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神机妙算-代币交易

2017-11-18 40页 doc 77KB 10阅读

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神机妙算-代币交易神机妙算-代币交易 神機妙算,代幣交易 摘要 有一種代幣的遊戲,有三名參賽者,每人代幣數量為連續正整數。每次持有最多代幣者,需分給其餘兩人各一枚代幣,並捨棄一枚代幣。直到任一位參賽者沒有代幣時,此遊戲結束。 我們欲改變此遊戲,對此遊戲的玩法作些微的改變,並增加遊戲的複雜度,更進一步探討新遊戲中的解法。 一、原遊戲中,假設甲、乙、丙三人各持有6、5、4個代幣, 第 二 次豆 丁文 档最 好 次 數 第 第 第 第 第 第 第 第 第 英语 原 參 一 三 四 五 六 七 八 九 十 本 賽 次 次 次 次...
神机妙算-代币交易
神机妙算-代币交易 神機妙算,代幣交易 摘要 有一種代幣的遊戲,有三名參賽者,每人代幣數量為連續正整數。每次持有最多代幣者,需分給其餘兩人各一枚代幣,並捨棄一枚代幣。直到任一位參賽者沒有代幣時,此遊戲結束。 我們欲改變此遊戲,對此遊戲的玩法作些微的改變,並增加遊戲的複雜度,更進一步探討新遊戲中的解法。 一、原遊戲中,假設甲、乙、丙三人各持有6、5、4個代幣, 第 二 次豆 丁文 档最 好 次 數 第 第 第 第 第 第 第 第 第 英语 原 參 一 三 四 五 六 七 八 九 十 本 賽 次 次 次 次 次 次 次 次 次 者 数学 标志 销售 甲 6 3 4 5 2 3 4 1 2 3 0 乙 5 6 3 4 5 2 3 4 1 2 3 丙 4 5 6 3 4 5 2 3 4 1 2 ,此代表原遊戲的進行方式, 所以,從遊戲開始到結束時,總共玩了10次,且各自剩下0、2、 3個代幣數。 二、但是,若甲、乙、丙三人中任兩人原持有的代幣數相同時,該 如何決定由誰來給予代幣, 6、5個代幣, 新遊戲中,假設甲、乙、丙三人各持有6、 次 數 第 第 第 第 第 第 第 第 第 第 原 參 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 本 賽 次 次 次 次 次 次 次 次 次 次 者 甲 6 3 4 5 6 3 4 5 2 3 4 乙 6 7 4 5 2 3 4 1 2 3 0 丙 5 6 7 4 5 6 3 4 5 2 3 ,此表格代表在新遊戲中,有任兩人代幣數個數相同時,遊戲的進行方式, 所以,從遊戲開始到結束時,總共玩了10次,且各自剩下0、3、4個代幣數。 三、新遊戲中,假設甲、乙、丙三人各持5、5、5個代幣, 次 數 第 第 第 第 第 第 第 第 參 一 二 三 四 五 六 七 八 賽 次 次 次 次 次 次 次 次 者 甲 5 2 3 4 5 2 3 0 乙 5 6 3 4 1 2 3 4 丙 5 6 7 4 5 6 3 4 ,此表格代表在新遊戲中,有三人代幣數個數相同時遊戲的進行方式, 所以,從遊戲開始到結束時,總共玩了8次,且各自剩下0、4、4個代幣數。 在新遊戲中,若有兩人或三人的代幣數相同時,則由這兩個或三個人 中任一人給予代幣,因為不論由這兩個或三個人中誰給予代幣,到下 三輪時,此兩個或三個人的代幣數又會再度相同,不論輸贏,。所以 當發生代幣數相同的情形時,可任擇一人給予代幣。 關鍵詞,代幣、規律、不等式 壹、研究動機, 記得寒假上課時,老師在上AMC10的歷屆試題時,我們發現了 一題有趣的題目,這是有關數學遊戲的代幣交換問題,所以決定 深入探討,了解其中的規則與奧妙,解開遊戲中的疑惑。我們欲 發明一種新的玩法,使此遊戲有更多、更複雜的變化,增加此遊 戲的難度,並且找出新遊戲的解法。 貳、研究目的, , 一、若新遊戲中三人代幣數一開始皆為P,,P N且P,3,。 試求當遊戲結束時,三人剩下的代幣個數,及遊戲進行的次, 數。 二、若新遊戲中三人代幣數一開始為P、Q、Q,P、Q N,不 妨設P,Q,且P,3,Q,1,。試求,當遊戲結束時,三人 剩下的代幣個數,及遊戲進行的次數。 , 三、若新遊戲中三人代幣數一開始為P、P、Q,P、Q N,不 妨設P,Q,且P,3,。試求,當遊戲結束時,三人剩下的 代幣個數,及遊戲進行的次數。 , 四、若新遊戲中三人代幣數一開始為P、Q、R,P、Q、R N, 不妨設P,Q,R,且P,3,。試求,當遊戲結束時,三人 剩下的代幣個數,及遊戲進行的次數。 參、研究設備器材, 電腦、紙、筆 肆、研究過程或方式, ,,一,若新遊戲中三人代幣數分別為P、P、P,P N,P,3,若 不論甲、乙、丙的輸贏,則當其中兩人或三人相同各數時,由 任一相同硬幣數的人丟硬幣的結果是相同的,故只探討其中一 種即可。 ,如表一所示, 次 數 第 第 第 第 第 第 原 參 一 二 三 四 五 六 … 本 賽 次 次 次 次 次 次 者 甲 P P,3 P,2 P,1 P,4 P,3 P,2 … 乙 P P,1 P,2 P,1 P P,3 P,2 … 丙 P P,1 P,2 P,1 P P,1 P,2 … 第 第 第 第 第 3M,2 3M,1 3M 3M,1 3M,2 次 次 次 次 次 P,M,2 P,M,3 P,M P,M,3 P,M,2 P,M,2 P,M,1 P,M P,M,1 P,M,2 P,M,2 P,M,1 P,M P,M,1 P,M,2 ,表一, ,1,在第3M次時,甲、乙、丙三玩家的代幣數皆不可能同時為0, 所以,遊戲不可能在第3M次結束。 ,2,在第3M,1次時,甲、乙、丙三玩家的代幣數有可能等於0的 機會只有最小的甲,,P,M,3,,0,所以P,M,3,則乙、 丙兩玩家的代幣數為P,M,1,4 遊戲結束時,甲、乙、丙 ,三玩家的代幣數為0、4、4。由P,M,3,0中可得知 M, ,P,3,將此式代入遊戲結束時的第,3M,1,次,則3M,1, 3P,8,遊戲進行的次數為,3P,8,次。 ,3,在第,3M,2,次時,較少代幣數的兩個玩家甲、丙皆不可能 同時為0,所以,遊戲不可能在第,3M,2,次結束。 ,,4,綜合以上各點,可推得當代幣數為P、P、P,P、Q N,P ,3,時,最後會剩下的代幣數只有1種情形,,4、4、0, ,二,若新遊戲中,甲、乙、丙三玩家代幣數分別為P、Q、Q,P、 , Q N且P,Q,P,3,Q,1。 ,如表二所示, 次 , 數 第 第 第 第 第 原 參 一 二 … M M,1 M,2 本 賽 次 次 次 次 次 者 P,3M, 甲 P P,3 P,6 … P,3M P,3M,1 2 乙 Q Q,1 Q,2 … Q,M Q,M,3 Q,M,2 丙 Q Q,1 Q,2 … Q,M Q,M,1 Q,M,2 第 第 第 第 第 M,3 M,4 M,5 M,6 … M,3N,3 次 次 次 次 次 P,3M,P,3M,P,3M, P,3M … P,3M,,N,1, 1 1 2 Q,M,1 Q,M,4 Q,M,3 Q,M,2 … Q,M,,N,1, Q,M,1 Q,M Q,M,3 Q,M,2 … Q,M,,N,1, 第 第 第 第 第 M,3N,2 M,3N,1 M,3N M,3N,1 M,3N,2 次 次 次 次 次 P,3M,NP,3M,NP,3M,NP,3M,N P,3M,N ,2 ,3 ,1 ,2 Q,M,N,Q,M,N,Q,M,N,Q,M,N, Q,M,N 2 1 3 2 Q,M,N,Q,M,N,Q,M,N,Q,M,N, Q,M,N 2 1 1 2 ,表二, ,1,設在第M次時,乙、丙玩家的代幣數大於甲,則換乙或丙玩家給予代幣,且在第M,1次時,甲玩家的代幣數又會大於在第M次時給予代幣的玩家,乙或丙,。 ,,Q,M,P,3M P,Q,4M , P,3M,1,Q,M,3 P,Q,4M,4 , 4M,P,Q,4M,4 則,P,Q,有下列三種可能, 1.P,Q,4M,1 2.P,Q,4M,2 3.P,Q,4M,3 ,,2,假設在第M,3N次時遊戲結束,則根據,1,,Q,M,P,3M Q,M,N,P,3M,N,所以P,3M,N有可能在第M,3N次 ,,時等於 0 P,3M,N,0 P,3M,N。 