反函数教案

反函数 反函数 教学目标 1.使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法. 2.通过反函数概念的学习,培养学生问,解决问题的能力及抽象概括的能力. 3.通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观. 教学重点、难点 重点是反函数概念的形成与认识. 难点是掌握求反函数的方法. 教学方法 自主学习与启发结合法 教学过程 一. 揭示课题 今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数. 二.讲解新课 教师首先提出这样一个问题:在函数中,如果把当作因变量,把当作yx,，21 自变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答,要讲明理由)可以根据函数的定义在 的允许取值范围内的任一值,按照法则都有唯一的与之相对应.(还 可以让学生画出函数的图象,从形的角度解释“任一对唯一”) 学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即有反函数,而且 把这个函数称为的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢? yx,，21 由学生回答出应为.教师再提出它作为函数是没有问题的,但不 太符合我们的示习惯,按习惯用表示自变量,用表示因变量,故它又可以改写成 ,改动之后带来一个新问题: 和是同一函数吗? 由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把叫做的反函数.继而再提出: 有反函数吗,是哪个函数, 学生很快会意识到yx,，21是的反函数,教师可再引申为yx,，21与 是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函数都有反函数呢?如果 2有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象这样的函数,若将当自变量,当yx, 作因变量,在允许取值范围内一个可能对两个(可画图辅助说明,当时,对应 ),不能构成函数,说明此函数没有反函数。 通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对的反函数的研究过程一般化,yx,，21 概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容. 1. 反函数的定义: 换成某个具体简单的函数如 为了帮助学生理解,还可以把定义中的 yx解释每一步骤,如得,再判断它是个函数,最后改写为.给出定义后,再x,y, 33对概念作点深入研究。 对概念得理解 2. 教师先提出问题:反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言,指的是两者的关 x,1与为例系你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢?(仍可以yx,，21y, 2来说) 学生很容易先想到对应法则是“反”过来的,把与的位置换位了,教师再追问它 们的互换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论: x,1的定义域和值域分别由的值域和定义域决定的.再把结论从特殊发yx,，21y, 2 展到一般,概括为:反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了,反函数的三要素就已经确定了.简记为“三定”. (1)“三定” 然后要求学生把刚才的三定具体化,也就是“反”字的具体体现.由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中与的位置互换.如图 最后教师进一步明确“反”实际体现为“三反”, “三反”中起决定作用的是 与 的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范围也带走了,引起了另外两“反”. (2)“三反” 此时教师可把问题再次引向深入,提出:如果一个函数存在反函数,应怎样求这个反函数呢?下面我给出两个函数,请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函数. 1 例1. 求的反函数. yx,,,2，， x，2 (由学生说求解过程,有错或不规范之处,暂时不追究,待例2解完之后再一起讲评) 12,y112,x得 解:由, 所求反函数为x,yx,,,2y,，， yx，2x 例2. 求,的反函数. 解:由得,又得, 故所求反函数为. 求完后教师请同学们作评价,学生之间可以讨论,充分暴露表述中得问题,让学生自行发现,自行解决.最后找代表发表,指出例2中问题,结果应为, . 教师可先明知故问,与,有什么不同?让 学生明确指出两个函数定义域分别是和,所以它们是不同的函数.再追问 从何而来呢?让学生能从三定和三反中找出理由,是从原来函数的值域而来. 在此基础上,教师最后明确要求,由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而不是从自身解析式出发寻求满足的条件,所以求反函数,就必须先求出原来函数的值域.之后由学生调整刚才的求解过程. 解: 由得,又得, 又的值域是, 故所求反函数为,. (可能有的学生会提出例1中为什么不求原来函数的值域的问题,此时不妨让学生去具 体算一算,会发现原来函数的值域域求出的函数解析式中所求定义域时一致的,所以使得最后结果没有出错.但教师必须指出结论得一致性只是偶然,而不是必然,因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域,并且在最后所求结果上注明反函数的定义域,同 将过程补充完整) 时让学生调整例的表述, 最后让学生一起概括求反函数的步骤. 3.求反函数的步骤 (1)写出原函数的定义域和值域 (2)反解: (3) 互换 (4)改写，写出反函数的定义域 对以上环节教师可稍作解释,然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了. 