植树问题知识点公式及例题详解

植树问题及例题详解 公式 直线植树 : 距离?间隔 +1 = 棵数 四周植树 : 距离?间隔 = 棵数 楼间植树 : 单边植树 距离?间隔 -1=棵数 双边植树 ( 距离?间隔 -1)×2=棵数 循环植树 距离等于棵树加间距 1.植树问题是在一定的线路上，根据总路程、间隔长和棵数进行植树的问题。 2.为使其更直观，用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。 专题分析 一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。 1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即:棵数=段数+1。 2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即: 棵数=间隔数。 3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即: 棵数=间隔数,1。~ 4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再乘二，即:棵树=段数+1再乘二。 二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即:棵数=段数。 三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。则棵数=(每边的棵数,1)×边数。 例题: 例1 长方形场地:一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2米，行距是3米(这个苹果园共种苹果树多少棵, 解: 解法一: ?一行能种多少棵,84?2=42(棵)(| ?这块地能种苹果树多少行,54?3=18(行)( ?这块地共种苹果树多少棵,42×18=756(棵)( 1 如果株距、行距的方向互换，结果相同: (84?3)×(54?2)=28×27=756(棵)( 解法二: ?这块地的面积是多少平方米, 84×54=4536(平方米)( ?一棵苹果树占地多少平方米, 2×3=6(平方米)( ?这块地能种苹果树多少棵, 4536?6=756(棵)( 当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时，可用上述两种方法中的任意一种来解;当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时，就只能用第二种解法来解( 但有些问题从表面上看，并没有出现“植树”二字，但题目实质上是反映封闭线段或不封闭线段长度、分隔点、每段长度三者之间的关系。锯木头问题就是典型的不封闭线段上，两头不植树问题。所锯的段数总比锯的次数多一。上楼梯问题，就是把每上一层楼梯所需的时间看成一个时间间隔，那么: 上楼所需总时间 =(终点层—起始层)×每层所需时间。而方阵队列问题，看似与植树问题毫不相干，实质上都是植树问题。 例2 直线场地:在一条公路的两旁植树，每隔3米植一棵，植到头还剩3棵;每隔2.5米植一棵，植到头还缺少37棵，求这条公路的长度。 解法一:(代数解法) 设一共有x棵树 【(x-3)/2-1】X3=【(x+37)/2-1】X2.5 x=205 公路长:【(205-3)/2-1】X3=300 得:公路长度为300米 解法二:(算术解法) 这道题可以用解盈亏问题的思路来考虑:首先，我们在两边起点处各栽下一棵树，这两棵树与路长没有关系，以后每栽下一棵树，不论栽在哪一侧，植树的路线(不是路)就增加一个间距，为了简单起见，我们按单侧植树来考虑。当按3米的间距植树时，最后剩下3棵，也就是说植树的路线要比路长出3个间距，3×3=9米，当按2.5米的间距植树时，最后还缺37棵树，也就是说植树的路线比路短了37个间距，2.5×37=92.5米，两次相差9+92.5=101.5米，两次植树的间距相差是3,2.5=0.5米，据此可以求出树的棵数:(不包括起点的2棵) 101.5?0.5=203(个) 知道了树的棵数，就可以求出植树路线的长度了: 3×(203,3)=600(米) 或2.5×(203+37)=600(米) 因为是双侧植树，所以路长为: 600?2=300(米) 综合算式为: 2 3×〔(3×3+2.5×37)?(3,2.5),3〕?2=300(米) 或2.5×〔(3×3+2.5×37)?(3,2.5)+37〕?2=300(米) 答:(略) 例3 圆形场地(难题):有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。