根據,1,,將P,Q,4M,1、P,Q,4M,2、P,Q,4M,3 三式代入P,3M,N可得Q分別等於N,M,1、N,M,2、N,M,3,再將Q,N,M,1、N,M,2、N,M,3分別代入遊戲結束時的另外兩玩家的代幣數Q,M,N,則可得Q,M,N 為1、2、3。但遊戲結束時得到代幣數的玩家之代幣數不會等於1,因為若有玩家之代幣數等於1時,此玩家上一次時的代幣數就應為0,那麼在上一次遊戲就應結束與假設矛盾,或2,若剩下代幣數為2、2、0時,則在第3M,N,2次時,所剩的代幣 M,N,3。 數會出現0,。所以Q, ,3,假設在第M,3N,1次時遊戲結束,則Q,M,N,1,P,3M,N,1,Q,M,N,3,所以Q,M,N,3最有可能在第M,, 3N,1次時等於0。Q,M,N,3,0 Q,N,M,3 根據,1,將P,Q,4M,1、P,Q,4M,2、P,Q,4M,3 三式代入Q,N,M,3可得P分別等於3M,N,2、3M,N,1、3M,N。 再將P,3M,N,2、3M,N,1、3M,N,Q,N,M,3分別代入遊戲結束時的另外兩玩家的代幣數P,3M,N,1、Q,M,N,1,則可得P,3M,N,1,3、2、1,但1不合,因為若此時P,3M,N,1,1,則在第M,3N次時,此玩家的代幣數就已經等於0,。所以Q,M,N,1,4。 ,4,在第M,3N,2次時,乙與丙兩玩家的代幣數皆不可能同時為0,所以,遊戲不可能在第M,3N,1次結束。 ,,5,綜合以上各點,可推得當代幣數為P、Q、Q,P、Q N且P,Q,P,3,Q,1,時,最後會剩下的代幣數有4種情形,,3、3、0,、,2、4、0,、,3、4、0,、,4、4、0, ,三,若新遊戲中,甲、乙、丙三玩家代幣數分別為,P、P、Q三 , 正整數,P、Q N且P,Q,P,3。 ,如表三所示, 次 數 第 第 第 第 第 原 參 一 二 三 四 … 2M 本 賽 次 次 次 次 次 者 甲 P P,3 P,2 P,5 P,4 … P,2M 乙 P P,1 P,2 P,1 P,4 … P,2M 丙 Q Q,1 Q,2 Q,3 Q,4 … Q,2M 第 第 第 2M,1 2M,2 2M,3 … 次 次 次 P,2M,1 P,2M,2 P,2M,1 … P,2M,1 P,2M,2 P,2M,1 … Q,2M,3 Q,2M,2 Q,2M,1 … 第 第 第 2M,3N 2M,3N,1 2M,3N,2 次 次 次 P,2M,N P,2M,N,1 P,2M,N,2 P,2M,N P,2M,N,1 P,2M,N,2 Q,2M,N Q,2M,N,3 Q,2M,N,2 ,表三, ,1,設在第2M次時,丙玩家的代幣數大於甲與乙,則換丙玩家給予代幣,則又在第2M,1次時,甲與乙玩家的代幣數又會大於在第2M次時給予代幣的丙玩家。 Q,2M,P,2M , 1,Q,2M,3 P,2M, , 4M, P,Q ,4M,4 則,P,Q,有下列三種可能, 1.P,Q,4M,1 2.P,Q,4M,2 3.P,Q,4M,3 ,2,假設遊戲在第2M,3N次時結束,但因為Q,2M,N,P,2M,N,所以遊戲不可能在第2M,3N次時結束,遊戲結束時,不可能有兩人同時為0,。 ,3,假設遊戲在第2M,3N,1次時結束,且P,2M,N,1,Q,2M,N,3,所以Q,2M,N,3最有可能在第2M,3N,1次時等於0。 所以Q,N,2M,3。 根據,1,將P,Q,4M,1、P,Q,4M,2、P,Q,4M,3 三式代入Q,N,2M,3中,得知P,2M,N,2、2M,N,1、2M,N,再將P,2M,N,2、2M,N,1、2M,N分別代入另外兩個玩家所剩下的代幣數P,2M,N,1中,求得P,2M,N,1,3、2、1。但遊戲結束時得到代幣數的玩家之代幣數不會等於1,因為若有玩家之代幣數等於1時,此玩家上一次時的代幣數就應為0,那麼在上一次遊戲就應結束與假設矛盾,或2,若剩下代幣數為2、2、0時,則在第2M,3N,1次時,所剩的代幣數會出現0,。所以P,2M,N,1,3 ,4,假設遊戲在第2M,3N,2次時結束,且Q,2M,N,2,P,2M,N,2,所以P,2M,N,2最有可能在第2M,3N,2次 時等於0。所以P,2M,N,2。 根據,1,將P,Q,4M,1、P,Q,4M,2、P,Q,4M,3 三式代入P,2M,N,2中,得知Q,,2M,N,3、,2M,N,4、,2M,N,5。 3、,2M,N,4、,2M,N,5、P,2M再將Q,,2M,N, ,N,2分別代入剩下玩家所剩的代幣數P,2M,N,2、Q,2M,N,2中,求得P,2M,N,2,4、Q,2M,N,2,1、2、3。但遊戲結束時得到代幣數的玩家之代幣數不會等於1,因為若有玩家之代幣數等於1時,此玩家上一次時的代幣數就應為0,那,麼在上一次遊戲就應結束與假設矛盾,。所以Q,2M,N,2,2或3。 ,5,綜合以上各點,可推得當代幣數為P、P、Q,P、Q N且P,Q,P,3,時,最後會剩下的代幣數有4種情形,,2、3、0,、,3、3、0,、,2、4、0,、,3、4、0, ,,四,新遊戲中三人代幣數分別為,P、Q、R。P、Q、R N,P ,Q,R,P,3。 ,如表四所示, 次 數 第 第 第 第 原 參 一 二 … X X,1 本 賽 次 次 次 次 者 P,3X,甲 P P,3 P,6 … P,3X 1 乙 Q Q,1 Q,2 … Q,X Q,X,3 丙 R R,1 R,2 … R,X R,X,1 第 第 第 第 X,2 X,3 X,4 … X,2,Y,1, 次 次 次 次 P,3X,2 P,3X,1 P,3X,4 … P,3X,2Y,2 Q,X,2 Q,X,5 Q,X,4 … Q,X,2Y,2 R,X,2 R,X,3 R,X,4 … R,X,2Y,2 ,表四, ,1,設至少第X次後,乙玩家的代幣數大於等於甲玩家的代幣數。 3X,Q, 【一】若乙玩家的代幣數等於甲玩家的代幣數,則P, , X。 P,Q,4X 【二】若乙玩家的代幣數大於甲玩家的代幣數,則換乙玩家給予 代幣。 , P,3X,Q,X P,3X,1,Q,X,3 , 4X,P,Q,4X,4 所以,P,Q,有下列四種可能, 1. P,Q,4X 2. P,Q,4X,1 3. P,Q,4X,2 Q,4X,3 4. P, ,2, 【一】設在第X,2Y,1次時,丙玩家的代幣數大於等於乙玩家 的代幣數,且大於甲玩家的代幣數。 ,如表五所示, 第 第 第 第 X,2Y,1 X,2Y X,2Y,1 X,2Y,2 次 次 次 次 P,3X,2Y,3 P,3X,2Y,4 P,3X,2Y,1 P,3X,2Y,2 Q,X,2Y,1 Q,X,2Y Q,X,2Y,1 Q,X,2Y,2 R,X,2Y,1 R,X,2Y,4 R,X,2Y,3 R,X,2Y,2 第 第 第 第 X,2Y,3 X,2Y,4 X,2Y,5 X,2Y,6 次 次 次 次 P,3X,2Y,3 P,3X,2Y,0 P,3X,2Y,1 P,3X,2Y,2 Q,X,2Y,1 Q,X,2Y,0 Q,X,2Y,3 Q,X,2Y,2 R,X,2Y,5 R,X,2Y,4 R,X,2Y,3 R,X,2Y,6 第 第 … X,2Y,3Z,2 X,2Y,3Z,1 次 次 … P,3X,2Y,Z,2 P,3X,2Y,Z,3 … Q,X,2Y,Z,2 Q,X,2Y,Z,1 … R,X,2Y,Z,6 R,X,2Y,Z,7 ,表五, 第 第 第 X,2Y,3Z X,2Y,3Z,1 X,2Y,3Z,2 次 次 次 P,3X,2Y,Z,4 P,3X,2Y,Z,1 P,3X,2Y,Z,2 Q,X,2Y,Z Q,X,2Y,Z,1 Q,X,2Y,Z,2 R,X,2Y,Z,4 R,X,2Y,Z,5 R,X,2Y,Z,6 R,X,2Y,1 Q,X,2Y,1 , Q,X,2Y,R,X,2Y,4 ,, 4Y Q,R,4Y,4 則,Q,R,有下列三種可能, 1. Q,R,4Y 2. Q,R,4Y,1 3. Q,R,4Y,2 4. Q,R,4Y,3 【1】設遊戲在第X,2Y,3Z次時結束,甲,乙,P,Q,4X,4,乙,丙,Q,R,4Y,4,又P,Q可能為4X、4X,1、4X,2、4X,3,Q,R可能為4Y、4Y,1、4Y,2、4Y,3。