几何画板双曲线作法

几何画板简明教程 甘肃省环县第一中学刘金堂 第51页 第十课 双曲线的画法的画法和性质 一.双曲线的定义: 1.在平面内,到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距。 2.双曲线的方程: 设M (x , y )是双曲线是上任意一点,双曲线的焦距为2c (c >0),则如图建立直角坐标系,又F 1、F 2的坐标分别是F 1(-c , 0), F 2(c , 0),若M 点与F 1、F 2两点的距离的差的绝对值等于2a (c >a >0),则 ||MF 1|-|MF 2||=2a , ∴ a y c x y c x 2)()(2222=+--++, 图10-1 整理化简,并且设b 2=c 2-a 2得双曲线的标准方程 12 2 22 =-b y a x . 3.双曲线的第二定义: 设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到 定直线l : x =c a 2 的距离的比是常数 a c (c >a >0),则点M 的轨迹是双曲线。点F 是双曲线的一个焦点,直线l 是双曲线中对应于 焦点F 的准线。常数e =a c (e >1)是双曲线的离 心率。 图10-2 4.双曲线的参数方程: 以原点为圆心,分别以a 、b (a , b >0)为半径作两个圆,|OA |=a , |OB |=b , 点P 是以a 为半径的圆上的一个点,点C 是OA 与半径为bd 圆的交点,过点C 作CN ⊥Ox ,交直线OP 于N ,过点N 作OX 轴的平行线, 过点P 作PR ⊥OP ,交Ox 轴于R ,过点R 作直线RM 交过点N 的x 轴的平行线于点 M ,当点P 在圆上运动时,M 点的轨迹是双曲线。 设点M 的坐标是(x , y ),φ是以Ox 为始边,OP 为终边的正角,取φ为参数,那么 x =|OR |=|OP |se c φ=a se c φ, y =|RM |=|CN |=|OC |t g φ=bt g φ, 图10-3 ∴ 双曲线的参数方程是? ??φ=φ =btg y a x sec (φ是参数). 二.双曲线的画法: 画法1: 图10-4 1.在x 轴上取两点F 1、F 2,使|OF 1|=|OF 2|,用它们作为两个焦点; 2.在图形外作一条线段AB ,使|AB |=2a ,(|AB |<|F 1F 2|); 3.以O 为中心,在x 轴上取两点A 1、A 2,使|A 1A 2|=|AB |; 4.在AB 延长线上分别取C ',使|BC '|=|A 1F 1|;在ABC '的延长线方向上作射线C 'C ,并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'C 上作点C ; 5.分别以F 1、F 2为圆心,用|BC |、|AC |为半径作圆,两圆相交于P 1、P 2两点;同样方法分别以F 1、F 2为圆心,用|AC |、|BC |为半径作圆,两圆相交于P 3、P 4两点;并将这四个点定义为“追踪点”; 6.依次选中点C 、点P 1 (或点C 、点P 2 , 或点C 、点P 3, 或点C 、点P 3),用“作图”菜单中的“轨迹”功能,作出双曲线。 理论根据:点P 1是两圆的交点,∴ 点P 1到F 1与F 2的距离的差等于两圆的半径的差, 即 ||PF 1|-|PF 2||=|AC |-|BC |=|AB |=2a . 说明:点C 不要直接在BC 上取,那样画出来的双曲线将在x 轴附近断开一段,因为计算机画的曲线实际上是由若干条小线段形成的,这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的,当我们使点C 在BC 上运动时,当点C 非常接近点B 时,两圆没有交点,于是画出来的图形就不好看了。 2a B C 画法2: 1.在x 轴上取两点F 1、F 2,使|OF 1|=|OF 2|,用它们作为两个焦点; 2.在图形外作一条线段,使它的长度为2a ,(2a <|F 1F 2|); 图10-5 3.以F 1为圆心,2a 为半径作圆,在圆上任取一点P ; 4.连接PF 1、PF 2,作PF 2的中垂线与直线PF 1交于点M ,连接MF 2; 5.将点M 定义为“追踪点”,分别选中点M 、点P ,用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出双曲线。 理论根据: 点M 在PF 2的中垂线上,∴ |MP |=|MF 2|, ∴ |MF 1|-|MF 2|=|MF 1|-|MP |=|F 1P |=2a . 即点M 到两个定点F 1和F 2的距离的差等于定长2a 。点M 的轨迹是一个双曲线。 画法3:1.在平面直角坐标系中取点F 1、F 2,使|OF 1|=|OF 2|,把它们作为焦点,在OF 1 上取一点A 1,使它作为双曲线的顶点; 2.度量OF 1、OA 1,把它们的长分别作为c 和a ,使a 0)为半径画两个圆; 2.圆OA 与x 轴的正方向交于点C ,过C 作x 轴的垂线, 3.在圆OA 上取一点P ,连接OP ,直线OP 与过点C 且和x 轴垂直的直线交于点N ,过点N 作x 轴的平行线NM ; 4.