神奇的斐波那契数列

神奇的斐波那契数列 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ?神奇的斐波那契数列? ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、 8、13、21、…… 这个数列从第三项开始～每一项都等于前两项之 和。它的通项公式为:(1/?5)*{[(1+?5)/2]^n - [(1-?5)/2]^n},又叫“比内公式”～是用无理数示有 理数的一个范例。,,?5表示根号5, 有趣的是:这样一个完全是自然数的数列～通项 公式居然是用无理数来表达的。 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 【奇妙的属性】 随着数列项数的增加～前一项与后一项之比越来 越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 从第二项开始～每个奇数项的平方都比前后两项 之积多1～每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。 ,注:奇数项和偶数项是指项数的奇偶～而并不是指 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 数列的数字本身的奇偶～比如第五项的平方比前后两 项之积多1～第四项的平方比前后两项之积少1, 如果你看到有这样一个题目:某人把一个8*8的 方格切成四块～拼成一个5*13的长方形～故作惊讶地 问你:为什么64,65,其实就是利用了斐波那契数列 的这个性质:5、8、13正是数列中相邻的三项～事实 上前后两块的面积确实差1～只不过后面那个图中有 一条细长的狭缝～一般人不容易注意到。 斐波那契数列的第n项同时也代表了集合 {1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 斐波那契数列,f(n)～f(0)=0～f(1)=1～f(2)=1～ f(3)=2……,的其他性质: 1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1 2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1 3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1 4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)?f(n+1) ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n?f(n)=(-1)^n?[f(n+1)- f(n)]+1 6.f(m+n)=f(m-1)?f(n-1)+f(m)?f(n) 利用这一点～可以用程序编出时间复杂度仅为O ,log n,的程序。 7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)?f(n+1) 8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2 9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2) 10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m?-1,且n?1] ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列 …… 过第一行的“1”向左下方做45度斜线～之后做直 线的平行线～将每条直线所过的数加起来～即得一数 列1、1、2、3、5、8、…… ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 斐波那契数与植物花瓣 3………………………百合和蝴蝶花 5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草 8………………………翠雀花 13………………………金盏草 21………………………紫宛 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 34、55、89……………雏菊 斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中 发现。例如～在树木的枝干上选一片叶子～记其为数 0～然后依序点数叶子,假定没有折损,～直到到达与 那息叶子正对的位置～则其间的叶子数多半是斐波那 契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契 数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶 序,源自希腊词～意即叶子的排列,比。多数的叶序 比呈现为斐波那契数的比。 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 向日癸结籽盘～是对数螺线～有顺时针也有逆时针的 两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐 数～一般是34和55～大的向日癸是89和144～还曾 发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线～都是 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 相继的斐数～和向日葵是一样的～还有松籽、菜花。 这种现象走到1993年才给出了合理的解释～这是植物 生长的动力特性造成的～相同器官原基之间的夹角是 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 黄金角------137.50776度,这使种子的零售堆集效 率达到最高。 钢琴中的键也是斐数。 推广的斐列:改变前两顶～前两项不能是1、2这样就 缺推理下去就缺了一项不是严格意义上的推广。所以 前两项可以是1～3～这样就是1.3.4.7.11～18.。。。。。 称之为卢卡斯数列。卢卡斯数列前项比后项还有极限～ 极限还是黄金比。 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 再回到开始的问题～连续的十个斐数～是第七个数的 11倍。 推广了斐数列也 有这个特性。他的前N 项和等于第 N+2项减去第2项。 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 【相关的数学问题】 1.排列组合 有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 这就是一个斐波那契数列:登上第一级台阶有一种登法,登上两级台阶～有两种登法,登上三级台阶～有三种登法,登上四级台阶～有五种登法…… 1～2～3～5～8～13……所以～登上十级～有89种走法。 2.数列中相邻两项的前项比后项的极限 当n趋于无穷大时～F(n)/F(n+1)的极限是多少, 这个可由它的通项公式直接得到～极限是(-1+?5)/2～这个就是黄金分割的数值～也是代表大自然的和谐的一个数字。 3.求递推数列a(1)=1～a(n+1)=1+1/a(n)的通项 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 公式 由数学归纳法可以得到:a(n)=F(n+1)/F(n)～将 斐波那契数列的通项式代入～化简就得结果。 【斐波那契数列别名】 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 斐波那契数列又因数学家列昂纳多?斐波那契以 兔子繁殖为例子而引入～故又称为“兔子数列”。 