[重点]课题学习 有理数不可能是无限不循环小数

[重点]课题学习 有理数不可能是无限不循环小数 课题学习 有理数不可能是无限不循环小数 有理数的学习之后建议增加课题学习: (在教授有理数的分类的时候，学生有一点迷惑:为什么有理数的分类中没有小数呢,因为在中小数还是被学生广泛频繁地应用的，因此在学生的认知习惯中还是习惯用小数来解决问题。如果这时老师的教学一概而过，或不作解释不置可否，与科学的研究精神是相悖的，何不抓住学生的兴趣点，做更深一层的研究呢。我在教学中曾尝试这样的课外学习: 将无限小数化为分数: 0.7….(7循环) 设0.7….(7循环)=x，方程两边乘以10: 7.777…..(7循环)=10x 两方程相减: 7=9x 即:x=7/9 0.7373….(73循环) 设0.7373….(73循环)=x，方程两边乘以100: 73.7373…..(73循环)=100x 两方程相减: 99x=73 X=73/99 练习: 0.11…(1循环) 0.735735….(735循环) 这个简短的研究，大部分学生是能够接受的，个别优生在小学就有研究，这个研究的过程尽量引导启发学生的思路，渗透了类比的思想，方程的思想，这时展示更增加了发言同学的自信心，激发了其他学生的学习欲望，学生们真觉得自己像“数学家”一样了。 还会有学生有新的疑问:无限不循环小数能化成分数吗, 北师大版的教材安排在八上学习无理数，在七年级接触这个问题是否有点早呢,学生能接受到什么程度呢,我也拿不准，因此布置了一个课题学习题目(课外研究题目): 试说明有理数不可能是无限不循环小数 目的:1.让学生理解，处处都有数学，处处留心皆学问 2.初次接触分类，学习练习用分类的思想解决问题 3.学会用简单的知识解决陌生的问题，运用竖式除法解决问题 4.只要认真思考，一定会有或多或少的收获 解答分析: 解决这个问题，首先运用分类的思想，排除公认的部分，只需说明其余部分即可。 一、有理数是整数和分数的总称。 整数，公认的当然不是无限小数。 下面说明分数，可以把它分为两类。 第一类，约分后，分母只含有2或5的质因数，这类分数化为小数后，一定是有限小数。理由如下: (1) 把分母分解质因数后，如果因数2的个数和因数5的个 n数相同，那么，这时的分母是10，用它去除分子，当然 得到有限小数，小数位有n位; (2) 把分母分解质因数后，如果因数2的个数比因数5的个 m数多m个，就在分母和分子上都乘以5，这时，分母又 n成为10，还是化为了有限小数; (3) 把分母分解质因数后，如果因数5的个数比因数2的个 k数多k个，就在分母和分子上都乘以2，使得分母仍然 n成为10，又化为了有限小数。 第二类，约分后把分母分解质因数，质因数中有2和5以外的质数。这时化成的小数一定是无限循环小数。 理由分两步来说明。 第一步，先说明化得的小数是无限的。 由于m?(abc)=m?a?b?c=m?b?c?a=m?c?a?b=„ kt于是可以先用分母中的质因数2、5(k\t都是自然数)去除分子，得到了有限小数。 这时，用一个2和5以外的质因数，例如“3”去除分子，由于分数是既约分数(意思是约分之后的分数)，则不可能整除而需要补“零”，但补“零”后，绝对不会商一个数后使它和“3”相乘以后的积的末位是“零”，(因为只有2和5相乘才得“零”)，这样相减后余数不会是“零”，于是只好再补“零”，而此时，又是刚才的局面，所以，“零”要无尽无休地补下去，商也就无尽无休地商下去，商，也就是分数的值也要无尽无休地写下去。即化得的小数是无限的。 第二步，说明化得的无限小数为什么是循环的。 它的原因是，开始补“零”后商哪个数字，是由上一次得到的眼前的余数决定的，如果逐次补“零”得到的一次次余数从某次开始循环起来了，那么，商也就开始循环了。 而余数只能在大于“0”并小于除数之间的自然数中间变化，这些自然数的个数是有限的，那么当然，做多(w-1)次以后，余数就要重复了，那么商也要和余数配合起来重复，出现了循环。(在这里用w代表作为除数的那个不是2和5的质因数)。 整个问题的解答完善起来，经历了好长一段时间，这不是我的预料之中的，经过反复几次的师生研讨，查阅了一些资料，完善了解答，我想重要的并不是本身，而是师生共同查阅研讨的过程，其实， 这个问题的关键并不用多么深奥的知识，知识竖式除法的真正理解，如果有了竖式除法的情景理解，理解这一问题就不难了。而到了八年级学习无理数时就非常畅通了。 赘述一点，我认为数学教学还是应该有精英教育的意识的，“教育是什么,把老师教的知识全都忘了之后还剩下的就是教育。”大众需求的数学教学是一定要的，精英教学也是必须的。 以上是个人的一点拙见，请专家老师批评指正。拒绝转载～ 商为什么一定是循环小数呢,【数学探讨】 明天就要了～我下午在家狂背概念。背完概念～便开始复习卷子。忽然一道题映入我的眼帘～可把我给难住了。 这是一道判断题:除不尽时～商一定是循环小数。,, 我这个江湖人称数学小状元的人～竟然遇到了一个拦路虎。我在演草本上左画画～右画画～思考了好长时间也没有一点头绪。我的疑问点是两个数相除～商不一定是循环小数吧,也可能是无限不循环小数吧～不过我当下还找不到这样的例子～但是我想着总会有这样的数～只不过这会我想不出来罢了。我还是试验了半天～演草纸写完了一大张～可是都是循环小数～我还是不甘心。我陷入了迷茫之中～究竟是对还是错呢, 晚上的饭吃起来都不香了。我胡乱吃一点～就拉着妈妈进行研讨～并打开了电脑这个“计算专家”～我想它总能找到这样的数吧。 我和妈妈查了很多资料。发现两个数相除～结果有三种情况:一种是整数～一种是有限小数～一种就是无限循环小数。根据这样的分类～那么两个数相除～意思就是根本不存在有无限不循环小数的现象了。但是～这是为什么呢,我百思不得其解。 我看了一条相关信息后～两个有理数相除～得数一定是有理数。我眼前灵光一闪～冒出了一个念头:那是因为写不完~: 看到这里～你一定很奇怪吧～怎么会写不完呢,因为无理数是无限不循环小数～而两个有理数相除～得数就一定是有理数～有理数就包含了整数、有限小数、无限循环小数～假如用两个无理数相除的话～无限不循环小数你怎么写得完呢,写不完怎么相除呢, 答案出来了～就是两个有理数相除除不尽时～商一定是循环小数。 可是新的问题又冒了出来～那就是圆周率π的问题。 我问妈妈π是怎么得来的。妈妈告诉我～π是用一个圆的周长除以直径计算出来的。 我又问～周长和直径都是有理数吧,妈妈肯定了我的说法。 那么π明明是无理数～怎么会是两个有理数相除出来的呢, 当初计算π的数值时～不也是拿工具测量～然后去计算的吗,为什么会是无理数呢, 我再一次陷入了思考中……