所以,有下列16種情形, 1.當P,Q,4X,Q,R,4Y時,甲,乙,4,乙,丙,,4,所以得知甲,丙,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z R,,X,2Y,Z 得知,P,3X,2Y,Z,4,4 R,X,2Y,Z,4,4 2.當P,Q,4X,Q,R,4Y,1時,甲,乙,4,乙,丙,,5, 所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z R,,X,2Y,Z,1 2Y,Z,4,4 得知,P,3X, R,X,2Y,Z,4,5 但遊戲結束時若剩下代幣數大於4時,此情形不存在。 3.當P,Q,4X,Q,R,4Y,2時,甲,乙,4,乙,丙,,6,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z R,,X,2Y,Z,2 得知,P,3X,2Y,Z,4,4 R,X,2Y,Z,4,6 但遊戲結束時若剩下代幣數大於4時,此情形不存在。 4.當P,Q,4X,Q,R,4Y,3時,甲,乙,4,乙,丙,,7,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z R,,X,2Y,Z,3 得知,P,3X,2Y,Z,4,4 R,X,2Y,Z,4,7 但遊戲結束時若剩下代幣數大於4時,此情形不存在。 5.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y時,甲,乙,3,乙,丙,,4,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z 得知,P,3X,2Y,Z,4,3 R,X,2Y,Z,4,4 6.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,1時,甲,乙,3,乙,丙,5,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 , Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,1 得知,P,3X,2Y,Z,4,3 R,X,2Y,Z,4,5 但遊戲結束時若剩下代幣數大於4時,此情形不存在。 7.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,2時,甲,乙,3,乙,丙,,6,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,2 得知,P,3X,2Y,Z,4,3 R,X,2Y,Z,4,6 但遊戲結束時若剩下代幣數大於4時,此情形不存在 8.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,3時,甲,乙,3,乙,丙,,7,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,3 得知,P,3X,2Y,Z,4,3 R,X,2Y,Z,4,7 但遊戲結束時若剩下代幣數大於4時,此情形不存在。 9.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y時,甲,乙,2,乙,丙,,4,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z,2 X,2Y,Z R,, 得知,P,3X,2Y,Z,4,2 R,X,2Y,Z,4,4 10.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,1時,甲,乙,2,乙,丙,,5,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z,2 R,,X,2Y,Z,1 得知,P,3X,2Y,Z,4,2 R,X,2Y,Z,4,5 但遊戲結束時若剩下代幣數大於4時,此情形不存在。 11.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,2時,甲,乙,2,乙,丙,,6,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z,2 R,,X,2Y,Z,2 得知,P,3X,2Y,Z,4,2 R,X,2Y,Z,4,6 但遊戲結束時若剩下代幣數大於4時,此情形不存在。 12.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,3時,甲,乙,2,乙,丙,,7,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z,2 R,,X,2Y,Z,3 得知,P,3X,2Y,Z,4,2 R,X,2Y,Z,4,7 但遊戲結束時若剩下代幣數大於4時,此情形不存在。 13.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y時,甲,乙,1,乙,丙,,4,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z,3 R,,X,2Y,Z 得知,P,3X,2Y,Z,4,1 R,X,2Y,Z,4,4 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結束。 14.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,1時,甲,乙,1,乙,丙,,5,所以得知甲,乙,丙,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z,3 R,,X,2Y,Z,1 得知,P,3X,2Y,Z,4,1 R,X,2Y,Z,4,5 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結束。 15.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,2時,甲,乙,1,乙,丙,,6,所以得知甲,乙,丙,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z,3 R,,X,2Y,Z,2 得知,P,3X,2Y,Z,4,1 R,X,2Y,Z,4,6 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結束。 16.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,3時,甲,乙,1,乙,丙,,7,所以得知甲,乙,丙,乙,則乙最有可能在這次等於0。 X,2Y,Z Q,, P,3X,2Y,Z,3 R,,X,2Y,Z,3 得知,P,3X,2Y,Z,4,1 R,X,2Y,Z,4,7 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結束。 綜合以上的敘述可求得當遊戲在第X,2Y,3Z次結束時,所剩下的代幣數可能為,2、4、0,、,3、4、0,、,4、4、0,。 【2】設遊戲在第X,2Y,3Z,1次時結束,甲,乙,P,Q,4X,乙,丙,Q,R,4Y,4,又P,Q可能為4X、4X,1、4X,2、4X,3,Q,R可能為4Y、4Y,1、4Y,2、4Y,3。