可栽丁香花多少株,可栽月季花多少株,每2株紧相邻的月季花相距多少米 解: 解:根据棵数=全长?间隔可求出栽丁香花的株数: 120?6=20(株) 由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花，丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等，因此，可栽月季花: 2×20=40(株) 由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份，因此紧相邻2株月季花之间距离为: 6?3=2(米) 答:可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月季花之间相距2米。 例4 在圆形水池边植树，把树植在距离岸边均为3米的圆周上，按弧长计算，每隔2米植一棵树，共植了314棵。水池的周长是多少米,(适于六年级程度) 解:先求出植树线路的长。植树线路是一个圆的周长，这个圆的周长是: 2×314=628(米) 这个圆的直径是: 628?3.14=200(米) 由于树是植在距离岸边均为3米的圆周上，所以圆形水池的直径是: 200-3×2=194(米) 圆形水池的周长是: 194×3.14=609.16(米) 综合算式: (2×314?3.14-3×2)×3.14 =(200-6)×3.14 =194×3.14 =609.16(米) 例5 小明家门前有一条10米长的水沟，在沟的一侧每隔2米栽一棵树，一共可栽几棵,(两端都植树) 3 按常规解法，答案应该是6(10?2+1)棵，同理，如果小光家门前也有一段10米长的水沟，同样可以栽6棵，也就是两家一共可以栽12棵，这并看不出有什么不妥。但是，当小明与小光家是邻居时，我们再计算一下:两家的水沟总长是20米，20?2+1=11(棵)，也就是两家一共可以栽11棵树，结果比上次计算少了一棵(本人称之为“邻里冲突”)，这是因为在端点处有两棵树“重合”了，这两棵树的间距为0，与题中要求间距2米不符，因此，可以看出两端植树是不妥当的。但如果两端都不植树，又会出现公共点没有树邻近的两棵树间距4米的情况，仍与题意不符。那么一端植树又会怎样呢,这种要求是无法实现的，因为当一方在与邻家相接的端点上植上树后，就会使邻家地段两端都有树存在，还是不合题意。因此，要求在端点上植树(或不植树)都会出现矛盾，这样的计算方法也不能正确的反映出各个数量间的关系。数学是一门严谨的科学，出题者固然可以任意给定条件，但用不同的计算方法得出的结果应该是相同的，当计算结果出现矛盾时，应该找出问题的原因所在，不能简单的用“两树重合”来解释解释。 再按照“棵树=段数”的方法计算一下: 小明家可栽树:10?2=5(棵) 小光家可栽树:10?2=5(棵) 两家一共可栽树10棵。 当两家是邻居时，可栽树:(10+10)?2=10(棵) 两次计算结果相同，因此可以说这种计算方法才能正确的反映出各个数量之间的关系。 为什么说常规的解法不够正确呢,那是因为在常规解法中，只考虑了植树路段为一家独有的情况，多栽或少栽一棵都不会出现“争议”，也就无法判定栽法是否妥当。然而当植树路段为多家共有时就会出现一方或双方将树栽到了公共端点上的情况，从理论上讲这是不正确的。相对于“路边加一”，“楼间减一”也无道理，因为完全可以按“间距2米”栽下5棵而不是4棵树，至于端点处的两棵树与楼相距只有1米的情况，与题意并不矛盾: 1、要求“间距2米”可以认为每棵树需要2米的生长空间，端点的树和中间的树同样都具有2米的空间; 2、如果把“楼”也看做“树”而使间距不足，那么则是因为“他”将树栽倒了公共端点上而侵占了“我”的空间，“我”并没有栽错。(点击图片可放大) 4 反过来想，如果要将已有的若干棵树平均分给几家，不论这些树是直线分布还是平面分布，无疑是要把分割点(端点)确定在两棵树之间而不是在某一棵树上，至于在某些情况下(比如划分卫生分担区或除雪)将端点确定在路边现有标志物(如电杆或树)上，那是因为分割的对象是“路”而不是“树”，这时以固有标志物为界限，具有简单方便、标志物不易移动和消失的好处。 “棵数=段数”的算法不仅适用于“路边”，同样适用于“楼间”、“四周(圆周)”和“田间”(见下图，不同颜色代表不同家庭)。 实际上“例1”的果园植树就是默认了“段(块)间”植树。实际教学中，应该按“棵数”=“段(块)数”作为正规解法，既不用加1，也不用减1，即在每一段(块)的中点植一棵树，这样就不仅没有“邻里冲突”，也能很好的适应各种情况，而端点植树或不植树只能按特殊情况来介绍。 5