度,这也符合建构主义的学习理论.例如，立体几何是高中数学学习的一大难点，如果教师能够利用学生已有的平面几何知识，将二维的知识概念类比到三维的学习中，就可以降低学习立体几何的难度. 例1:立体几何二面角概念的学习 角 二面角 2 α βBBβBβ顶点 a图形 ααO aAα边 βAA 图 2 从平面内一点引出的两条从空间一条直线出发的两个半平 定义 射线(半直线)所组成的图形 面所组成的图形 (面—棱—面) 二面角,,,,a表示法 (边—顶点—边) ，AOB 例2:类比平面向量的坐标表示，得到空间向量的坐标表示 ,,xj平面向量的坐标表示:分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作iy ,,,,,新疆王新敞奎屯a,xi，yj为基底若,记作.把叫做向量的(直角)坐标, a,(x,y)(x,y)a ,,,新疆王新敞奎屯0,(0,0)i,(1,0)j,(0,1),, {,,}ijk空间向量的坐标表示:在空间选定一点和一个单位正交基底，若O (,,)aaa，则有序实数组叫作向量在空间直角坐标系Oxyz,中aaaiajak,，，123123 i,(1,0,0)j,(0,1,0)k,(0,0,1)的坐标，记作.;;; aaaa,(,,)123 例3:由平面向量的直角坐标运算律类比得到空间向量的直角坐标运算律: 环节1:复习平面向量的坐标运算， aaa,(,)若，， bbb,(,)1212 ,,,,,,,(,)abab,,,aab,(,)a,b则，，， a，b,，，(,)abab1122121122 ababab,,，1122 abxxyy,,，,0两向量平行与垂直的充要条件:，abxyxy//0,,,1212 1221 A(x,y)B(x,y)若，，则,中点坐标为AB，，AB,x,x,y,y11222121xxyy，，1212(,) 22 环节二:类比得空间向量的直角坐标运算: 若，， aaaa,(,,)bbbb,(,,)123123 则;; abababab，,，，，(,,)abababab,,,,,(,,)112233112233 ;， ,,,,,aaaaR,,(,,)()abababab,,，，123112233 ， abababababR//,,(),,,,,,,,,,,,abababab,,，，,0112233112233 ABxxyyzz,,,,(,,)Axyz(,,)Bxyz(,,)若,,则, AB中点坐标为 212121111222 xxyyzz，，，121212(,,) 222 3 2.类比法可以实现学生经历和体验创造性解决问题的过程 《高中数学课程》提出不仅要教给学生基本的数学知识,更要引导学生去学习数学思想方法，感受数学理念,体会数学思维的严密性与深刻性.但是探索、研究、创新需要有坚实的知识作为基础，而类比方法与思想在解决问题中的应用，可以让过程成为问题解决的有机组成部分.因为在运用类比得出数学结论之前,学习者必然对两个对象进行比较,找到它们的对应部分,并明确其具有的某些一般特征,即发现可类比的对象,把观察到的结果加以综合类比,清楚类比对象中结论的来源,然后对想要得到的结论进行猜测,推测证明的思路,最后证明或推翻猜测. 3.应用类比法有利于激发学生探索，获得“ 再发现”的体验 在进行类比和知识迁移的过程中，学生是作为一个探索者、研究者和发现者而去进行研究的,这使得学生能从中获得了大量探索发现的机会.同时，类比思维在数学知识的延伸拓展过程中常借助于比较、联想，用作启发诱导以寻求思维的变异和发散，因此，类比方法是数学发现的有效方法.例如在学习立体几何中，学生可以利用平面几何中已有的性质定理，探索和研究立体几何中的相关性质. 类比 “平行四边形的对角线互相平分” “平行六面体的对角线交于一点,,,,,迁移 且互相平分”; 类比“等腰三角形的高通过底边的中点” “正棱锥的高通过底面的中心”; ,,,,迁移 类比 “在同一三角形中两边之和大于第三边” “在同一三棱锥中三个面,,,,迁移 的面积之和大于第四个面的面积”; 类比三角形具有“四心”(内心、外心、重心、垂心) 三棱锥也可能具有“四,,,,迁移 心”„„ 通过这样的类比分析，可以调动学生思维的积极性，而且在探索结果的同时，既使知识深化，又贯彻了课堂教学精讲和学生自主探索的原则。 4.应用类比法可以加深学生对知识点的理解 学生在进行基础知识讲解，解题指导时，往往只注意到知识点和题目的一些外在形式，而忽略了一些本质特征(如其中所蕴涵的数学思想方法)，忽视知识点、相关题目之间的联系，这容易造成学生经常出现解题盲点，无法将所学知识，所掌握的解题方法、技巧顺利地应用到独立解题中。而类比迁移，可以学生将所学知识、技能进行分析比较，找到它们之间的相互联系和区别，探明其形式和本质的统一，从而使问题得到圆满的解决. 