导数等于其反函数的函数

导数等于其反数的函数 目:求所有函数f,把R+一对一地映满R+,在R+上处处可微且其导函数等于其反函数 【一】所求函数f显然在R+上连续可微,严格递增,且导函数也严格递增.记导函数为g,由 f(f'(x))=x 求导可得 g'(x)=1/g(g(x)) 由假设f(0)=0,于是g(0)=0 我们的问题转化为求满足此条件的g(x) 【二】显然g(x)严格递增,g'(x)严格递减,当x->0时g'(x)->无穷,所以当x充分小时g(x)>x;假设g(x)有上界,那么g'(x)有正下界,从而当x->无穷时,g(x)->无穷,这不可能;于是g(x)无上界,所以当x->无穷时g'(x)->0;那么当x充分大时g(x)a=g(a).考虑集合{0g(y)>y>c,若h(y)<=a则h(h(y))>g(h(y))>g(g(y));若h(y)>a则h(h(y))>h(a)>g(a)=g(g(a))>g(g(y)).总之有h(h(y))>g(g(y))故 h'(y)=u*M,其中u是不依赖于s的正实数;等式左边的绝对值<=v*s*M,其中v是不依赖于s的正实数(考虑g的可微性),从而只要s充分小必有M=0 【五】假设g=h在区间[a,d]上成立,我们证明其在区间[a,g^{-1}(d)]上也成立.这里g^{-1}是g的反函数(由前面讨论知g存在反函数).注意由不动点的唯一性,g^{-1}(d)>d 设x>d,如果a<=g(x)<=d,那么g(g(x))=h(g(x)).于是如果在一点g>h,则在这点g(g(x))=h(g(x))>h(h(x)),即g'(x)h.利用上面的方法一直回推,注意到g(d)=h(d),便可得矛盾 现在对任何d,g^{-1}迭代n次得g^{-n}(d)->无穷,否则它趋于一个常数且是异于a的不动点,矛盾.那么由上述立得g=h在区间[a,无穷)上成立 【六】假设g=h在区间[c,a]上成立,我们证明其在区间[g^{-1}(c),a]上也成立.注意由不动点的唯一性,g^{-d}(c)0,否则它趋于一个常数且是异于a的不动点,矛盾.那么由上述立得g=h在区间(0,a]上成立,从而g恒等于h 【七】现在我们证明了满足方程的g是唯一的,所以f也是唯一的 为了构造出这个唯一的函数,我们测试 f(x)=k*x^a,容易解出a=(sqrt(5)+1)/2是黄金分割数,而k=a^(-1/a) 从而原方程有唯一解 f(x)=a^(-1/a)*x^a,a=(sqrt(5)+1)/2