Legendre小波在微分方程求解中的应用(毕业设计论文)要点

Legendre小波在微分方程求解中的应用 【摘 要】 数学与物理学、天文学、生物等应用学科关系非常密切，这些应用学科中的很多模型都可以用数学方式达出来，而这种数学表达方式之一就是通过微分方程。在本文中，我们主要研究微分方程的Legendre小波方解法。我们首先介绍Legendre小波的构造及相关性质，接着给出Legendre小波积分算子矩阵；然后求解一类非线性常微分方程的Legendre小波算法；最后借助MATLAB数学软件求解这类微分方程的数值解。通过数值算例我们可以验证该算法的有效性和精确性。 【关键词】 Legendre小波，常微分方程，数值解，积分算子矩阵 Application of Legendre Wavelet in Solving Differential Equations 【Abstract】 The applied disciplines such as physics, astronomy, biology have closed relationship. Many models of these disciplines can be expressed in mathematical way which is known as differential equation. In this paper, we mainly studied the numerical method of differential equations. Firstly, the construction and properties of Legendre wavelet were introduced. Then, the integral operational matrix of Legendre wavelet is given. method of differential equation. Secondly, we design a Legendre wavelet algorithm for solving a class of nonlinear ordinary differential equations. Finally, the numerical solution of those equations can be obtained by the MATLAB mathematical software. The validity and accuracy of the designed algorithm can be verified. 【keywords】Legendre wavelet, Ordinary differential dquations, Numerical solution, Integral operational matrix 目录 中文摘要    I 英文摘要    II 第一章 引言    2 1.1 Legendre小波简介    2 1.2  微分方程简介    3 1.3  微分方程的数值解法    3 第二章  研究背景    4 第三章  Legendre小波基本理论    5 3.1 Legendre多项式    6 3.1.1 Legendre多项式的来源    6 3.1.2 Legendre多项式的性质    7 3.2 Legendre小波    7 3.3 Legendre小波的积分算子矩阵    8 第四章  Legendre小波在微分中的应用    11 第五章  数值举例    12 结 论    16 致谢    17 参考文献    18 附录    20 第一章  引言 小波分析是一门新兴的数学分支，这种新的分析方法是几十年来研究者们努力探索的成果，如今小波分析在科学研究以及技术的应用中涉及面都非常广泛。其中的Legendre小波在微分方程求解中的应用问研究的也比较完善，特别是对整数阶微分方程的求解更完善。一直以来，如何求微分方程的数值解都是数学界研究的热门话题，由于以往古典的求解微分方程的方法计算量大、收敛速度慢等的不足给求解造成了很多不便。现在，随着小波越来越多的应用于求解微分方程的领域里，以多分辨分析为基础构造出了很多具有正交特征性的小波基，与Wavelet-Galerkin方法结合起来，求解微分方程。在此，我们主要研究的是Legendre小波在微分方程求解中的应用这个话题。 1.1  Legendre小波简介 Legendre小波是在Legendre多项式[1]的基础上构造出来的正交小波。在以前人们的研究中就知道小波分析与微分方程的关系很密切[2]，研究小波分析在微分方程领域里的应用问题有很多数学家都参与过。另外，小波分析是数值分析中很好很有用的求数值解的工具，它能即能简捷且有效地求解偏微分方程，也能解决积分方程以及与最优控制有关的问题；另外在求解线性问题与非线性问题的求解过程中也很有用，例如，Galerkin方法就是传统求解微分方程的很好方法。这种方法在解决线性分析的问题时都能达到令人比较满意的精度，并且在电波传播与天线设计的很多问题的求解计算过程中都能用上此方法。一种新型的数值分析小波伽辽金 (Wavelet-Galerkin method)方法也随着小波理论的出现而产生了，这中方法是在Galerkin方法上进一步的改进了。