所以,有下列16種情形, 1.當P,Q,4X,Q,R,4Y時,甲,乙,0,乙,丙,,4,所以得知丙,甲,乙,則甲、丙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 2.當P,Q,4X,Q,R,4Y,1時,甲,乙,0,乙,丙,,5,所以得知丙,甲,乙,則甲、丙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 3.當P,Q,4X,Q,R,4Y,2時,甲,乙,0,乙,丙,,6,所以得知丙,甲,乙,則甲、丙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 4.當P,Q,4X,Q,R,4Y,3時,甲,乙,0,乙,丙,,7,所以得知丙,甲,乙,則甲、丙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 5.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y時,甲,乙,,1,乙,丙, ,4,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,1 X,2Y,Z Q,, R,,X,2Y,Z 得知,Q,X,2Y,Z,1,1 R,X,2Y,Z,3,,3 但最後剩下的代幣數不可能為負數,所以不合。 6.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,1時,甲,乙,,1,乙,丙, ,5,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,1 Q,,X,2Y,Z R,,X,2Y,Z,1 得知,Q,X,2Y,Z,1,1 R,X,2Y,Z,3,,2 但最後剩下的代幣數不可能為負數,所以不合。 7.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,2時,甲,乙,,1,乙,丙, ,6,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,1 Q,,X,2Y,Z R,,X,2Y,Z,2 得知,Q,X,2Y,Z,1,1 R,X,2Y,Z,3,,1 但最後剩下的代幣數不可能為負數,所以不合。 8.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,3時,甲,乙,,1,乙,丙 , ,7,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,1 Q,,X,2Y,Z X,2Y,Z,3 R,, 得知,Q,X,2Y,Z,1,1 R,X,2Y,Z,3,0 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 9.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y時,甲,乙,,2,乙,丙,,4,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,1 Q,,X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,1 得知,Q,X,2Y,Z,1,2 R,X,2Y,Z,3,,2 但最後剩下的代幣數不可能為負數,所以不合。 10.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,1時,甲,乙,,2,乙,丙, ,5,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,1 Q,,X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,2 得知,Q,X,2Y,Z,1,2 R,X,2Y,Z,3,,1 但最後剩下的代幣數不可能為負數,所以不合。 11.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,2時,甲,乙,,2,乙,丙, ,6,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,1 Q,,X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,3 得知,Q,X,2Y,Z,1,2 X,2Y,Z,3,0 R, 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 12.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,3時,甲,乙,,2,乙,丙, ,7,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,1 Q,,X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,4 得知,Q,X,2Y,Z,1,2 R,X,2Y,Z,3,1 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z次時遊戲就已經結束。 13.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y時,甲,乙,,3,乙,丙,,4,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,1 Q,,X,2Y,Z,2 R,,X,2Y,Z,2 得知,Q,X,2Y,Z,1,3 R,X,2Y,Z,3,,1 但最後剩下的代幣數不可能為負數,所以不合。 14.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,1時,甲,乙,,3,乙,丙, ,5,所以得知乙,甲,丙,乙,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,1 Q,,X,2Y,Z,2 R,,X,2Y,Z,3 得知,Q,X,2Y,Z,1,3 R,X,2Y,Z,3,0 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 15.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,2時,甲,乙,,3,乙,丙, ,6,所以得知乙,甲,丙,乙,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,1 Q,,X,2Y,Z,2 R,,X,2Y,Z,4 得知,Q,X,2Y,Z,1,3 R,X,2Y,Z,3,1 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z次時遊戲就已經結束。 16.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,3時,甲,乙,,3,乙,丙, ,7,所以得知乙,甲,丙,乙,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,1 Q,,X,2Y,Z,2 R,,X,2Y,Z,5 得知,Q,X,2Y,Z,1,3 R,X,2Y,Z,3,2 綜合以上的敘述可求得當遊戲在第X,2Y,3Z,1次結束時,所剩下的代幣數只可能為,2、3、0, 【3】設遊戲在第X,2Y,3Z,2次時結束,甲,乙,P,Q,4X,乙,丙,Q,R,4Y,又P,Q可能為4X、4X,1、4X,2、4X,3,Q,R可能為4Y、4Y,1、4Y,2、4Y,3。所以,有下列16種情形, 1.