一般而言～兔子在出生两个月后～就有繁殖能力～ 一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都 不死～那么一年以后可以繁殖多少对兔子, 我们不妨拿新出生的一对小兔子一下: 第一个月小兔子没有繁殖能力～所以还是一对, 两个月后～生下一对小兔民数共有两对, 三个月以后～老兔子又生下一对～因为小兔子还 没有繁殖能力～所以一共是三对, ,,,,,, 依次类推可以列出下表: 经过月数: ---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11 ---12 兔子对数: ---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89-- 144 表中数字1～1～2～3～5～8,,,构成了一个数 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 列。这个数列有关十分明显的特点～那是:前面相邻 两项之和～构成了后一项。 这个特点的证明:每月的大兔子数为上月的兔子 数～每月的小兔子数为上月的大兔子数～即上上月的 兔子数～相加。 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在,算 盘全书,中提出的～这个级数的通项公式～除了具有 a(n+2)=an+a(n+1)的性质外～还可以证明通项公式为: an=1/?[,1，?5/2,n-,1-?5/2, n],n=1,2,3....., 【斐波那挈数列通项公式的推导】 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 斐波那契数列:1、1、2、3、5、8、13、21、…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n?N+)。那么这句话可以写成如下形式: F(0) = 0～F(1)=F(2)=1～F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n?3) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式的推导方法一: 利用特征方程 线性递推数列的特征方程为: X^2=X+1 解得 X1=(1+?5)/2,～X2=(1-?5)/2 则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n ?F(1)=F(2)=1 ?C1*X1 + C2*X2 C1*X1^2 + C2*X2^2 解得C1=1/?5～C2=-1/?5 ?F(n)=(1/?5)*{[(1+?5)/2]^n - [(1-?5)/2]^n},?5表示根号5, ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 通项公式的推导方法二: 普通方法 设常数r～s 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 则r+s=1～ -rs=1 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- n?3时～有 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)] F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)] …… F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)] 将以上n-2个式子相乘～得: F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)] ?s=1-r～F(1)=F(2)=1 上式可化简得: F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 那么: F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3) …… = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1) ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ,这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、 r/s为公差的等比数列的各项的和, =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s) =(s^n - r^n)/(s-r) r+s=1～ -rs=1的一解为 s=(1+?5)/2～ r=(1-?5)/2 则F(n)=(1/?5)*{[(1+?5)/2]^n - [(1-?5)/2]^n} ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 迭代法 已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式 解 :设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2)) 得α+β=1 αβ=-1 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 构造方程x²-x-1=0,解得 α=(1-?5)/2,β=(1+?5)/2或 α=(1+?5)/2,β=(1-?5)/2 所以 an-(1-?5)/2*a(n-1)=(1+?5)/2*(a(n-1)-(1-? 5)/2*a(n-2))=[(1+?5)/2]^(n-2)*(a2-(1-?5)/2*a1)`````````1 an-(1+?5)/2*a(n-1)=(1-?5)/2*(a(n-1)-(1+? 5)/2*a(n-2))=[(1-?5)/2]^(n-2)*(a2-(1+?5)/2*a1)`````````2 由式1,式2,可得 an=[(1+?5)/2]^(n-2)*(a2-(1-?5)/2*a1)``````````````3 an=[(1-?5)/2]^(n-2)*(a2-(1+?5)/2*a1)``````````````4 将式3*(1+?5)/2-式4*(1-?5)/2,化简得 an=(1/?5)*{[(1+?5)/2]^n - [(1-?5)/2]^n} ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 斐波纳奇数列的特性在哪里,它为何会引起人 们的关注, ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 我们只要稍微列举出其中的几个特性～你可能就 会对其兴意盎然～第一～数列中任何两个相邻数字之 和～构成序列中的下一个数字～3加5等于8～8加13 等于21～依此类推。第二～数列中任何一个数字与下 一个数字的比例是0.618～而任何一个数字与前一个 数字的比例是1.618～这个比例就是“黄金分割”。第三～ 数列中的任何10个数字之和～均可被11整除。第四～ 数列中发展至任何一点的所有斐波纳奇数字之和加上 1～等于与最后一个加数向后一项的斐波纳奇数 字……( 《艾略特名著集》小罗伯特?R?普莱切特编著 陈鑫译) ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 斐波纳奇数列以及其揭示的黄金比例为历史上那 些卓越的科学巨匠和艺术家所顶礼膜拜～像达芬奇、 牛顿、柏拉图、毕达哥拉斯等都从斐波纳奇数列及黄 金比例的奥妙中吸取到了营养～他们中甚至有人把黄 金螺线刻在了自己的墓碑上或者床头板上。 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 黄金率和斐波纳奇数列是自然之美、人类之美～反过来人类用这样的美的规律去创造艺术之美和人文之美。甚至人类本身就是这种美学规律的集中体现:人由上肢、下肢和躯干三部分构成～人的手指、脚趾正好是五个～人有五官～人的肚脐的高度差不多就是人身高的0.618～希腊人建造的巴特农神殿其高与宽的比例正好是0.618～埃及金字塔的侧棱线与底线的比例也正好是0.618～随着科学技术的进步～我们发现～那些启迪了古代人民科学智慧的黄金比率更是无所不在～其奥妙更是让现代人瞪目结舌～从原子结构、大脑中的微细管以及DNA分子～大到行星距离和周期～我们均可以看到黄金比率在其中的支配作用。 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有----------------------------------------------