并且为了让小波方法能够精确分辨问题的解，我们使用到了小波的局部化特征性质；随着尺度的增大以及收敛速度加快，小波伽辽金方法在求解微分方程时会更加方便、精确，并且也能也更有效地求解线性问题和非线性问题，与此同时也产生了小波有限元方法 (Wavelet finite element method)，小波边界元方法(Wavelet edge element method)，这在很大程度上使得数值分析方法的变得更加完善。 在科学与工程计算中小波分析有着非常重要的作用，因此利用小波算法来求解微分方程数值解的方法应用的范围也变的很广了。用经典方法求解微分方程数值解时计算量大，收敛速度慢，而Legendre小波的算法简单，收敛速度快，结果也相对比较精确。另一方面，区间小波也深受人们的重视，这是由于在很多实际问题中所求解的前提条件中区间定义的范围都是有限的。本文中，我们运用Legendre小波算法求解二阶非线性常微分方程的数值解，并且将得到的数值解与解析解进行比较。最后部分的数值算例验证了Legendre小波对于求解微分方程具有很好的逼近效果及较高的计算精度，是一种有效地、简便地算法。 1.2 微分方程简介[3] 力学、天文学、物理学、等应用学科的发展与现代数学的关系非常密切；近几十年来，由于电子计算机技术突飞猛进地发展，除了那些传统上与数学关系密切的学科外，工业、经济、交通、人口、生态等领域也越来越广泛地使用数学作为研究工具之一。另一方面，介绍一个被经常用到的名词“数学模型”，它的意思是指在对一个现实世界中的某一个特定对象的研究。抽取客观事物的本质特征及其内部联系，用适当的数学工具和数学语言所建立的一个数学结构，这种结构就是数学模型。例如工业自动化控制模型、交通模型、生产模型、环境治理模型、人口模型、疾病传播模型、大气流动模型等等。它的解往往表达了特定对象的现实性态和发展趋势，并提供了处理问题的最优决策和控制，成为人类改造自然、改造社会的有力武器。并且当处理内在联系比较简单的事物时，只要动用简单的数学工具就可以建立一个数学模型了，如比例、排列组合、初等函数、低阶线性方程组和低次代数方程、图上作业等，都分别可以用来解决一些实际问题。然而，在现实世界中的绝大多数事物它们的内在与外在的联系是非常复杂的，它们的状态在不同的条件、时间以及地点的而有所不同。因此我们只能通过做某些理想的假设来对问题进行简单化，这样才能从中找出这些状态之间的变化规律，再根据规律找出它们的相互关系。在数学中就是一个或一些函数与其导数之间的相互关系，而这种关系在数学中的表达方式就是微分方程[3]，而微分方程的基本概念就如定义1.1.1与定义1.1.2所示： 定义1.1.1[4]：一般情况下微分方程就是一个即包含了自变量、未知函数，还包含了未知函数的微分或者导数的方程。并且常微分方程是指只含有一个自变量的微分方程；偏微分方程是指含有两个或两个以上自变量的微分方程。 定义1.1.2[4]：一般情况下n阶微分方程的解中一般都会含有n个任意常数。另外，微分方程通解就是指即微分方程的解的个数与解中含有的任意常数的个数相等，通解会构成一个函数族。最后，根据实际问题求出其中满足某种指定条件的解的问题就是指定解问题，并且把满足这个微分方程的定解条件就被称为特解。 1.3 微分方程的数值解法[5] 最近几年，众多学者对于得到更有效的微分方程数值解方法产生了很大的研究兴趣。以往的一些常见的数值解法有变分迭代法、Laplace变换法、Adomian分解法、差分法、Fourier变换法以及微分变换法。如今，随着人们对小波研究的加深，各种各样地小波函数也应用于求解微分方程中，经常用到的一些小波函数是Haar小波、Legendre小波、CAS小波和Chebyshev小波。一般地，使用截断的正交函数系对微分方程进行数值微分求解或数值积分求解，进而将其转化为代数方程。通常有两种解决办法可以实现这一过程，一种是积分算子矩阵方法；另一种是微分算子矩阵方法。在本文我们将积分算子矩阵与微分算子矩阵相结合来得到Legendre小波求解常微分方程数值解的算法。 在以往求解微分方程的方法中主要有：谱方法[6]、有限元法[7]以及有限差分法[8]。在这三个方法中谱方法的求解精度最高，而对于解决比较复杂的几何形状上的问题用有限元法与有限差分法可以很方便地求解出来。那上述方法对于求解那些解是规则的方程会很方便，并且结果很精确。然而对于求解很多存在突变部分和奇异点的物理现象的方程就会比较复杂，而且往往不具备时间上的连续性，因此用上面介绍的三种方法来求这些方程的数值解就会比较难。 如果从小波分析方法考虑，我们的待求函数可以用一列小波基函数来表示，因为这些小波基函数无论是在尺度上还是在位置上都具有局部的性质。虽然谱方法中的基函数是无限可微的，这与小波分析方法中的基函数有所不同；但在谱方法中表示解的局部性质很不方便，因为它的基函数支撑集是全空间。对于有限元法和有限差分法中的基函数的局部性虽然比较好，但是它们的连续性却不令人满意，求解时还是很不方便。而小波方法的局部性和连续性都很好，因为它同时具备了很好的频谱分析能力和空间分析能力，这对于得到高精度的解很有帮助。除了微分方程有小波数值解法外积分方程也有小波数值解法，并且积分方程的小波数值解法也分为两种：一种方法是对解析解法做近似计算，另一种是将积分方程转化成便于进行数值计算的其他类型的问题，这里就不对这两种方法作详细介绍了。 第二章  研究背景 近代自然科学的基本方程形式一般都是微分方程的形式，而且现代工程应用及科学技术中的大多数数学模型都能用微分方程的形式来描述。