4 5.用类比法构建知识网络，使知识更加系统化 在进行知识复习时间，若将各知识点分散复习,学生不易掌握，且层次不清.而如果能引导学生应用类比法进行知识点归纳整理、方法总结，就可以将有关知识进行类比，把一些有内在联系的知识串联起来,建构一定的知识网络，这可以加深 e对知识的理解和掌握.如复习圆与圆锥曲线时,可以通过离心律在的变化，(0,)，,以及圆是椭圆长短轴相同的极限情况,类比各种二次曲线，举一反三地综合复习圆与圆锥曲线的图象与性质.当然在应用类比进行综合复习时间，一定要明确他们的区别与联系,培养学生用一分为二的辩证唯物主义观点看问题的世界观，以免出现知识负迁移的情况. 三、类比法在高中数学教学中的具体应用 高中数学的理论性、抽象性强，需要在对知识的理解上下功夫，要多思考，多研究。按寻找类比对象的角度不同, 类比常分为降维类比、结构类比、简化类比等类型.在高中数学学习中，类比思想主要有以下几方面的应用: 1.个别到一般的推广 应用模式:从具体问题或具体素材出发?实验—归纳—推广?形成普遍命题——证明?类比——联想——预见????? 1119例4:已知ABC,,是的内角,求证: ，，,,ABC,ABC ABC，，,1113393证: ABC,,？，，,,,3,33ABC,ABC 321113 ？，，,ABC, 运用类比: 211114，，，,在四边形ABCD中，有 2,ABCD 2111115，，，，,在五边形ABCDE中，有„„„„ 3,ABCDE 通过归纳、猜想: 2n1n在N边形 AAA,？中，有,12nA(n,2),,i1i 2.某种特性的推广使用: 1n例5:(2003年上海春招)设，利用推导等差数列前项和的方fx,()x，22 5 法――倒序相加法,求的值为 ( fffff(5)(4)(0)(5)(6),，,，，，，， 分析:与等差数列前n项和的方法――倒序相加法相类比， 111即利用( fxfx，,,，,()(1)xx1,，，22222 设， Sfffff,,，,，，，，，(5)(4)(0)(5)(6) ， Sfffff,，，，，，,，,(6)(5)(0)(4)(5) 12?S,32，( ?212[(5)(6)]Sff,,，,2 1212131313333，，，应用类比:求的值. 1212111131313222333333，，， xa()(0,)fxaaR,,,归纳总结:若，恒有 fxfx()(1)1，,,xaa， 2yaxmn,,，()例6:在一元二次函数的基础上，类比研究含有绝对值函数 2axmn,，axbxc，，yp,的图象与性质，进一步还可研究，，yaxmn,,，yp, 2axbxc，，，的图象与性质(对称性、奇偶性、单调性、y,logyaxmn,,，log()pp 定义域、值域). 3.数与形的类比,构造关联问题,拓宽解题思路 某些待解决的问题没有现在的类比物, 但可通过观察, 凭借结构上的相似性等寻找类比问题,然后可通过适当的代换, 将原问题转化为类比问题来解决.如类比两点间的“距离”公式是解决许多代数问题的策略: 2例7:已知函数当时，比较与的大小 fxx()1,，fafb()(),ab,ab, 分析:此题用常规解法作差或作商法较为烦琐.注意到与和fafb()(),ab,平面上两点间的距离在结构上极为相似. 所以在坐标系中,设点Aa(1,)和点 22Bb(1,)，则表示点A 到原点的距离, 表示点B 到原点faa()1,，fbb()1,， AB,的距离, 表示两点的距离,在? 中, 由“两边之差小于第三边”有ab,OAB ，所以. OAOBAB,,fafbab()(),,, y 22例8:求函数的最小值 yxxx,，，,，445A A(x,y)B(x,y)分析:观察式子，类比两点，之间1122B 22ABxxyy,,，,()()的距离公式:，猜想可以应用1212 2222P P Px(,0)yxx,,，,，,，,(0)(02)(2)(01)，设动点o x AB(0,2),(2,1)为 x 轴上的点，为定点，问题转化为坐标 D 6 平面上两点间的距离之和，即求的最小值。即在 x 轴上找一点P，yPAPB,， 使得点P到A，B的距离之和最短，这就是将代数最值问题转化为平面几何的最值问题. 4.类似知识点的迁移类比探索 {}aa,0例9:(2000年上海卷)在等差数列中，若，则有等式 n10 *aaaaaannN，，，,，，，,,(19,)成立，类比上述性质，相应地等比nn,121219 {}bb,1数列中，若，则有等式___________________成立. n9 分析:等差数列和等比数列是两类特殊的数列,在很多地方有相同或相似的性质,如:若是正整数,且, 若成等差数列,则有pqst,,,pqst，,，a,,n aaaa,,,aaaa，,，;若成等比数列, 则类似的结论是.