无套利定价原理

无套利定价原理 第三讲无套利定价原理第一部分商业贸易中的套利行为在商品贸易中套利时需考虑的成本1 信息成本2 空间成本3 时间成本金融市场中的套利行为专业化交易市场的存在信息成本只剩下交易费用产品化金融产品的无形化,,没有空间成本金融市场存在的卖空机制大大增加了套利机会金融产品在时间和空间上的多样性也使得套利更为便捷套利的定义套利指一个能产生无风险盈利的交易策略这种套利是指纯粹的无风险套利但在实际市场中套利一般指的是一个预期能产生无风险盈利的策略可能会承担一定的低风险第二部分无套利定价原理无套利定价原理金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在套利机会那什么是套利机会呢套利机会的等价条件1 存在两个不同的资产组合它们的未来损益payoff 相同但它们的成本却不同损益现金流不确定状态下每一种状态对应的现金流2 存在两个相同成本的资产组合但是第一个组合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组合而且至少存在一种状态在此状态下第一个组合的损益要大于第二个组合的支付3 一个组合其构建的成本为零但在所有可能状态下这个组合的损益都不小于零而且至少存在一种状态在此状态下这个组合的损益要大于零无套利定价原理1 同损益同价格如果两种证券具有相同的损益则这两种证券具有相同的价格2 静态组合复制定价如果一个资产组合的损益等同于一个证券那么这个资产组合的价格等于证券的价格这个资产组合称为证券的复制组合replicating portfolio 3 动态组合复制定价如果一个自融资self-financing 交易策略最后具有和一个证券相 同的损益那么这个证券的价格等于自融资交易策略的成本这称为动态套期保值策略dynamic hedging strategy 确定状态下无套利定价原理的应用案例1 假设两个零息票债券A 和B 两者都是在1 年后的同一天支付100 元的面值如果A 的当前价格为98 元另外假设不考虑交易成本问题1 B 的价格应该为多少呢2 如果B 的市场价格只有975 元问如何套利呢应用同损益同价格原理B 的价格也为98 元如果B 的市场价格只有975 元卖空A 买进B 案例2 假设当前市场的零息票债券的价格为?1 年后到期的零息票债券的价格为98 元?2 年后到期的零息票债券的价格为96 元?3 年后到期的零息票债券的价格为93 元另外假设不考虑交易成本问题1 息票率为10 ,1 年支付1 次利息的三年后到期的债券的价格为多少呢2 如果息票率为10 ,1 年支付1 次利息的三年后到期的债券价格为120 元如何套利呢看未来损益图静态组合复制策略1 购买01 张的1 年后到期的零息票债券其损益刚好为100×01 ,10 元2 购买01 张的2 年后到期的零息票债券其损益刚好为100×01 ,10 元3 购买11 张的3 年后到期的零息票债券其损益刚好为100×11 ,110 元根据无套利定价原理的推论01×98 ，01×96 ，11×93 ,1217 问题2 的市场价格为120 元低估B 则买进B 卖出静态组合1 买进1 张息票率为10 ,1 年支付1 次利息的三年后到期的债券2 卖空01 张的1 年后到期的零息票债券3 卖空01 张的2 年后到期的零息票债券4 卖空11 张的3 年后到期的零息票债券案例3 假设从现在开始1 年后到期的零息票债券的价格为98 元从1 年后开始在2 年后到期的零息票债券的价格也为98 元1 年后的价格另外假设不考虑交易成本问题1 从现在开始2 年后到期的零息票债券的价格为多少呢2 如果现在开始2 年后到期的零息票债券价格为99 元如何套利呢动态组合复制策略1 先在当前购买098 份的债券Z0×1 2 在第1 年末098 份债券Z0×1 到期获得098×100 ,98 元3 在第1 年末再用获得的98 元去购买1 份债券Z1×2 自融资策略的现金流这个自融资交易策略的损益就是在第2 年末获得本金100 元这等同于一个现在开始2 年后到期的零息票债券的损益这个自融资交易策略的成本为98×098 ,9604 如果市价为99 元如何套利构造的套利策略如下1 卖空1 份Z0×2 债券获得99 元所承担的义务是在2 年后支付100 元2 在获得的99 元中取出9604 元购买098 份Z0×1 3 购买的1 年期零息票债券到期在第一年末获得98 元4 再在第1 年末用获得的98 元购买1 份第2 年末到期的1 年期零息票债券5 在第2 年末零息票债券到期获得100 元用于支付1 卖空的100 元不确定状态下的无套利定价原理的应用不确定状态资产的未来损益不确定假设市场在未来某一时刻存在有限种状态在每一种状态下资产的未来损益已知但未来时刻到底发生哪一种状态不知道案例4 假设有一风险证券A 当前的市场价格为100 元1 年后的市场出现两种可能的状态状态1 和状态2 状态1 时A 的未来损益为105 元状态2 时95 元有一证券B 它在1 年后的未来损益也是状态1 