此外，抛物型方程就是偏微分方程领域中的一个重要分支，这种方程是用于描述多孔介质中渗流等随着时间演化、溶质在液体中的弥散以及热的传播等这些现象的状态和过程。并且在工程和科学中也会遇到很多问题都是需要用到求解抛物型方程的初值与边值。用数值方法求解偏微分方程这在实际应用中很有用处，这可以弥补对于大多数微分方程都很难求出它的精确解析解的不足。下面我们要介绍的是用小波方法求解微分方程的历史研究背景。 1997年，Chen和Hsiao先后将Haar小波应用于线性刚系统分析[9]和集总分布参数系统分析[10]中，后来他们还根据Haar函数向量的积分建立了Haar算子矩阵，不久就应用到了动力系统的求解模型中。其中Hsiao将Haar小波应用于相信时间延迟系统的状态分析[11]中，他首先构想出了Haar乘积矩阵和系数矩阵，由于这奠定了Haar小波应用的基础，因此被人们称着是Haar小波应用的里程碑。在此基础上，他们还应用Haar小波求解变分问题[12]，并且得到了很好的效果。 除此之外，其他学者也做了大量研究工作。1993年，David E. Newland[13]创立了调和小波分析，并且C. Cattanj[14]在求解非线性偏微分方程的过程中应用到了这个分析方法；1997年，S.V. Muniandy和I.M. Moroz[15]利用调和小波求解Burgers方程；2000年，S. Mcwilliam、 D.J. Knappett和C.H.J. Fox应用Shannon小波求解FPK方程[16]；2002年，C. Vani和A. Avudainayagam应用Meyer小波求解Laplace方程的Cauchy问题[17]；2005年，Ulo Lepik利用Haar小波求解微分方程、积分方程和发展方程[18-20]；2006年，Byeong Hwa Kim利用二维Haar小波求解薄板的非破坏性损害问题[21]；K. Maleknejad和Derili将Daubechies应用于求解Hammerstein方程[22]中；F. Khellat与S.A. Yousefi一起成功建立了线性Legendre多小波[23]，后面还推出了Legendre多小波的算子矩阵；E. Babolian、M. Ghasemi和M. Tavassoli Kajani [24]建立了sine-cosine小波，并运用到求解微积分方程中。 2007年，E. Babolian和F. Fattahzadeh[25]构建了Chebyshev小波，并成功地应用于微分方程的求解中； Ibrahim Sadek、Taher Abualrub和Marwan Abukhaled，利用Legendre小波求解平行梁系统的最佳控制问题[26]；Han Danfu和Shang Xufeng[27]利用CAS小波求解微积分方程。 在实际的工程中Legendre小波的应用也是很广泛的。并且相比建立在Chebyshev多项式上的Chebyshev小波[28]，建立在Legendre多项式上的Legendre小波从表达式上来说要更简单。此外，Legendre小波方法在实际的计算中如果展开的级数相同时它不仅收敛速度快，而且计算误差也会很小。再加上Legendre小波的形式比较简单这个优点，Legendre小波方法在实际工程中的应用就变得非常广泛了。 Legendre小波除了在求微分数值解中广泛应用外，在求积分数值解的领域里也得到了比较广泛的运用。例如S.A. Yousefi利用Legendre小波求解Fredholm和Abel积分方程[29-30]；Xufeng Shang、Danfu Han[31]将线性Legendre多小波用于求解Fredholm积分方程；S. Yousefi和A. Banifatemi[32]建立了CAS小波，并应用于求解Fredholm积分方程； K. Maleknejad、T. Lotfi和Y. Rostami[33]建立了Coifman小波，并应用于求解Fredholm积分方程。 第三章  Legendre小波基本理论 我们都知道Legendre多项式是在Gauss公式的基础上得到的，并且还知道Legendre小波是在Legendre多项式的基础上建立的。因此我们在介绍Legendre小波之前先介绍Legendre多项式的来源及其性质，再介绍Legendre小波的应用方法。 3.1  Legendre多项式 在实际中Legendre多项式广泛地应用在解微分方程的数值解中，尤其是在常微分方程的求解中应用的更多，本文中我们主要探究的是应该怎样通过运用Legendre小波方法来求解微分方程，因此我们首先介绍Legendre多项式的来源与它的性质。 3.1.1  Legendre多项式的来源[34] Legendre多项式的定义是以首项系数为1并且定义域是在区间[-1,1]范围内包含的所有Gauss点 都是零点的 次多项式，即 为Legendre多项式。 这里Legendre多项式的最简式表示为： 利用matlab软件绘制Legendre多项式函数的图像[35]，程序见附录1，如图1所示。 3.1.2  Legendre多项式的性质： （1）正交性 ; （2）递推公式 其中 图1  Legendre多项式函数图像 （3）奇偶性 ; （4） 在区间 内有 个不同的实零点。 3.2 Legendre小波 用符号 来表示小波函数，我们只要对Legendre多项式做一定的伸缩与平移就会得到一系列的小波函数，如下式所示： . 