當P,Q,4X,Q,R,4Y時,甲,乙,0,乙,丙,0,所以得知甲,乙,丙,則甲、乙、丙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有三人為0。 2.當P,Q,4X,Q,R,4Y,1時,甲,乙,0,乙,丙,,1,所以得知丙,乙,甲,則甲、乙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 3.當P,Q,4X,Q,R,4Y,2時,甲,乙,0,乙,丙,,2,所以得知丙,乙,甲,則甲、乙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 4.當P,Q,4X,Q,R,4Y,3時,甲,乙,0,乙,丙,,3,所以得知丙,乙,甲,則甲、乙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 5.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y時,甲,乙,,1,乙,丙,0,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,2 Q,,X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,1 得知,Q,X,2Y,Z,2,,1 R,X,2Y,Z,2,,1 但最後剩下的代幣數不可能為負數,所以不合。 6.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,1時,甲,乙,,1,乙,丙, ,1,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,2 Q,,X,2Y,Z,3 R,,X,2Y,Z,4 得知,Q,X,2Y,Z,2,1 R,X,2Y,Z,2,2 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結束。 7.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,2時,甲,乙,,1,乙,丙, 2,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 , P,3X,2Y,Z,2 Q,,X,2Y,Z,3 R,,X,2Y,Z,5 得知,Q,X,2Y,Z,2,1 R,X,2Y,Z,2,3 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結束。 8.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,3時,甲,乙,,1,乙,丙, ,3,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,2 Q,,X,2Y,Z,3 R,,X,2Y,Z,6 得知,Q,X,2Y,Z,2,1 R,X,2Y,Z,2,4 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結束。 9.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y時,甲,乙,,2,乙,丙,0,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,2 Q,,X,2Y,Z,4 R,,X,2Y,Z,4 得知,Q,X,2Y,Z,2,2 R,X,2Y,Z,2,2 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z次時遊戲就已經結束。 10.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,1時,甲,乙,,2,乙,丙 , ,1,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,2 Q,,X,2Y,Z,4 R,,X,2Y,Z,5 得知,Q,X,2Y,Z,2,2 R,X,2Y,Z,2,3 11.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,2時,甲,乙,,2,乙,丙, ,2,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,2 Q,,X,2Y,Z,4 R,,X,2Y,Z,6 得知,Q,X,2Y,Z,2,2 R,X,2Y,Z,2,4 12.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,3時,甲,乙,,2,乙,丙, ,3,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,2 Q,,X,2Y,Z,4 R,,X,2Y,Z,7 得知,Q,X,2Y,Z,2,2 R,X,2Y,Z,2,5 但遊戲結束時若剩下代幣數大於4時,此情形不存在 13.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y時,甲,乙,,3,乙,丙,0,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,2 X,2Y,Z,5 Q,, R,,X,2Y,Z,5 得知,Q,X,2Y,Z,2,3 R,X,2Y,Z,2,3 14.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,1時,甲,乙,,3,乙,丙, ,1,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,2 Q,,X,2Y,Z,5 R,,X,2Y,Z,6 得知,Q,X,2Y,Z,2,3 R,X,2Y,Z,2,4 15.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,2時,甲,乙,,3,乙,丙, ,2,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,2 Q,,X,2Y,Z,5 R,,X,2Y,Z,7 得知,Q,X,2Y,Z,2,3 R,X,2Y,Z,2,5 但遊戲結束時若剩下代幣數大於4時,此情形不存在 16.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,3時,甲,乙,,3,乙,丙, ,3,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,2 Q,,X,2Y,Z,5 R,,X,2Y,Z,8 得知,Q,X,2Y,Z,2,3 X,2Y,Z,2,6 R, 但遊戲結束時若剩下代幣數大於4時,此情形不存在 綜合以上的敘述可求得當遊戲在第X,2Y,3Z,2次結束時,所剩下的代幣數可能為,2、3、0,、,2、4、0,、,3、3、0,、,3、4、0,。 【二】設在第X,2Y次時,丙玩家的代幣數大於等於乙玩家的代幣數,且大於甲玩家的代幣數。 ,如表六所示, 第 第 第 第 X,2Y X,2Y,1 X,2Y,2 X,2Y,3 次 次 次 次 P,3X,2Y P,3X,2Y,1 P,3X,2Y,2 P,3X,2Y,1 Q,X,2Y Q,X,2Y,1 Q,X,2Y,2 Q,X,2Y,1 R,X,2Y R,X,2Y,3 R,X,2Y,2 R,X,2Y,1 第 第 第 X,2Y,4 X,2Y,5 X,2Y,6 … 次 次 次 P,3X,2Y P,3X,2Y,1 P,3X,2Y,2 … Q,X,2Y Q,X,2Y,3 Q,X,2Y,2 … R,X,2Y,4 R,X,2Y,3 R,X,2Y,2 … 第 第 第 X,2Y,3Z X,2Y,3Z,1 X,2Y,3Z,2 次 次 次 P,3X,2Y,Z P,3X,2Y,Z,1 P,3X,2Y,Z,2 Q,X,2Y,Z Q,X,2Y,Z,1 Q,X,2Y,Z,2 R,X,2Y,Z R,X,2Y,Z,3 R,X,2Y,Z,2 ,表六, , R,X,2Y Q,X,2Y , Q,X,2Y,1,R,X,2Y,3 ,, 4Y Q,R,4Y,4 則,Q,R,有下列四種可能, 1. Q,R,4Y 2. Q,R,4Y,1 3. Q,R,4Y,2 4. Q,R,4Y,3 【2】設遊戲在第X,2Y,3Z次時結束,甲,乙,P,Q,4X,乙,丙,Q,R,4Y,又P,Q可能為4X、4X,1、4X,2、4X3,Q,R可能為4Y、4Y,1、4Y,2、4Y,3。所以,有下列, 16種情形, 1.當P,Q,4X,Q,R,4Y時,甲,乙,0,乙,丙,0,所以得知甲,乙,丙,則甲、乙、丙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有三人為0。 2.當P,Q,4X,Q,R,4Y,1時,甲,乙,0,乙,丙,,1,所以得知丙,乙,甲,則甲、乙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 3.當P,Q,4X,Q,R,4Y,2時,甲,乙,0,乙,丙,,2,所以得知丙,乙,甲,則甲、乙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 4.當P,Q,4X,Q,R,4Y,3時,甲,乙,0,乙,丙,,3,所以得知丙,乙,甲,則甲、乙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 5.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y時,甲,乙,,1,乙,丙,0,所以得知乙,丙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z Q,,X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,1 得知,Q,X,2Y,Z,1 R,X,2Y,Z,1 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結束。 6.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,1時,甲,乙,,1,乙,丙 , ,1,所以得知甲,乙,丙,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z Q,,X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,2 得知,Q,X,2Y,Z,1 R,X,2Y,Z,2 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結束。 7.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,2時,甲,乙,,1,乙,丙, ,2,所以得知甲,乙,丙,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z Q,,X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,3 得知,Q,X,2Y,Z,1 R,X,2Y,Z,3 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結束。 8.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,3時,甲,乙,,1,乙,丙,,3,所以得知甲,乙,丙,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z Q,,X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,4 得知,Q,X,2Y,Z,1 R,X,2Y,Z,4 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結束。 9.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y時,甲,乙,,2,乙,丙,0, 所以得知乙,丙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z Q,,X,2Y,Z,2 R,,X,2Y,Z,2 ,Q,X,2Y,Z,2 得知 R,X,2Y,Z,2 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,2次時遊戲就已經結束。 10.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,1時,甲,乙,,2,乙,丙, ,1,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z Q,,X,2Y,Z,2 R,,X,2Y,Z,3 得知,Q,X,2Y,Z,2 R,X,2Y,Z,3 11.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,2時,甲,乙,,2,乙,丙, ,2,所以得知丙,乙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z Q,,X,2Y,Z,2 R,,X,2Y,Z,4 得知,Q,X,2Y,Z,2 R,X,2Y,Z,4 12.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,3時,甲,乙,,2,乙,丙, ,3,所以得知甲,乙,丙,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z Q,,X,2Y,Z,2 R,,X,2Y,Z,5 得知,Q,X,2Y,Z,2 R,X,2Y,Z,5 但遊戲結束時若剩下代幣數大於4時,此情形不存在 13.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y時,甲,乙,,3,乙,丙,0,所以得知乙,丙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z Q,,X,2Y,Z,3 R,,X,2Y,Z,3 得知,Q,X,2Y,Z,3 R,X,2Y,Z,3 14.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,1時,甲,乙,,3,乙,丙, ,1,所以得知甲,乙,丙,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z Q,,X,2Y,Z,3 R,,X,2Y,Z,4 得知,Q,X,2Y,Z,3 R,X,2Y,Z,4 15.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,2時,甲,乙,,3,乙,丙, ,2,所以得知甲,乙,丙,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z Q,,X,2Y,Z,3 R,,X,2Y,Z,5 得知,Q,X,2Y,Z,3 R,X,2Y,Z,5 但遊戲結束時若剩下代幣數大於4時,此情形不存在 16.