时105 元状态2 时95 元另外假设不考虑交易成本问题1 B 的合理价格为多少呢2 如果B 的价格为99 元如何套利答案1 B 的合理价格也为100 元2 如果B 为99 元价值被低估则买进B 卖空A 案例5 假设有一风险证券A 当前的市场价格为100 元1 年后的市场出现两种可能的状态状态1 和状态2 状态1 时A 的未来损益为105 元状态2 时95 元有一证券B 它在1 年后的未来损益也是状态1 时120 元状态2 时110 元另外假设不考虑交易成本资金借贷也不需要成本问题1 B 的合理价格为多少呢2 如果B 的价格为110 元如何套利证券未来损益图静态组合策略要求x 份的证券A 和y 份的资金借贷构成B 解得X 1 y 15 所以B 的价格为1100151 115 第二个问题当B 为110 元时如何构造套利组合呢套利组合买进B 卖空A 借入资金15 元案例6 假设有一风险证券A 当前的市场价格为100 元1 年后的市场出现三种可能的状态状态1 2 和3 状态1 2 和3 时A 的未来损益分别为11025 9975 9025 元有一证券B 它在1 年后的未来损益也是状态1 2 和3 时分别为125 1125 和109 元另外假设不考虑交易成本资金借贷的年利率为506 ,半年利率为25 ,问题1 B 的合理价格为多少呢2 如果B 的价格为110 元如何套利证券未来损益图构造静态组合x 份A 和y 份资金借贷构成B 动态组合复制动态我们把1 年的持有期拆成两个半年这样在半年后就可调整组合假设证券A 在半年后的损益为两种状态分别为105 元和95 元证券B 的半年后的损益不知道构造如下的组合1 1 份的证券A 2 持有现金1356 在半年后进行组合调整1 证券A 的损益为105 时再买进019 份的证券A 需要现金1995 元019×105 ,1995 持有的现金1356 加上利息变为1356×1025 ,1390 半年后的组合变为119 份证券A 现金,605 1390 –1995 在1 年后此组合损益状态为2 证券A 的损益为95 时卖出0632 份的证券A 得到0632×95 ,6004 元持有的现金1356 加上利息变为1356×1025 ,1390 半年后的组合变为0368 份证券A 现金7394 1390 ，6004 ,7394 半年后的组合调整是如何得到呢动态策略调整方法多期的静态复制策略从后往前应用静态复制策略1 证券在中期价格为105 时解得x 119 y ,,590 此时B 的价格为B1 ,119×105 ,590×1025 ,11890 2 证券在中期价格为95 时解得x ,1 y ,1356 B 的当前价格为B ,1×100 ，1356×1 ,11356 无套利定价原理的简单总结无套利定价原理就是金融学金融工程的核心思想同损益同价格实际上就是一价定理静态和动态组合复制策略则是用于给衍生产品定价的基本思想如果市场存在摩擦交易成本时只能给出一个定价 区间在这个定价区间内市场无法实现套利第三部分Arrow-Debreu 模型1 市场环境2 套利组合的定义3 无套利组合等价定理4 完全市场与不完全市场1 市场环境假设市场中有N 个证券s1s2s3sN 两个投资时刻0 和1 时刻第i 种证券在初始0 时刻的价格为pi 则N 种证券的价格向量为P p1p2pNT 市场在未来1 时刻有M 种可能状态第i 种证券在第j 种状态下的损益为Dij 则这些证券的损益矩阵为D ,dij i1 ,N j1 ,M 假设损益矩阵D 的值对于投资者是已知的但是投资者无法提前知道在1 时刻这些证券处于M 种状态中的哪一种状态证券组合用向量θ表示θθ1θ2θN θi 表示持有的第i 种证券的数量多头时θi 0 空头时θi 0 时假设市场是无摩擦的即不考虑交易费用税收等证券组合θ在初始0 时刻的价格则为这个组合在第j 种状态下的损益则为2 套利组合的定义一个证券组合θ定义为套利组合如果它满足或者3 无套利组合等价定理定理1 市场不存在套利组合的等价条件是存在一个正向量使得即状态价格无套利组合等价定理的含义如果市场不存在套利组合则资产的当前价格与未来损益之间要满足一定的条件这个条件是要存在一个对应于M 个状态的向量一般称之为状态价格state-prices 基础资产假设市场另外存在M 种资产sN1sN2sNM 这M 种资产的未来损益为只在一种状态下为1 其余状态下都是零即对于资产sNj 它的未来损益只是在第j 种状态为1 其余状态为0 这M 种资产就构成了基础资产由它们生成的组合的未来损益可以表示任意一种资产的未来损益基础资产的价格假设M 个基础资产的价格分别为u1 u2 uM 根据无套利定价原理任何一种未来损益为d1d2dM 的资产价格应该为按照定理1 的表述u1 u2 uM 就是满足定理1 条件的正向量所以我们称为状态价格即每种状态下单位未来损益的资产价格风险中性概率把状态价格归一化即让M 个分量的和变为1 问题状态价格的分量和表示什 么呢就是未来损益都是1 的资产的价格未来损益都是1 即是无风险债券的价格