在此式中当 和 取一系列离散值时，比如 ( ， ，且 和 都是正整数)，这样就可以得到我们更容易解决的离散小波函数，如下所示： . 在一定条件下， 可以很好地构成 的“基”，用来表示 .例如，当 和 时， 可以构成正交基。 在此我们给出区间[0,1)上的Legendre小波[2]定义，如下所示： 其中 ， ， ， 是正整数， 是定义在[-1,1] 上的 阶Legendre多项式。 因此，定义在区间[0,1)上的函数 用Legendre小波展开为： ,                      (3.1) 其中系数 可由内积确定，即 ,                        (3.2) 把定义(3.1)中的无穷级数截断，得： ,                    (3.3) 这里 和 是 矩阵，其元素为： , 和 ,    (3.4) 符号T代表矩阵的转置。 对于二元函数， ，可同样表示成矩阵形式： ,                            (3.5) 其中， 是 矩阵， 表达式为： .                        (3.6) 3.3  Legendre小波的积分算子矩阵[36] 我们先从Legendre小波算子矩阵的通式着手，在此我们就以 为例，小波矩阵与系数矩阵分别为： ， . 接下来我们建立一个 阶的算子矩阵。下面首先给出6个Legendre小波函数： ,                (3.7) .                (3.8) 我们对 从 到 进行积分，用矩阵的形式表示出来就如下所示： , , 同样的，我们有： , , , , 综上可得， ， 其中 , 经过观察不难发现， ,其中： ,  . 对 积分，得： ,                      (3.9) 其中 是 矩阵，即： ,                      (3.10) 和 均为 矩阵，即： , 第四章  Legendre小波在微分中的应用 我们先给定一种类型的常微分方程，即二阶非线性常微分方程，如下所示： ,                          (4.1) 它的边值条件是 ， ， 是关于 的初等函数。 对式(4.1)的等号两边同时求积分，我们就会得出下面这个微分方程： ， .              (4.2) 接着根据式(3.3)，我们可以将函数 进行Legendre小波展开，就得到 ,                  (4.3) 再对式(4.3)两边积分，得到： ,              (4.4) 其中， 就是积分算子矩阵， 就是小波矩阵。因此只要求出系数 的值就可以得到 的值。于是我们将式(4.3)代入式(4.2)，得到： .                  (4.5) 令 为Chebyshev多项式的 个零点[37]，并且将其作为式(4.5)的 个配置点，得到如下所示的非线性方程组： .                  (4.6) 然后我们根据Newton迭代法的方法来解出 这个未知数，就得到了如下这个等式： ,      (4.7) 其中， . 随后我们就根据Gauss公式的方法来近似计算出式(4.7)等号两边的两个积分式子，于是就有： .                    (4.8) 下面计算小波系数。取正整数 ，当进行第 步计算时，配置点的个数就是 个，小波系数为 ，因此当进行第 步计算时，配置点的个数就会增加一倍，而小波系数序列的高阶项几乎等于零，于是就能求得小波系数的近似估计值，见下式： (4.9) 由式(4.4)能够算出 的值，由式(4.7)可以算出 的值，于是 可以修正成： ， .                (4.10) 再由式(4.4)计算 。如此循环，直到达到需要的精度为止。 我们知道Newton迭代法的收敛性是依赖于初值的，因此我们可以假设 ，则有 ， ，由式(4.3)可知 ，两边同时积分可得到 ，故 ，即 。取初值 ， ，由式(4.7) 可解出 , ,则 ， .                  (4.11) 然后我们将式(4.11)代入式(4.4)，接着就可以算出 的结果。 第五章 数值算例 例1：解常微分方程[38]： ， ， . 其解析解为 。 我们用 表示精确解析解 与数值解 的误差，并且 的值如下所示： . 解得的结果见下表1[39]： 表1  误差值 2 3 6 3 3 12 4 3 24 2 4 8 3 4 16 4 4 32 2 5 10 3 5 20 4 5 40         与文献[38]中的结果进行比较可以得到在相同的迭代次数内，Legendre小波方法数值结果的误差明显要少，并且获得相同的精度所需的迭代次数也有明显的减少。 此方程的精确解析解与我们通过Legendre小波算法求得的数值解如下表2所示： 表2 数值解与精确解 1 2 3 4 5 6 7 8 0.773010 0.831470 0.903989 0.944806 0.963776 0.980785 0.986643 0.991445 数值解 1.330244 1.353240 1.379671 1.394559 1.401340 1.406964 1.409452 1.408186 精确解 1.331544 1.353318 1.379851 1.394563 1.401348 1.407404 1.409483 1.411186                   于是为了更直观的看出精确解与数值解的逼近效果，我们通过matlab软件编程绘制出上表中精确解与数值解，如下图2所示：（程序见附录2） 图2  “*”表示数值解，“-”表示解析解 我们从图2中很显然可以看出精确解的趋势线与数值解的散点基本上都是一致的，这个结果正好验证了Legendre小波算法在求解二阶非线性常微分方程数值解时的高精确性。 