海伦公式

海伦公式 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦,秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦 (Heron,也称海龙)二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表(未查证)。 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦,秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦 (Heron,也称海龙)二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表(未查证)。 2 原理简介 中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得: 而公式里的p为半周长: 注1:"Metrica"(《论》)手抄本中用s作为半周长，所以 和两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。 由于任何n边的多边形都可以分割成(n-2)个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出。 3 证明过程 证明? 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为[1] cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*?(1-cos^2 C) =1/2*ab*?[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*?[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*?[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*?[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*?[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=?[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明? 中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积,直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以?、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 当P=1时，? 2=q, ?=?1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得 ? ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得: S?=?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦,秦九韶公式”。 S=?1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a. 根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题: 已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积 这里用海伦公式的推广 S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边) 代入解得s=8? 3