正交异性双材料反平面界面裂纹分析

正交异性双材料反平面界面裂纹分析 2009年 10月 JOURNAL O F TA IYUAN UN IV ER S ITY O F SC IENCE AND TECHNOLO GY O c t. 2009 ( ) 文章编号 : 1673 - 2057 2009 05 - 0409 - 03 正交异性双材料反平面界面裂纹分析 王小丽 ,李俊林 ()太原科技大学应用科学学院 ,太原 030024 摘 要 :研究了正交异性双材料反平面界面裂纹问题 。采用复合材料断裂复变方法 ,构造了特殊 应力函数 ,通过求解一类偏微分方程组边界问题 ,推导出界面裂纹尖端附近的应力场 、位移场及应力强 1 - 2 度因子的达式 ,确定了裂纹尖端应力场的奇异性 ,结果现实裂尖附近应力具有 r的奇异性 ,但没有 振荡性 。 关键词 :正交异性 ;反平面 ;界面裂纹 ;应力场 ;应力强度因子 中图分类号 : O346 文献标识码 : A ( ) ( ) , 其材料常数为 G, G, 而合材料 随着新型复合材料在工程中的应用日益增多 , y < 0 23 1 31 1 由不同材料组成的界面力学行为得到了人 们的 关 为第二 种 正 交 异 性 复 合 材 料 , 其 材 料 工 程 常 数 为 注 。由于结 合 材 料 的 破 坏 多 发 生 在 界 面 附 近 , 因 ( ) ( ) G, G. 23 2 31 2 此 ,界面裂纹的分析对结合材料的强度和可靠性评 价具有重要意义 。文献 [ 1 ]对界面裂纹裂尖进行了 应力振荡奇异性的研究 ,得到 I型和 II型裂纹尖端 1 -2r 应力具有振荡奇异性 , III型裂纹尖端应力具有 的奇异性而无振荡性 ; 文献 [ 2 ]用保角映射法研究 了各向同性材料的反平面界面裂纹的奇异性问题 , 图 1 正交异性双材料界面裂纹模型 获得了精确的应变能释放率并给出了应力 强度 因 F ig. 1 M ode l of an t ip lan e in terfa ce cra ck be tween two d iss im ila r or tho trop ic com po s ite m a ter ia ls 子的表达式 ;文献 [ 3 ]采用对偶积分方程方法 ,研究 考 虑 到 受 反 平 面 剪 应 力 作 用 , 由 弹 性 力 学 可 了正交各向异性功能梯度材料反平面裂纹问题 ,其 知 ,控制方程为 : 结果表明 ,正交各向异性功能梯度材料裂纹尖端应 1 22- 2 ω ω 5 5力场同样具有 r的奇异性 。目前 ,研究正交异性 j j ( ) ( )() () = 0, j = 1, 2 1 Q+ Q 55 j 44 j2 2 5x 5y 双材料的文献并不多见 , 本 文通 过 构造 应力 函数 , ( ) ωj = 1, 2 是应力函数 ,由弹性力学可知 其中 结合复变函数理论 ,推出了满足控制方程的正交异 j 其相应的应力分量为 : 性双材料反平面界面裂纹尖端附近的应力场 、位移 ω5 j场和应力强度因子的表达式 。 (τ ) ( )( ) 2 = Qrz j 55 j 5r 1 力学模型 ω 5 j (τ) ) (( )= Q3 θ44 jz jθr5 0, y = > 如图 1所示 , x ? 0, y = 0为界面裂纹 , x ( ) ( 位移分量为 : u= v= 0, w = w x, y , j = 1, j j j j 0 为材料粘接界面 , y > 0部分为第一种正交异性复 ) θ2 , r和 为 从 裂 纹 边 缘 起 度 量 的 极 坐 标 。而 常 数 ( )( )j = 1, 2 9 ( )( )( θβθ) ( ) ) ( ) () ( ) ) = G, Q, G为((注意到式 5 及式 7 有 z= r co s+ i sin, Q= G, Q 31 j 23 j 31 j j j 44 j23 j 55 jφi j剪切模量 。 θ βθ ρ记 co s+ i sin= e j j 2 2 2 ρθ βθφβθ( 其中 = co s+sin , tan= tan, j j j j j 2 应力函数 )= 1, 2 ( ) ( ) 假设位移为 w = w x + sy , w x + sy 对固 j j jk j jk ( )( )8 和式 9 分别带入以下边界条件 : 将式 定的 j, k是任一复变函数 。 