例2：解常微分方程： 其解析解为 。 此方程的精确解析解与我们通过Legendre小波算法求得的数值解结果如下表3所示。 从图3中我们也可以很直观的看出可以看出数值解的散点绝大部分都是落在表示精确解的曲线上，这个结果进一步验证了Legendre小波算法的精确性。 表3  数值解与精确解及误差值 数值解 精确解 0.1 0.110519 0.110517 2.0 0.2 0.244283 0.244281 2.0 0.3 0.404961 0.404958 3.0 0.4 0.596734 0.596730 4.0 0.5 0.824365 0.824361 4.0 0.6 1.093275 1.093271 4.0 0.7 1.409631 1.409627 4.0 0.8 1.780436 1.780433 3.0 0.9 2.213644 2.213643 1.0         利用matlab绘制图形如下图3所示：（程序见附录3） 图3  “*”表示数值解，“-”表示解析解 例3：解常微分方程： ， ， . 其解析解为 。 此方程的精确解析解与我们通过Legendre小波算法求得的数值解结果如下表4所示： 表4  数值解与精确解及误差值 数值解 精确解 0.16 0.025480 0.025491 0.000011 0.32 0.100619 0.100661 0.000042 0.48 0.221561 0.221654 0.000093 0.64 0.382044 0.382205 0.000161 0.80 0.573643 0.573885 0.000242 0.96 0.786096 0.786424 0.000328         利用matlab绘制图形如下图4所示：（程序见附录4） 图4  “*”表示数值解，“-”表示解析解 从图4中我们可以很明显的看出数值解基本上都落在解析解曲线上。 结 论 文中首先介绍了微分方程和Legendre小波的相关概念；然后给出了Legendre小波积分算子矩阵的推导过程及其一般形式；利用Legendre小波的积分算子矩阵，我们研究了一类非线性常微分方程的Legendre小波算法；最后，通过三个数值算例将数值解与精确解析解进行比较，从而验证了所提出方法的有效性和精确性。 通过对三个数值算例的研究，我们得到以下结论和不足： （1） 随着迭代次数的增加（增加k和M的取值），可以得到较高精度的数值解， 见表1，但也造成计算量的增大。因此，在一定精度范围内，如何选择合适的k和M的值是我们后续要考虑的问题。 （2） 通过与文献[38]的比较，我们发现在求解同一方程时，在相同的迭代次数的情 况下，利用Legendre小波可以得到更高精度的数值解。因此，Legendre小波是数值求解微分方程的有力工具。 （3） 本文虽然通过数值算例验证了所提出的方法的有效性和精确性，但没有从理论 方面给出数值解的收敛性和精度的证明，这也是我们后续要考虑的问题之一。 （4） 本文只研究了Legendre小波在一类非线性常微分方程求解中的应用，我们还 可以将其应用于求解其他类型的常微分方程中。 致  谢 参考文献 [1] 陈纪修, 於崇华, 金路. 数学分析(第二版 上册) [M]. 高等教育出版社. 2004. [2] 邓丽媛, 微分方程的小波方法[D]. 陕西: 西安建筑科技大学, 2008: 7-28. [3] 布朗森著, 刘嘉琨等译. 微分方程[M]. 科学出版社, 2002. [4] Zhigang Liang, Stephen S.T. Yau. Wavelet-Galerkin method for the Kolmogorov equation[J]. Mathematical and Computer Modelling, (2004)40: 1093-1121. [5] 党晓敏, 微积分方程的Legendre小波方法研究[D]. 陕西: 西安理工大学, 2010.1-12. [6] Benyu Guo.Jacobi spectral method for differential equations with Rough asymptotic behaviors at infinity[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2003, 46(1): 95 -104. [7] W.A. Mulder. Spurious modes in finite-element discretization of the wave equation may not be all that bad [J]. Applied Numerical Mathematics, 1999, 30(4): 425-445. [8] 胡建伟, 汤怀民. 微分方程数值解法[M]. 北京:科学出版社, 1999. [9] 薛定宇. 