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,3時,甲,乙,,3,乙,丙, ,3,所以得知甲,乙,丙,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z Q,,X,2Y,Z,3 R,,X,2Y,Z,6 得知,Q,X,2Y,Z,3 X,2Y,Z,6 R, 但遊戲結束時若剩下代幣數大於4時,此情形不存在 綜合以上的敘述可求得當遊戲在第X,2Y,3Z次結束時,所剩 下 的代幣數可能為,2、3、0,、,2、4、0,、,3、3、0,,3、4、0, 【2】設遊戲在第X,2Y,3Z,1次時結束,甲,乙,P,Q,4X,乙,丙,Q,R,4Y,4,又P,Q可能為4X、4X,1、4X,2、4X,3,Q,R可能為4Y、4Y,1、4Y,2、4Y,3。所以,有下列16種情形, 1.當P,Q,4X,Q,R,4Y時,甲,乙,0,乙,丙,4,所以得知甲,乙,丙,則丙最有可能在這次等於0。 R,,X,2Y,Z,3 Q,,X,2Y,Z,3 P,3X,2Y,Z,3 得知,P,3X,2Y,Z,1,4 Q,X,2Y,Z,1,4 2.當P,Q,4X,Q,R,4Y,1時,甲,乙,0,乙,丙,3,所以得知甲,乙,丙,則丙最有可能在這次等於0。 R,,X,2Y,Z,3 Q,,X,2Y,Z,2 P,3X,2Y,Z,2 得知,P,3X,2Y,Z,1,3 Q,X,2Y,Z,1,3 3.當P,Q,4X,Q,R,4Y,2時,甲,乙,0,乙,丙,2,所以得知甲,乙,丙,則丙最有可能在這次等於0。 R,,X,2Y,Z,3 Q,,X,2Y,Z,1 3X,2Y,Z,1 P, 得知,P,3X,2Y,Z,1,2 Q,X,2Y,Z,1,2 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結束。 4.當P,Q,4X,Q,R,4Y,3時,甲,乙,0,乙,丙,1,所以得知甲,乙,丙,則丙最有可能在這次等於0。 R,,X,2Y,Z,3 Q,,X,2Y,Z,0 P,3X,2Y,Z,0 得知,P,3X,2Y,Z,1,1 Q,X,2Y,Z,1,1 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z次時遊戲就已經結束。 5.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y時,甲,乙,,1,乙,丙,4,所以得知乙,甲,丙,則丙最有可能在這次等於0。 R,,X,2Y,Z,3 Q,,X,2Y,Z,3 P,3X,2Y,Z,2 得知,P,3X,2Y,Z,1,3 Q,X,2Y,Z,1,4 6.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,1時,甲,乙,,1,乙,丙,3,所以得知乙,甲,丙,則丙最有可能在這次等於0。 R,,X,2Y,Z,3 Q,,X,2Y,Z,2 P,3X,2Y,Z,1 得知,P,3X,2Y,Z,1,2 Q,X,2Y,Z,1,3 Q,R,4Y,2時,甲,乙,,1,乙,丙7.當P,Q,4X,1, ,2,所以得知乙,甲,丙,則丙最有可能在這次等於0。 R,,X,2Y,Z,3 Q,,X,2Y,Z,1 P,3X,2Y,Z 得知,P,3X,2Y,Z,1,1 Q,X,2Y,Z,1,2 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z次時遊戲就已經結束。 8.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,3時,甲,乙,,1,乙,丙,1,所以得知乙,甲,丙,則甲、丙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 9.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y時,甲,乙,,2,乙,丙,4,所以得知乙,甲,丙,則丙最有可能在這次等於0。 R,,X,2Y,Z,3 Q,,X,2Y,Z,3 P,3X,2Y,Z,1 得知,P,3X,2Y,Z,1,2 Q,X,2Y,Z,1,4 10.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,1時,甲,乙,,2,乙,丙,3,所以得知乙,甲,丙,則丙最有可能在這次等於0。 R,,X,2Y,Z,3 Q,,X,2Y,Z,2 P,3X,2Y,Z 得知,P,3X,2Y,Z,1,1 Q,X,2Y,Z,1,3 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z次時遊戲就已經結束。 11.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,2時,甲,乙,,2,乙,丙,2,所以得知乙,甲,丙,則甲、丙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 12.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,3時甲,乙,,2,乙,丙,1,所以得知乙,丙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,1 Q,,X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,4 得知,Q,X,2Y,Z,1,2 R,X,2Y,Z,3,1 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z次時遊戲就已經結束。 13.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y時,甲,乙,,3,乙,丙,4,所以得知乙,甲,丙,丙最有可能在這次等於0。 R,,X,2Y,Z,3 Q,,X,2Y,Z,3 P,3X,2Y,Z 得知,P,3X,2Y,Z,1,1 Q,X,2Y,Z,1,4 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z次時遊戲就已經結束。 14. 當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,1時,甲,乙,,3,乙,丙,3,所以得知乙,丙,甲,則甲、丙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 15.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,2時,甲,乙,,3,乙,丙,2,所以得知乙,丙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,1 Q,,X,2Y,Z,2 R,,X,2Y,Z,4 得知,Q,X,2Y,Z,1,3 R,X,2Y,Z,3,1 2Y,3Z次時遊戲就已經結束。 此結果與假設不合,因為在第X, 16.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,3時,甲,乙,,3,乙,丙,1,所以得知乙,丙,甲,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,1 Q,,X,2Y,Z,2 R,,X,2Y,Z,5 得知,Q,X,2Y,Z,1,3 R,X,2Y,Z,3,2 綜合以上的敘述可求得當遊戲在第X,2Y,3Z,1次結束時,所剩下的代幣數只可能為,2、3、0,、,2、4、0,、,3、3、0,、,3、4、0,、,4、4、0, 【3】設遊戲在第X,2Y,3Z,2次時結束,甲,乙,P,Q,4X,4,乙,丙,Q,R,4Y,又P,Q可能為4X、4X,1、4X,2、4X,3,Q,R可能為4Y、4Y,1、4Y,2、4Y,3。所以,有下列16種情形, 1.當P,Q,4X,Q,R,4Y時,甲,乙,4,乙,丙,0,所以得知甲,乙,丙,則乙、丙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 2.