θ τ) τ) ωω((( )= 0, = ,= 10 θθz 1 z 2 1 2 ( ) ( ) ( ) θπ(τ) 将 w x + sy 带入控制方程 1 , 得到特征方 11 = , = 0 θj jk 1 z 1 2 ) ) )((( ( )s+ Q= 0, j = 1, 2 Q程 : 4 πτ) (θ( )44 j jk55 j = - , = 0 12 θ2z 2 ( ) 可得关于 a, a, b, b的四阶齐次线性方程组 : 1 2 1 2 () Q55 j β( ) 定义 s= i = i , 方程 4 有一对共轭 j j () Q a- a= 0 44 j1 2 虚根如下 : () β() β- = 0 QbQb 44 11 1 44 22 2( )13 () Qπλ πλ bco s- asin= 0 55 j1 1 βs= i = i j1 j () Q 44 j πλ πλ a sin+ b co s= 02 2 ( )( )= s, j = 1, 2 s5 j2 j1( )由式 13 前两个方程可解得 : ( ) 由方程 1 选取特殊应力函数如下 : () β() βa= a, Qb= Qb 1 2 44 11 144 22 2 λλ+1 +1 z+ z 1 jjβ() μ设 : μ() β= Q,Q = 11 44 1 244 22 (ω( θ)= a+ r, jj λ 2 + 1 μ 1λλ+1 +1 πλ= tanb a 21 z- z j j μ 2) ( )( )b, j = 1, 2 6 j 2 i μ 1 可得 : πλa= tanb 22其中 : μ 2 θ(θ)z= x + sy = rco s + ssinj jk jk μ 1)( = 1, 2 , j = 1, 2; k b = b 1 2 ( θθ)z= x + sy = rco s + ssin μ j jk jk 2 ( )为使该齐次线性方程组有一组非零解 ,则其系 7 数行列式必须为 0. ( ) ( θ) ( )ω6 给出的 r,满足偏微分方程 1 式 , 将式 j () β) β(Q+ Q ( ) ( ) ( ) ( ) 6 、式 7 分别代入式 2 、式 3 可得 : 44 22 44 11πλπλ= 0 : sin?co s? 即 () βQ 44 11ω5 jλ ) () ((τ) Q= Qr = 55 j 55 j rz jπλ sin2= 05 r λλ+1 +1 ( θ θ) ( θ θ) 由此解得特征值 : co s+ ssin+ co s+ ssin jk jk [ a+ j 2 1 λ = n + , n= - 1, - 2, ? λλ+1 +1 2 ( θ θ) ( θ θ) co s+ ssin- co s+ ssin jk jk ( )b] 8 j λ 2 i 当 n 为偶数时 , 设 n = 2m ,= m , b= 0, j ω 5 1 jλ λ 当 n为奇数时 ,设 n = 2m - 1,= m - , a= 0 (τ) j () () = Q= Qr θ44 j 44 j z j2 θ5 r λ 则正交异性双 材 料反 平面 界 面裂 纹尖 端 应力 ( θ θ) ( θ θ)co s+ ssin- sin+ sco s jk jk [ a+ j场可表示为 : 2 λ 1 1 φ ( θ θ) ( θ θ)co s+ ssin- sin+ sco s jk jk j- 22 (τ) () ρ() ρφa+ = Qr sin ?b+ Qco s?a jj rz j55 j j 55 j j j j2 2 λ 1 1 βφ ( θ θ) ( θ θ)+ 1 co s+ ssin- sin+ sco s j jjk jk - - 22 (τ) () ρ(θ ) - b= Qr [ co s - + θjz j44 j j 2 i 2 2 λ ( θ θ) ( θ θ)β - 1 φco s+ ssin- sin+ sco s jjk jk j(θ ) () θb]co s + ] b- Qsin?a j j 44 j j2 i 2 2 第 30卷第 5期 王小丽 ,等 :正交异性双材料反平面界面裂纹分析 411 φβ () 位移场可表示为 : Q - 1 j j55 j(θ ) Γ co s + ], 其中 = () 2 2 Q 1 1 44 jφφ jj22 ω( θ) ρρ( )r,= rsin ?b + r co s ?a j = 1, 2 j j j j j j 2 2 φ K j r ? ω( θ) r,= sin j π () Q22 55 j3 应力强度因子的计算 结论4 1 当 m = 0, 在 r ? 0处应力具有 - 奇异性 。在 2 ( ) (θ )π1 正交异性双材料反平面界面裂纹 = ? 1 裂纹尖端附近 ,第一项为主项 ,其余各项可忽略不计 。 -2 r应力具有 的奇异性 , 但不具有振荡性 , 其特征值 定义 : 与两材料常数无关 ; j π) πρ( )τ(K= lim= Qbj = 1, 2 2r?2 ? 55 j jj rzj( ) 2 给出了正交异性双材料 III型界面裂纹尖 r?0 j φ端的应力场 、位移场以及应力强度因子的表达式 。 K ? jτ) sin (则 : = rz j2 π 2r j β φ K + 1 j? j(τ) (θ ) = [ - + co s θz j2 2 Γρπ 2ri 参考文献 : W ILL IAM S M L. The Stre sse s a round a Fau lt o r C rack in D issim ila r M ed ia [ J ]. B u lle tin of the Se ismo logica l Soc ie ty of Am e ri2 [ 1 ] ( ) ca, 1959 , 49 2 : 199 2204. L EE KYUN G W , EARMM E YOUN Y. A n in te rfac ia l edge c rack in an iso trop ic b iom a te ria l unde r an ti2p lane singu la rity[ J ]. In te r2 [ 2 ] na tiona l Jou rna l of F rac tu re, 2000, 104: 15 222. [ 3 ] ( ) 李春雨 ,邹振祝 ,段祝平 . 正交各向异性功能梯度材料反平面裂纹尖端应力场 [ J ]. 固体力学学报 , 2001 , 22 1 : 81 284. [ 4 ] 杨维阳 ,李俊林 ,张雪霞 . 复合材料断裂复变方法 [M ]. 北京 : 科学出版社 , 2005. [ 5 ] ( ) 李俊林 ,张少琴 ,杨维阳 . 正交异性双材料界面裂纹尖端应力场 [ J ]. 应用数学与力学 , 2008, 29 8: 9472953. [ 6 ] 许金泉 . 界面力学 [M ]. 北京 :科学出版社 , 2006. [ 7 ] ( ) 郑百林 ,戴瑛 ,嵇醒 ,等 . 双材料反平面问题界面端奇异应立场分析 [ J ]. 应用力学学报 , 1992 , 16 4 : 21226. Fra c ture Ana ly s is of An t ip lan e In terfa ce C ra ck be tween Two D iss im ila r O r tho trop ic C om po s ite M a ter ia ls W A NG X ia o2l i, L I Jun 2l in ( )Ta iyuan U n ive rsity of Sc ience and Techno logy, Schoo l of App lied Sc ience, Ta iyuan 030024 , Ch ina A b stra c t: The p rob lem of an o rtho trop ic b i2m a te ria l w ith an tip lane in te rfac ia l c rack wa s stud ied . U sing compo site comp lex func tion m e thod of m a te ria l frac tu re, the new sp ec ific stre ss func tion wa s con struc ted in th is p ap e r. B y so l2 ving a c la ss of p a rtia l d iffe ren tia l equa tion s bounda ry va lue p rob lem s, the exp re ssion of stre ss fie ld, d isp lacem en t fie ld and stre ss in ten sity fac to r a round the c rack tip we re de rived, and the singu la rity of stre ss nea r the c rack tip 1 - 2 wa s fixed. The re su lts show tha t the stre ss ha s singu la rity of rw ithou t o sc illa to ry. Key word s: o rtho trop ic, an tip lane, in te rface c rack, stre ss fie ld s, stre ss in ten sity fac to r