高等应用数学问题的matlab求解（第二版）[M]. 清华大学出版社, 2008. [10] C.H. Hsiao. Haar wavelet approach to linear stiff systems[J]. Mathenmatics and Comp-uters in Simulation, (2004)64: 561-567. [11] C.F. Chen, C.H. Hsiao. Haar wavelet method for solving lumped and distributed parameter systems [J]. IEE Proc. Control Theotr Appl, (1997)144: 87-94. [12] C.H. Hsiao. States analysis of linear time delayed systems via Haar wavelet[J]. Mathematics and Compute -rs in simulation, (1997)44: 457-470. [13] Chun-Hui Hsiao. Haar wavelet direct method for solving variational problems[J]. Mathematics and Computers in Simulation, (2004)64: 569-585. [14] David E. Newland.Harmonic wavelet analysis[J]. Proc. R. Soc.Lond. A, (1993)443: 203-225. [15] C. Cattani.Harmonic wavelets towards the solution of nonlinear PDE[J]. Computers and Mathematics with Applications, (2005)50: 1191-1210. [16] S.V. Muniandy, L.M. Moroz. Galerkin modeling of the Burgers equation using harmonic wavelets[J] Physics Letters A, (1997)235: 352-356. [17] S. Mcwilliam, D.J. Knappett, C.H.J. Fox. Numerical solution of the stationary FPK equation using Shannon wavelets[J]. Journal of Sound and Vibration, (2000)232: 405-430. [18] C. Vani, A. Avudainayagam. Regularized solution of the Cauchy problem for the Laplace equation using Meyer wavelets[J]. Mathematical and Computer Modelling, (2002)36: 1151-1159. [19] U. Lepik. Numerical solution of differential equations using Haar wavelets[J]. Mathematics and Computers in simulation, (2005)68: 127-143. [20] Ulo Lepok. Haar wavelet method for nonlinear integro-differential equations[J]. Applied Mathematics and Computation, (2006)176: 324-333. [21] Ulo Lepik. Numerical solution of evolution equations by the Haar wavelet method[J]. Applied Mathematics and Computation, (2007)185: 695-704. [22] Byeong Hwa Kim,Heedai Kim, Taehyo Park. Nondestructive damage evaluation of plate using the Multiresolution analysis of two-dimensional Haar wavelet[J]. Journal of Sound and Vibration, (2006)292:82- 104. [23] K. Maleknjad, H. Derili. The collocation method for Hammerstein equations by Daubechies wavelets[J]. Applied Mathematics and Computation,(2006)172: 846-864. [24] F. Khellat, S.A. Yousefi. The liner Legendre mother wavelets operational matrix of integration and its application[J]. Journal of the Franklin