篮球罚球的数学模型建立与投篮模拟

篮球罚球的数学模型建立与投篮模拟 籃球罰球的數學模型建立與投籃模擬 摘要： 在此，我們建立數學模型來預測罰球時的情況。這是一個很好的問題，讓學 生可以練習數學工具的使用，像是微積分、微分方程和數值方法等。在這份報告 後面，我們將會有專注於數值方法上的應用。 關鍵字： 籃球，數學模型模擬、數值方法 1.介紹： 籃球是一項風靡全球的運動，大部分的人都是從小就開始打籃球，不管是為 了比賽或是娛樂。即時你不喜歡打籃球，你一定也有看過籃球賽的經驗。試著回 想你看過的籃球比賽中，是不是有一些比數很接近的比賽，通常最後獲勝的那一 隊，都是因為在比賽關鍵時刻擁有比較高的罰球率，就拿今年SBL籃球冠軍賽來說，裕隆隊終場以74比73擊敗台啤隊，贏得今年度總冠軍，也有一點原因在於81% 的罰球進球率高於台啤的78%，試想如果今天台啤隊可以因為罰球命中率較高， 而多罰進兩球，是不是比賽勝負就會有所不同呢？這就是我們為什麼要探討關於 罰球的這個問題。 比起西方國家的人，台灣人的身高明顯較為矮小，所以今天我們必頇要設定 一個較矮小的身高數字來進行我們的數學模擬。現在我就假設有一個身長170公 分的人，如此的簡化問題以後，我們就可以大致上的來預測他的罰球。對於投籃 而言，最佳的射球會和出手時的速度和角度有關係，在此因為我們已經固定身 高，所以以下討論就跟身高無關。所以以後最重要的是，如何建議這位170公分 高的選手，出手時的最佳角度及速度。 2. 第一個模型-最佳出手角度 我們知道罰球要精準的進球，就必頇要有適當的出手速度和角度。由於可以 透過打板、空心、擦框等方式進籃，對於我們要了解的問題會有點複雜，因此我 們這邊先將問題簡化成「籃球的球心會從籃框的正中央進籃」，再來建立我們的 數學模型。 2.1先定義問題 投籃的時候，當球進籃時難免都會有點誤差（以從籃框正中央進籃為準）， 但是球還是能進籃。對於出手時角度所造成的些許誤差，還是可以使球順利進 籃，這樣的角度誤差是我們所容許的。而針對對這位170公分的人而言，什麼出手射籃角度最好？ 2.2 這邊先給一些實際上的數字，以便於後面的使用。 名稱 代號 數值 籃框直徑 D 0.457 m r 籃球直徑 D 0.24384 m b 球心距離籃框中心 l 4.1016 m 球心距離籃框高 h 0.34925 m 2 地球引力 g -9.81 m / s 2.3給一些簡單的假設 1. 投籃者為170公分高。 2. 最好的射籃是籃球直接從籃圈中心通過，也就是球心會通過籃圈中心。 3. 只考慮「空心入網」，所以會有直接入網的情況，或是輕碰到籃的後面直接 入網。確保球直接進入不會彈出，就是當球心軌跡在籃框的高度下面，如圖 4. 忽略空氣阻力。 5. 忽略球的旋轉。 6. 投射的軌跡中不會有左右的偏差。 7. 出手時的速度不會有誤差。 一開始為了可以使這個數學模型較為簡單，所以設定許多假設，若要與事實較為 符合，則必頇一項一項去修正。但是此處我們仍以最簡單的模型去探討。 2.4給些物理上的定義 在物理學中，我們都知道一個往斜上方運動的物體速度，可以分解成一個垂 直方向的速度和一個水平方向的速度，如圖： 假設初始速度為V０，初始速度與水平方向夾角為θ0，此θ0即為出手角度。此時我們給V為水平方向速度，V為垂直方向速度，所以， HV V＝V０cos(θ0)，V＝V０sin(θ0)。 H V 我們回顧一下，距離＝速度ｘ時間，所以水平方向的移動距離即可算出，如下， x(t) = V０cos(θ0) t 前面我們有定義過，l為球距離籃框中心的距離。令T為球出手到球經過籃框中心的時間，則， l = V０cos(θ0) T 同理垂直方向的距離也可以算出，即 2y(t)＝V０sin(θ0)t + 1/2 g t 而在此我們定義出手時球與籃框高度差距為h，當球心剛好到達籃框球心時，正 好在垂直方向經過的距離為h，因此經過的時間也是為T，所以， 2h＝V０sin(θ0)T+ 1/2 g T 此時g、l和h為固定值，利用l = V０cos(θ0) T，我們可以得到 Ｔ= l / V０cos(θ0) 2再帶入到h＝V０sin(θ0)T+ 1/2 g T，化簡後可以得到， (3.9) 此時只剩下V０和θ0為兩個未知變數，但是可以發現，若給定一個θ0之後，也會有一個相對應的V０，因此所有的數值都會變成已知。 這邊先介紹一個定義，l我們已經知道是出手瞬間球心到籃框中心的水平距離， 而x是出手瞬間到球心任意通過籃框時的水平距離，如圖： 再來要考慮到進球的條件，以下有兩點要注意： 1. 避免會去碰撞到前框，所以籃框邊緣到球心的距離( S )要大於籃球的半徑 ( D/2 )，如圖： b 此時 (3.11) 2. 我們知道x + D/2 是當球靠著最右邊的籃框進籃的水平距離，而籃框最右邊b 的距離長又為l+D/2，如圖所示： r /2 = l+D/2。 所以可知，x + Dbr 2.5解題 為了要找出給定的θ0後，可容許的誤差範圍，因此這邊先固定我們的V０。此時會有一個容許的最大θhigh和最小的θlow，此時就可知θlow <θ0 <θhigh。 2222由S>(Db/2)，我們知道可以不碰到邊框，所以順著前框進籃則為S= (Db/2)， 22即S= (Db/2)=0。由x + D/2 = l+D/2得知，x – l + (D – D )/2 = 0，當角度太大就brbr 會碰到後框進入。所以由這兩個式子就可以分別找到θhigh和θlow。 後面就是要接魏子豪和許子弘的報告。 再來要考慮到有空氣阻力的問題，此處我們會以數值方法的過程來做解釋。 後面就是要接kiroro組的報告。