刚体的转动

刚体的转动 第四章 刚体的转动 定义：物体内任意二点距离不变的物体称为刚体。 ：? 刚体是理想模型 ? 刚体模型是为简化问引进的。 刚体运动：（1）平动：刚体内任一直线方位不变。 ,,av 特点：各点运动状态一样，如：、等都相同，故可用一个点来 代刚体运动。 （2）转动：1）绕点转动 2）绕轴转动：刚体中所有点都绕一直线作圆周运动 ：刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。（如：乒乓球飞行等） ,w定义：转轴固定时称为定轴转动。 ,v转动特点：? 刚体上各点的角位移,,相同 o,r,（如：皮带轮），各点的,、相同。 2a(,r,)v(,r,)n? 刚体上各点的、、 ，，a,r,一般情况下不同。 t,图 4-1,? 是矢量，方向可由右手螺旋法则 确定。见图4-1。 ,轴M,,,? v,,，r ,,orF ,dP ,1、外力F在垂直于轴的平面内 图 4-2 1 第四章 刚体的转动 如图4-2： 定义： ,,,?力矩： （4-1） M,r，F ?力矩 ：大小： M,Fd,Frsin, ,,（，称为力臂）；方向：沿（）方向， d,rsin,r，F ,,,它垂直于、构成的平面即与轴平行。 FMr,,：是、间夹角。 ,Fr 轴 ,,,2、外力不在垂直于轴的平面内 FF||F 如图4-3： ,or,,,,F,F,F(平行轴），F（垂直轴） //,,P? 对转动无贡献 F//,? 对转动有贡献的仅是F。 ,,,F产生的力矩即的力矩， F图 4-3, 故上面的结果仍适用。 ,,：M,0平行轴或经过轴时 。 F ,,,,M,0时，转动状态改变，即，那么与的关系如何？这就是转动定律的内容。 ,,0,M推导： 如图4-4，把刚体看成由许多质点组成的系统， 轴这些质点在垂直于轴的平面内作圆周运动。 考虑第个质点： i 切线质量：,m i,oF到轴的距离： rii,,,,,ifrii 受力：外力：；内力： Ffii,i,m,,i （设Ff、在垂直于转轴的平面内） ii 在切线方向上由牛顿定律有： F，f,,ma,,mr, （4-2） itititii图 4-4即 Fsin,，fsin,,,mr, （4-3） iiiiii 2（4-3）×,Frsin,，frsin,,,mr,r: （4-4） iiiiiiiii每一个质点都有一个这样方程，所有质点对应方程求和之后，有 ，，2 （4-5） Frsin,frsin,mr,，,,,,,iiiiiiii,,iii，， 合内力矩Frsin,,0可。 ,iiii 2 第四章 刚体的转动 证明如下： 如图4-5，刚体内力是各质点间的相互作用力， 轴j他们是一对一对的作用力和反作用力。对i、两 ,i质点，相互作用力的力矩之和=？设为第个质点对 fij,jji第个质点作用力，为第个质点对第个质点作 fji,r用力。 jo,mj,,,,?,与共线 fffrijjiijidfji,mi?力臂相等 ,,又 ?与等值反向 ffjiji,,,,?图 4-5与产生力矩等值反向，故与力矩合=0 ffffijjiijji 由此可知：刚体的所有内力矩之和两两抵消，结果为0。 ,frsin,,0 ,iiii ,M,frsin,,iii,i令 ,2J,mr,,ii,i, （4-6） M,J, 即：刚体角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比，这称为转动定律。 ,,,：?,MM,J,与方向相同 , ,?M,J为瞬时关系 ,,,,,,,,F,maa,FM?转动中M,J,与平动中地位相同，是产生的原因，是产生 的原因。 ,,,,M,J*比较 ,,,F,ma, ,?为合外力矩=各个外力力矩的矢量和。 M 21、J,,mr： 转动惯量=刚体中每个质点的质量与它到转轴距离平方乘积的和。 ,iii ,222mr，mr，,,,，mr（刚体由n个质点组成）,1122nn J,,22rdm,rdV（,为密度，dV为体积元）（由连续体组成的刚体）,,,,mm, 2、转动惯量的意义：转动惯性的量度。 ：如图4-6，在不计质量的细杆组成的正三角形的 顶角上，各固定一个质量为m的小球，三角形边长为l。求： ?系统对过质心且与三角形平面垂直轴C的转动惯量； 3 第四章 刚体的转动 ?系统对过A点，且平行于轴C的转动惯量； m ?若A处质点也固定在B处，?的结果如何？ B 222,,,,,,lll解：? J,m,,，m,,，m,,c,,,,,,ll333,,,,,, 1C2 ,Ml(M,3m) mm3ADl2222? ,，,JmlmlMlA图 4-63 222?J,ml，2ml,Ml A ：?与质量有关（见?、?、?结果） J ?与轴的位置有关（比较?、?结果） J ?与刚体质量分布有关（比较?、?结果） J ?平行轴定理：对平行于质心轴的转动惯量=对质心轴转动惯量+刚体质量× 该轴与质心轴之距离平方。如 2,,211l222 J,Ml,Ml，Ml,J，M,,Ac,,3333,, ml：如图4-7，质量为长为的匀质杆，求： ?它对过质心且与杆垂直的轴c的转动惯量为多少？ ?它对过一端且平行于c轴的A轴转动惯量为多少？ 轴轴 dmdmBACABxolxllox,xdxdxx22 图 4-7图 4-8解：?如图4-7所取坐标l/2m122,,Jxdxml， c,l/2,l12 lm122,,Jxdxml?如图4-8所取坐标， A,0l3 用平行轴定理解： 2l1m1,,222,，,，, JJmmllml,,Ac21243,, ：一些特殊形状的刚体转动惯量应会计算并记住。如：匀质杆、圆柱、圆盘、圆环、 球等。 ：如图4-9，轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮c连接两物体A和B，A、B质量 分别为mmm、，滑轮视为圆盘，其质量为半径为R，AC水平并与轴垂直，ABc 绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，求B的加速度，AC、BC间绳的张力大小。 4 第四章 刚体的转动 解：受力分析： mAC,,,A ：重力，桌面支持力，绳的拉力； TmmgN1AA1mCR,, ：重力，绳的拉力； mmgTBB2,,,, ：重力，轴作用力，绳作用力、 mmgNT'T'22cc1mB B取物体运动方向为正，由牛顿定律及转动定律得： ,T,ma,1A图 4-9, mg,T,ma,B2B ,12,,,T'RT'RmR21c,2, 及，， T',TT',Ta,R,1122,,N1N2,,T',1,,CAmgT1,a,B,1,mmm，，,,,mg'T2mgABcA2c解得,mmg： ,,T,AB,1T12,mmm，，ABc,2B,1,,xmmmg，,,,AcB2,,,T,2,1,mgmmm，，BABc,2, mg,图 4-10B,a,,m，mAB：不计时， m,cmmgAB,T,T,12,m，mAB, （即为质点情况） m：一质量为的物体悬于一条轻绳的一端，绳绕在一轮轴的轴上，如图4-11。轴 r水平且垂直于轮轴面，其半径为，整个装置架在光滑的固定轴承上。当物体从静止释 ttmSSr放后，在时间内下降了一段距离，试求整个滑轮的转动惯量（用，，和表示） ,,NTro x,,,Tmmg ,图 4-11Mg 图 4-12 解：受力分析 5 第四章 刚体的转动 ,,,m:重力mg、绳作用力T, ,,,,,轮：重力Mg、轴作用力N、绳作用力T', 由牛顿第二定律及转动定律得： mg,T,ma, ,T'rJ,,, 12a,r,T',T及，， S,at2 2gt2,J,mr(,1) 2S 如图4-13，刚体绕过O处轴（垂直图面）转动，角速度为,，在转动中刚体各个质 点都具有动能，刚体转动动能=各个质点动能之和。 ,m,m,mrrr设各质点质量为123123，，，…，与轴距离为，，，…，转动动能为： 111222，，，，，，E,,mr,，,mr,，,mr,，,,, k112233222 12222,m1,,,,mr，,mr，,mr，,,,, 1122332r1r21，，1,m2222 ,,mr,,J,,ii,,o22i，，r31,m23E,J, （4-6） k2 1,2EJ,,转动图 4-13k,2*： ,12,E,mv平动k2, 如图4-14，刚体绕定轴转动，设作用在刚体P ,点力（可以是内力，或外力，也可以是合力或单F ,,F个力），在作用下刚体有一角位移d,，力的作用F,,,dro,,,点的位移为dr，则在该位移中作的功为： FrP,,,dW,F,dr,Fdrcos,,Fdrcos(,,) 2图 4-14,Fdrsin,,Frsin,d,,Md, （4-7） 即 ：力矩元功=力矩×角位移（力矩与角位移点积） 在力矩作用下，从,,,过程中，力矩的功为 12 6 第四章 刚体的转动 ,2 （4-8） W,Md,,,1 ：?常力矩功 W,M(,,,)21 ?力矩功是力矩的空间积累效应 ?内力矩功之和=0（与质点情况不同） dWMd,?力矩的功功率： p,,,M,dtdt ,b,,,,W,F,dr,平动,p,F,v,,,a： ,,,,,,,,b转动p,M,,,WMd,,,,,,,,a, M,I, d,d,d,d,,M,J,J,,J, dtd,dtd, 即 Md,,J,d, ,,22做如下积分 Md,,J,d,,,,,11 1122可得 W,J,,J, （4-2122 9） 即：合外力矩功等于刚体转动动能增量，称此为刚体的转动动能定理。 m：在例4-3中，若B从静止开始下落A,时， h,,,T1A?合外力矩对c做的功=？ R?c的角速度=？ ,,T2解：?由例3知，对c的合外力矩为 mBB M,T'R,T'R 21h 1,,图 4-15，mmmg,,AcBmmg2,,AB,R,R 11m，m，mm，m，mABcABc22 1mmgRcB2（常力矩） ,1m，m，mABc2 ,Sh，，,,,,,,,WMMM 21RR 7 第四章 刚体的转动 mmgRcB,h/R 12(m，m，m)ABc2 mmghcB ,12(m，m，m)ABc2 12? W,I,,02 mmgh2A12cB,,,/mR c1J2m，m，mABc2 2mghB ,12(m，m，m)RABc2 ：如图4-16所示，一轻弹簧与一匀质细杆 k,1K,40N,m相连，弹簧倔强系数，细杆质量l,1m ,为,,0m,3kg。杆可绕c轴无摩擦转动。若当时弹1.5m ,簧为原长，那么细杆在,,0的位置上至少具有多大 的角速度才能转到水平位置？ CE,0解：取pK、杆、地为系统，由题意知系统机械能守 图 4-16恒。 21111,,2222,,1.51.00.51,K，,,mg,，，ml,,,2223,, ,2,1g,9.8m,s,K,40N,m，m,3kg。l,1m，代入得 ,1,,6.18rad,s ：机械能守恒定律条件及应用。 1、角动量 ,定义,,,L,J：，称为刚体角动量（或动量矩） L ,LJ大小：,,,：?L为矢量 ,,,方向：与同向, ,,pmv动量,平动,?,比较 ,,LJ,角动量,转动, 2、冲量矩 8 第四章 刚体的转动 ,,,，，dJ,dLM,,转动定律 （4-10） dtdt,, （4-11） ,Mdt,dL ,,,t2,,做如下积分： MdtLLJJ,,,,,,212211,t1 t,,2定义：为在内对刚体的冲量矩 （4-12） t,tMdtM12,t1 ：（1）冲量矩是矢量 （2）冲量矩是力矩的时间积累效应 ,t2,冲量Fdt平动,,t1* ： ,,t2冲量矩Mdt转动,,t1, ,t2,,由上知 （4-13） ,,MdtJ,J,2211,t1 即：合外力矩对刚体的冲量矩等于刚体角动量增量。称此为角动量（或动量矩）定理。 ,,dL已知 M,dt,,dL当,0M,0时， dt,,,,,常矢LJ有 （4-14） ,即：当合外力矩M,0时，则此情况下刚体角动量守恒，称此为角动量守恒定律。 ,：?角动量守恒条件是某一过程中M,0。 ,,a)J,、均不变,,?LJ,,不变 ,,,b)JJ,,、均变，但不变, ?角动量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律是自然界中的普遍规律，不仅 适用于宏观物体的机械运动，而且也适用于原子、原子核和基本粒子（如电子， 中子，原子，光子，…）等微观粒子的运动。 r 2 ,：如图4-17，轻绳一端系着质量为vm的质点，另 ,m一端穿过光滑水平桌面上的小孔o用力r拉着，如图所F ,示。质点原来以等速率vr作半径为的圆周运动，当拉F 动绳子向正下方移动r/2时，质点的角速度 ,,?,F解：研究对象：m 图 4-17受力分析：重力、桌面支持力、绳的作用力。 9 第四章 刚体的转动 ,可见转动中，受合外力矩=0，即 L,常矢 ? J,,J,1122 2vr,,2 ,,mr,m(),,2r2,, 得 ,,4v/r2,,pL角动量守恒条件及应用（守恒时，不一定守恒，反过来也如此） ,,：如图4-18，A、B两圆盘分别绕过其中心的垂直轴转动，角速度分别是AB、， RRmm,ABAB它们半径和质量分别为、和、。求A、B对心衔接后的最后角速度。 解：研究对象：A、B系统在衔接过程中， wA对轴无外力矩作用，故有 wB,L,常矢 ，， ,J，J,,J,，J,ABAABBAB,,J，JAABB即： ,,J，JAB w1122,,mR，mRAAABBB22 ,1122mR，mRAABB2222,,mR，mRAAABBB ,22图 4-18mR，mRAABB ：假若的转动方向与题中相反，则 ,,? ,假设为正，则有： ,A ，，J，J,,J,,J, ABAABB ,0与A原转动同向,22,,mR,mR,AAABBB,,,,0 与A原转动反向,22mRmR，AABB,,0，，原A、B角动量等值反向停止, m：如图4-19， 长为l，质量为的匀质细杆，可绕过O的光滑水平轴转动。起初 杆水平静止。求： o?t=0时，E,0p,,? ,l?杆到竖直位置时，,,? 2?杆从水平到竖直过程中外力矩功=？ l?杆从水平到竖直过程中杆受冲量矩大小为多少？ l 4,v解：?0M,J, Al12即 mg,ml, 图 4-1923 3g,, 2l 10 第四章 刚体的转动 m?以、地为系统，其能量方程 112有 0,J,,mgl22 mglmgl3g ,,,,1Jl2ml3 112? W,J,,0,mgl22 23ggl13?冲量矩= J,,ml,m,0l33 ：长为，质量为的匀质细杆，可绕上端的光滑水平轴转动，起初杆竖直静止。lM,一质量为m的小球在杆的转动面内以速度垂直射向杆的A点，求下列情况下v0,v0杆开始运动的角速度及最大摆角。?子弹留在杆内?子弹以射出。 2 解：?子弹留在杆内分两个过程： 1）弹射入杆过程。、m、为系统，角动量守恒，即 M 2，，313,,2mvl,Ml，ml, ,,,,0434,,,,，， 3mvl036mv04, ? ,,216Ml，27ml213,,Ml，ml,,34,, （强调：此过程动量不守恒及原因） 2）上摆过程。m、、地为系统，系统机械能守恒，有 M 2，，113l3l3,,22Ml，ml,,Mg,mgl,,Mgcos,,mglcos, ? ,,,,2342424,,,,，， 初态 末态 2，，3,,mlv,,,,04,,?、?,,,： ,,arccos1,,,l3l19,,,,222Mg，mgMl，ml,,,,,,24310,,,,,,，，?子弹射出 a)子弹与杆作用过程。以杆、子弹为系统，其角动量守恒 v31320mvl,Ml,，ml ? 04342 射前 射后 b)杆上摆过程。以杆、地球为系统，其机械能守恒。 ll1122,Ml,,Mg,,Mgcos, ? 2322 初态 末态 11 第四章 刚体的转动 22，，27mv0?、?解得： ,,arccos1,,,264Mgl,,，， *：若已知，求，方法完全一样，只不过为未知数。 v,?v,00注意角动量守恒，而不是动量守恒。 12