过点P 作PR 垂直于OP ,交x 轴于点R ; 5.过点R 在x 轴的垂线交直线NM 于点M ; 6.分别选中点M 和点P ,用“作图”菜单中的“轨迹”功能,画出双曲线。 理论根据: 设∠xOP =φ, 则|OR |=|OP |se c φ=a se c φ, |RM |=|NC |=|OC |t g φ=bt g φ, 根据双曲线的参数方程知,点M 的轨迹是一个双曲线。 图10-7 e= a 2c 三.双曲线中动弦的画法 (一).双曲线焦点弦的画法: 图10-8 1.在坐标系中作出两个焦点F1、F2,在图形外作一条线段,使它的长等于2a(2a<|F1F2|); 2.以F1为圆心,2a为半径作圆,在圆上任取一点P,连接PF2,作PF2的中垂线交直线PF1于点M;选中点M和点P,用“轨迹”功能作出双曲线; 3.连接PF1延长与圆交于点Q; 4.同样方法作出点Q在双曲线上的对应点N; 5.连接MN,则线段MN一定过焦点F1,且点M、N都在双曲线上; 6.保留坐标系、双曲线、焦点和焦点弦MN,隐藏其它的内容,这时选中点M,在双曲线上拖动它,则点N相应在双曲线上移动,且MN始终经过点F1. 理论根据: 双曲线上的点M、N是由圆上的点P、Q得到的,线段PQ在大圆上经过定点F1,则相应的线段MN在双曲线上也经过定点F1. 图10-9 1.用参数方程的画法画出一个双曲线,标出定点D; 2.在以a为半径的圆上取一点M,作出它在双曲线上的相应点P; 3.作DE⊥Ox轴,垂足是E,过点E作以a为半径的圆的切线ER、ES,连接RS; 4.过点D作RS的垂线,垂足是D'; 5.连接MS',延长与圆交于N,作出点N在双曲线上的对应点Q; 6.连接PQ,则PQ始终经过点D,且P、Q都在双曲线上; 7.保留坐标系、双曲线、定点D和过定点D的弦PQ,隐藏其它的内容,这时选中点P,在双曲线上拖动它,则点Q相应在双曲线上移动,且PQ始终经过点D;. 理论根据: 双曲线上的点P、Q是由大圆上的点M、N得到的,线段MN在大圆上经过定点D',则相应的线段PQ在双曲线上也经过定点MD。问题的关键是怎样由点D得到点D',我们看到,点D和点D'的纵坐标是一样的,另外在双曲线中过点D且垂直于x的弦的两个端点在圆上的对应点恰好是R、S,所以点D'.一定在RS上,这样就得到了点D'. 图10-10 1.用参数方程的画法画出一条双曲线,计算两圆半径的比a , b ,在双曲线上取一点P ; 2.在图形外画一条斜率为k 的线段,过点P 作斜率为k 的线段的平行线; 3.选中a , b , k, 用“计算”算出22 ka b 的值; 4.过原点O 作斜率为22 ka b 的直线,与过点P 斜率为k 的直线相交于点M ; 5.以点M 为中心,将点P 旋转180°,得到点Q ,则点Q 在双曲线上; 6.连接PQ ,则PQ 就是斜率为k 的双曲线中的平行弦; 7.保留坐标系、双曲线、斜率k 和PQ ,隐藏其它的内容;选中点P 在双曲线上拖动点P ,则弦PQ 始终与AC 平行,且点P 、Q 在双曲线上; 8.作PQ 的中点,标记为“追踪点”,则点P 运动时,就可以得到中点的轨迹。 理论根据: 设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)都在双曲线122 22=-b y a x 上,且PQ 的斜率为k ,若PQ 的中点为M (x 0, y 0), 有1221221=-b y a x ,1222222=-b y a x ,两式相减得2 212122121) )(())((b y y y y a x x x x -+=-+。 ∴00x y =222 21221)()(ka b a y y b x x =--, ∴ 中点M 在过原点且斜率为22 ka b 的直线上。 四.双曲线切线的画法: (一) 过双曲线上一个定点P的切线: 1.在直角坐标系中画一条双曲线,同时标出它的两个焦点F1、F2; 2.在双曲线上标出定点P; 图10-11 3.以F1为圆心,双曲线的实轴2a为半径作圆; 4.连接F1P交圆于点M; 5.连接F2M,作F2M的中垂线,这条中垂线过点P,并且是双曲线的切线。 理论根据: ∵点P在双曲线上, ∴||PF1|-|PF2||=2a, 又|F1M|=2a,∴|PF2|=|MP|, 点P在F2M的中垂线上,直线MP经过点M且与双曲线有且仅有一个交点,所以直线MP是双曲线过点P的切线。 (二) 过双曲线外一点作双曲线的切线: 1.在直角坐标系中画一条双曲线,同时标出它的两个焦点F1、F2; 2.在双曲线外标出定点T; 3.以点F1为圆心,双曲线的实轴2a为半径作圆; 4.以点T为圆心,|TF2|为半径作圆,交圆F1于点M、N; 5.连接MF2,作MF2的中垂线TCP,同样连接NF2,作NF2的中垂线TDQ; 6.直线TCP、TDQ都是过点T的椭圆的切线。 理论根据: 点M、N在以点T为圆心,|TF2|为半径作圆上,∴|TF2|=|TM|=|TN|,MF2的中垂线一定经过定点T,且中垂线上一定有一点P,满足||PF1|-|PF2||=||PF1|-|PM||=2a, 点P在双曲线上,∴PT是双曲线的切线且PT经过点T;同理QT也是椭圆的切线且QT经过点T。 图10-12