當P,Q,4X,Q,R,4Y,1時,甲,乙,4,乙,丙,,1,所以得知乙,甲,丙,則丙最有可能在這次等於0。 R,,X,2Y,Z,2 Q,,X,2Y,Z,1 P,3X,2Y,Z,1 得知,P,3X,2Y,Z,2,3 Q,X,2Y,Z,2,,1 但最後剩下的代幣數不可能為負數,所以不合。 3.當P,Q,4X,Q,R,4Y,2時,甲,乙,4,乙,丙,,2,所以得知乙,甲,丙,則丙最有可能在這次等於0。 X,2Y,Z,2 R,, Q,,X,2Y,Z P,3X,2Y,Z 得知,P,3X,2Y,Z,2,2 Q,X,2Y,Z,2,,2 但最後剩下的代幣數不可能為負數,所以不合。 4.當P,Q,4X,Q,R,4Y,3時,甲,乙,4,乙,丙,,3,所以得知乙,甲,丙,則丙最有可能在這次等於0。 R,,X,2Y,Z,2 Q,,X,2Y,Z,1 P,3X,2Y,Z,1 得知,P,3X,2Y,Z,2,1 Q,X,2Y,Z,2,,3 但最後剩下的代幣數不可能為負數,所以不合。 5.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y時,甲,乙,3,乙,丙,0,所以得知甲,乙,丙,則乙、丙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 6.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,1時,甲,乙,3,乙,丙, ,1,所以得知甲,丙,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z,2 P,3X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,3 得知,P,3X,2Y,Z,2,3 R,X,2Y,Z,2,1 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結束。 7.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,2時,甲,乙,3,乙,丙, ,2,所以得知甲,丙,乙,則乙最有可能在這次等於0。 X,2Y,Z,2 Q,, P,3X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,4 得知,P,3X,2Y,Z,2,3 R,X,2Y,Z,2,2 8.當P,Q,4X,1,Q,R,4Y,3時,甲,乙,3,乙,丙,,3,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z,2 P,3X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,5 得知,P,3X,2Y,Z,2,3 R,X,2Y,Z,2,3 9. 當P,Q,4X,2,Q,R,4Y時,甲,乙,2,乙,丙,0,所以得知甲,乙,丙,則乙、丙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 10.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,1時,甲,乙,2,乙,丙, ,1,所以得知甲,丙,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z,2 P,3X,2Y,Z R,,X,2Y,Z,3 得知,P,3X,2Y,Z,2,2 R,X,2Y,Z,2,1 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結 束。 11.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,2時,甲,乙,2,乙,丙, ,2,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z,2 3X,2Y,Z P, R,,X,2Y,Z,4 得知,P,3X,2Y,Z,2,2 R,X,2Y,Z,2,2 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z次時遊戲就已經結束。 12.當P,Q,4X,2,Q,R,4Y,3時,甲,乙,2,乙,丙, ,3,所以得知丙,甲,乙,則甲最有可能在這次等於0。 P,3X,2Y,Z,2 Q,,X,2Y,Z R,,X,2Y,Z,3 得知,Q,X,2Y,Z,2,,2 R,X,2Y,Z,2,1 但最後剩下的代幣數不可能為負數,所以不合。 13. 當P,Q,4X,3,Q,R,4Y時,甲,乙,1,乙,丙,0 ,所以得知甲,乙,丙,則乙、丙最有可能在這次等於0。 但最後剩下的代幣數不可能有兩人為0。 14.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,1時,甲,乙,1,乙,丙, ,1,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z,2 P,3X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,3 得知,P,3X,2Y,Z,2,1 R,X,2Y,Z,2,1 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結 束。 15.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,2時,甲,乙,1,乙,丙, ,2,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 X,2Y,Z,2 Q,, P,3X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,4 得知,P,3X,2Y,Z,2,1 R,X,2Y,Z,2,2 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結束。 16.當P,Q,4X,3,Q,R,4Y,3時,甲,乙,1,乙,丙, ,3,所以得知丙,甲,乙,則乙最有可能在這次等於0。 Q,,X,2Y,Z,2 P,3X,2Y,Z,1 R,,X,2Y,Z,5 得知,P,3X,2Y,Z,2,1 R,X,2Y,Z,2,3 此結果與假設不合,因為在第X,2Y,3Z,1次時遊戲就已經結束。 綜合以上的敘述可求得當遊戲在第X,2Y,3Z,2次結束時,所剩下的代幣數可能為,2、3、0,、,3、3、0,。 伍、研究結果, 一、新遊戲中三人代幣數一開始皆為P 代幣數 P、P、P 項目 剩餘代幣數 ,4、4、0, 遊戲次數 3P,8 二、新遊戲中三人代幣數一開始為P、Q、Q 代幣數 P、Q、Q 項目 剩餘代幣數 2、4、0 3、3、0 3、4、0 4、4、0 遊戲次數 P,2Q,6 P,2Q,6 P,2Q,7 P,2Q,8 三、新遊戲中三人代幣數一開始為P、P、Q 代幣數 P、P、Q 項目 剩餘代幣數 2、3、0 2、4、0 3、3、0 3、4、0 遊戲次數 2P,Q,5 2P,Q,6 2P,Q,6 2P,Q,7 四、新遊戲中三人代幣數一開始為P、Q、R 代幣數 P、Q、R 項目 剩餘代幣數 2、3、0 2、4、0 3、3、0 3、4、0 4、4、0 P,Q,RP,Q,RP,Q,RP,Q,RP,Q,R遊戲次數 ,5 ,6 ,6 ,7 ,8 陸、參考資料及其他, AMC10歷屆試題 范宏亮,民95,。雙向溝通數學複習講義綜合版,第二十三單元,一 , 次不等式,豆丁文档最好 英语 数学 标志 销售
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