Institute, (2006)343: 181-190. [25] M. Tavassoli, Kajani, M. Ghasemi, E. Babolian. Numerical solution of linear integro-differential equation by using sine-cosine wavelets[J]. Applied Mathematics and Computation, (2006)180: 569-574. [26] E. Babolian, F. Fattahzadeh. Numerical solution of differential equations by using Chebyshev wavelet operational matrix of integration[J]. Applied Mathematics and Computation, (2007)188: 417-426 . [27] Ibrahim Sadek, Taher Abualrub, Marwan Abukhaled. A computational method for solving optimal control of a system of parallel beams using Legendre wavelet[J]. Mathematical and Computer Modelling. (2007) 45, 1253-1264. [28] 石智. 小波理论[M]. 西安建筑科技大学, 2005. [29] Han Danfu, Shang Xufeng. Numerical solution of integro-differential equations by using CAS wavelet operational matrix of integration[J]. Applied Mathematics and Conputation, (2007)194: 460-466. [30] K. Maleknejad,S. Sohrabi.Numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind by using Legendre wavelets[J]. Applied Mathematics and Computation,(2007)186, 836-843. [31] Sohrab Ali Yousefi. Numerical solution of Abel’s integral equation by using Legendre wavelets[J]. Applied Mathematics and Computation, (2006)175: 574-580. [32] Xufeng Shang,Danfu Han. Numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind by using linear Legendre multi-wavelets[J]. Applied Mathematics and Computation, (2007)191: 440-444. [33] S. Yousefi, A. Banifatemi. Numerical solution of Fredholm integral equations by using CAS wavelets [J]. Applied Mathematics and Computation, (2006)183: 458-463. [34] 令锋, 傅守忠, 陈树敏, 曲良辉. 数值计算方法[M]. 国防工业出版社, 2012. [35] 石辛民, 翁智. 数学物理方程及其MATLAB解算[M]. 清华大学出版社, 2011. [36] M. Razzaghi, S. Yousefi. The Legendre wavelets operational matrix of integration[J]. Int.J. Syst. Sci., (2001) 32(4), 495-502. [37] Constantinides A. Applied Numerical Methods with Personal Computers[M]. New York: McGraw-Hill, 1987. [38] Lepik U. Haar wavelet Method for Nonlinear lntegro-differential Equations[J]. Appl Math Comp, 2006, 176: 324-333. [39] Excel Home, Excel 2010应用大全. 人民邮电出版社[M]. 2011. 附录 附录1： X=-1:0.05:1; P1=legendre(1,X);P2=legendre(2,X);P3=legendre(3,X);P4=legendre(4,X);P5=legendre(5,X); plot(X,P1(1,:),'-',X,P2(1,:),'-.',X,P3(1,:),'--',X,P4(1,:),':',X,P5(1,:),'-*'); legend('P1','P2','P3','P4','P5');