在解答问题b,,pqstpqstn 时，能类比等差数列的性质，分析等比数列所具备的类似关系，就不难解决此问题. 变式:(2004年北京)定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的 a公和.已知数列是等和数列，且,公和为5.那么的值为 ,这个数a,2a,,n118 n列前项和的计算公式为 ( Sn 分析:此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法. 222xyr，,例10:由直径所对的圆周角出发，可得若是圆的直径，是ABMO 22xykk,,,1AB,圆上异于的任意一点，则有,那么对椭圆和，,,,1(0)abOAMBM22ab22xy双曲线，猜想是否有类似的结论. ,,122ab 5.简化类比,培养思维的灵活性 简化类比, 就是将原命题类比到比原命题简单的类似命题, 通过类比命题的解决思路和方法的启发,寻求原命题解决思路与方法. 比如可先将多元问题类比为一元或二元问题, 高次问题类比到低次问题,普遍问题类比为特殊问题等,这样可以沟通数学知识、数学方法之间的联系,激活学生的思维,有利于培养学生思维的灵活性. 6.从低维到高维，平面到空间推广的类比拓展 学生在初中阶段所学习的平面几何，高中阶段学习的平面向量都是二维层次上 7 的学习，而立体几何以及借助于空间向量研究立体几何的相关性质都都是三维层次上的学习。当研究的对象从平面扩展到空间时, 尽管有一些性质、结论发生了变化, 但仍有许多东西与平面几何相同或类似.所以学习立体几何,最重要的方法之一就是与平面几何类比.将三维空间的对象降到二维(或一维)空间中的对象,此种类比方法即为降维类比.在降维类比的方法中,常常体现在双向联想的结合, 即 又运用类比联想的思维方法将立体几由平面几何问题类比联想到立体几何中去, 何问题化归为平面几何问题去思考.对此科学家开普勒也曾有精辟的论述,“我珍视类比胜于任何别的东西, 它是我最可信赖的老师,它能提示自然界的秘密, 在几何中它应该是最不可忽视的.” 例11:平面与空间的类比 平面 空间 等腰三角形的高通过底边的中 正棱锥的高通过底面的中心 点;正多边形的对角线互相平分 在同一三角形中两边之和大于第在同一三棱锥中三个面的面积之和大于第 三边 四个面的面积 直角四面体,D为斜面，A、B、C为直角面直角三角形 记为四个面的面积DABC,,,,有222勾股定理 c,a，b2222 DABC,，， 若M为正三角形内任一点,则M到若M 为正四面体内任一点,则M 到四面体三角形各边的距离之和为定值. 各面的距离之和为定值. 若从点O所做的两条射线OM，ON从点O所作的不在同一平面内的三条射线 MM,NN,PP,QQ,上分别有点与点，则三OP，OQ和OR上，分别有点,点和点12121212 SVOMON,OPOQOR,,OMNOPQR,1111111111RR,角形面积比 ，则 ,,12,,VOPOQORSOMON,OMN22OPQR222,22222 ABC,ABC在任意斜三棱柱中有余弦定理 111在任意中有余弦定理:,DEF 222222S,S，S,2S,Scos,. ABBABCCBACCADE,DF，EF,2DF,EFcos，DFE BCCBACCA1111111111 „„ „„ 正如波利亚说:“„„对平面几何和立体几何作类比, „„是提出新问题和获得新发现取之不竭的泉源”. 四、应该注意的问题 8 在学习中, 我们应注意将所要解决的问题与熟知的信息相类比,进行多方位的联想, 将式子的结构、运算的规律、解题的方法、问题的结论等加以引伸、推广或迁移,由旧知发现新知, 启发学生把问题纵深发展,有助于活跃学生的思维, 举一反三、触类旁通.当然因为类比含有猜测的成分,是或然推理,属于合情推理的范畴.在运用类比思想得出结论的过程中,有可能学生所得到的结论不能直接用于原 这个时候,教师就要启发或帮助学生重新考虑问题的解答,适当修改甚来的问题, 至变更策略,直到尝试过解答的各种形式以后,找到一个可拓展到原来的问题为止.因此类比一定要找准类比对象,防止类比思想的陷阱和形式上的类比，绝不能为了类比而类比. 参考文献: [美]乔治?波利亚. 数学与猜想.北京:科学出版社，1984 1. 2.中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(实验).人民教育出版社.2003 3.郑毓信. 数学思维与数学方法论[M]. 成都:四川教育出版社,2001. 4.徐斌艳等.数学课程与教学论.杭州:浙江教育出版社,2003. 5.马忠林等.数学学习论.广西教育出版社.2003 6.尚继慧.三角形的几个结论在空间中的类比. 数学通讯.2006 年第24 期 9