三.巩固练习 练习:求下列函数的反函数. 212 (1) (2)(由两名学生上黑板写) yxxx,,，,1,fxxx,，,,,2,,3，，，， 23 解答过程略. 教师可针对学生解答中出现的问题,进行讲评.(如正负的选取,值域的计算,符号的使用) 四.小结 1. 对反函数概念的认识: 2. 求反函数的基本步骤: 五.作业 扩展资料 反函数 反函数是研究两个函数相互关系的一项重要内容,它从数量关系和图象的对应关系两方面刻画了两个函数之间的关系.一个函数是否存在反函数是由它自身的性质决定的,而且它若有反函数,则它的反函数的性质也与这个函数的性质密切相关.如奇函数若存在反函数,则反函数也是奇函数.请同学们仿照刚才例6的证明,来证明这一结论.再如函数与其反函数再相应的区间内也具有相同的单调性,这一点也是可以证明的.由于它们在性质上的一致性,为我们研究函数的性质增加了一种手段,如果一个函数存在反函数,当我们研究这个函数性质时,就可以在两者之中择其较简的来进行研究. 探究活动 一个函数是否具有反函数与它的奇偶性有关吗?与单调性有关吗?请同学们研究如下问题: (1) 如果一个函数是奇函数,是否一定存在反函数? (2) 如果一个函数是偶函数是否一定没有反函数? (3) 如果一个函数是单调函数,是否一定有反函数? (4) 如果一个函数不是单调函数,是否一定没有反函数? 习题精选 一、选择题 (1)在同一坐标系中,图象表示同一曲线的是( ). 与 与 与 与 (2)若函数存在反函数,则的方程为常数)( ). 至少有一实根 有且仅有一实根 至多有一实根 没有实根 (3)点在函数的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的是 ( ). 参考答案 (1)C (2)C (3)D 二、填空题 (1)求下列函数的反函数: ? ; ?; ?; ? . (2)函数的反函数是_____________________. ,则的值为_________. (3) (4)要使函数在上存在反函数,则的取值范围是 _____________. (5)若函数有反函数,则实数的取值范围是_____________. 参考答案 (1)?; ?; ?; ?; (2) (3) (4)或 (5)且. 三、解答题 (1)已知函数的图象关于直线对称,求的值. (2)函数与的图象关于直线对称,求常数的值. 参考答案 (1) (2) 典型例题 例1 给出下列函数: (1); (2); (3); (4); (5). 其中不存在反函数的是__________________. 分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个,依照这 函数的对应法则,自变量总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对 给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数. 解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当时,和,且. 对于(4)时,和.对于(5)当时,和. 故(3),(4),(5)均不存在反函数. 说明:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可. 例2 求下列函数的反函数: (1) ; (2) ; (3). 分析:求反函数时,通常先由给定的解析式中解出,再求出原来 的函数的值域,再把与互换. 解: (1)由得,又得值域是 . (2)由变形得. 又得值域是, (3)由得; 由得. 又(的值域是,而的值域 是 , . 说明:在求解方程时,一定要注意题目中对的限制条件的使用,分段函数存在反函数 时,也应分段求解它的反函数,一般情况下,它的反函数仍然是个分段函数. 例3 已知函数,求的值. 分析: 符号的意义即反函数在时的值,故可先求,再 求的值,但如果真正搞清了反函数与原来函数的关系,就会知道它的另一层含义即 当原来函数的函数值为4时相应的自变量的取值. 解: 令,解此方程得,再考虑到,故. 说明:此题意在要求学生不仅能在定义中理解互为反函数的两个函数之间的关系,还能从符号角度认识它们之间的关系,也正是基于这种理解才找到了更为简捷的方法.(此法对于求反函数比较复杂的题目尤为适用) 例4 已知函数与其反函数是同一个一次函数,试指 出的所有取值可能. 分析:此题可以有两种求解思路:一是求解的反函数的解析式,与 比较,让对应系数相等,列出关于的方程,二是利用两个函数图象的对 ,找对称点,利用点的坐标满足解析式来列方程. 称性 解:由知点在图象上,则点定在的图象上, 于是 (1) 又过点,则点也在的图象上, 于是 (2) 由(1)得或,当时,代入(2),此时(2)恒成立即; 当代入(2)解得. 综上, 的所有取值可能有或. 说明:此题是反函数概念与方程思想的综合.在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便,而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用,故对此种方法要引起重视.另外此题在最后作答时,要求写出的所有取值可能即要把的取值与的取 值搭配在一起,所以解方程组时要特别小心这一点. 例5.已知函数,,求的反函数. 分析: 由于已知是,所求是的反函数,因此应首先由找到 ,再由求出的表达式,再求反函数. 解:令,则,,, .于是有. 由得,由于, . 又,的值域是, 的反函数是. 说明:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解,特别是在换元过程中,相应变量的取值范围也要随之发生改变,这一点是学生经常忽略的问题. 例6.设定义域和值域都是的函数的反函数为,且对于任意 都有, 求证:对任意也成立. 分析:由函数的性质推证其反函数的性质,应首先要把的问题转化成 的问题,转化的依据是对互为反函数的两个函数关系的理解. 证明:令,其中,那么. 则有 (1) 由于对任意成立, .由于,则. 故有,即. 说明:使用抽象函数符号进行简单的证明,是提高研究函数性质理论层次的一种要求,对于较好的学生应适当做一些这样的题目.