高一数学教学中提升学生抽象思维能力的教学策略

高一数学教学中提升学生抽象思维能力的教学策略 赵 菁 内容提要:随着知识的深化和理论知识的增加，高中数学的抽象特征明 显加大，对抽象思维能力的要求明显提高。本文从多角度探讨高一数学 教学过程中提升学生数学思维能力的几条途径。借助已有知识，通过恰 当的语言转化，尤其是数形转化的思维训练，加深符号语言的理解，逐 渐形成熟练的数学符号表达习惯;重视概念形成过程的教学，注重学生 的参与和自主探求，提升自觉运用抽象语言进行代数形式化的能力。在 此基础上，揭示相关概念之间的内在联系，在新的视角内，帮助学生搭 建更系统的知识网络，从而进一步加深概念本质的理解。最后，还要多 角度运用抽象概念，解决具体问题，提高抽象概念的运用意识，进一步 提升数学思维能力。 主 题 词:抽象思维能力 教学策略 一、高中数学教学在抽象思维要求上明显提高 数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学，具有内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确性等特点，其中内容的抽象性是最本质的特征。从教材来看，随着知识的深化和理论知识的增加，进入高中以后，数学的抽象特征明显加大，体现在大量的数学抽象概念以及符号语言的广泛使用;就学生而言，对概念的理解和应用的考察要求明显提高。 在初中教学中，往往通过归纳的方法获得事物的共同属性，而高中数学中，则不仅要得到性质，更要严谨地从理论上对结论加以证明。如，数的单调性变化，在初中，只是观察获得一次函数、二次及反比例函数的变化规律，高中则从根本上给出了这种外在表现的实质，是函数的自变量与因变量的变化关系。初中代数学习较多的是模仿训练，推理能力主要是通过平面几何的论证来实现，其推理的过程多数依赖直观的几何图形，而高中则较多地增加了代数推理，训练学生抽象概念的理解和具体运用。由于对这种形式化的推理与证明缺乏必要的思维训练和心理准备，缺乏符号化、数学化的能力，在解决一些模型化、形式化的问题时，如、定理证明、代数推理等能力题时，较难找到有效的解题策略，大多数学生会觉得数学学习非常抽象，出现困难。 那么，如何通过课堂教学，帮助学生尽快适应高中数学学习要求，提高学生的数学抽象能力，进而进一步提高数学思维能力，为高二高三阶段的学习与提高打好基础，是摆在高一教师面前的重点任务。 二、提升高中学生数学抽象思维能力的教学策略 1 (一)借助已有知识，通过语言转化，加深符号语言的理解 数学信息表达通常有三种形式:文字信息、图形信息、符号信息。各种信息各有其特点，并发挥着不同的功能，但表达的数学对象的本质属性都是一样的，可以相互转换。因此，新概念的学习可以借助已有的数学背景和直观的图形语言，通过三种语言的相互转化，加深对符号语言的理解。 集合是学生进入高中学习后接触的第一个抽象的数学符号，也是高一数学的第一个难点和重点知识。教学中，要善于借用已有的知识背景，通过不同层次的教学设计，帮助学生理解和掌握集合语言表达的内涵，克服抽象符号学习与使用中的困难，提升对抽象的集合符号的理解能力，从而建立学好高中数学的信心。 (,),,31xyxRyRyx,,,，xRyx,,，31xRx,，,310例如集合、、和,,,,,,,,yx,，31,,,(,),,xyxRyR,,等，都是用集合符号表达的具体事物，对初学者是非常抽,,,xy，,1,,,,,象的内容。学生们说:“其中的每个字母、每个符号我都认识，但组合在一起，就不知道是什么了。”其实也就是体现了对抽象符号的认识存在困难。为解决这一困难，我们可以运用对抽象符号赋值使之具体化的办法，将抽象符号的具体体现表达出来，通过具体事物来认识其共性。而以上数学符号的具体体现又有数和形不同的表现，因此，借助于一次、二次函数等已有的知识背景，从数和形两个方面分别认识集合中的元素，有助于建立起这种数形结合、相互解释、相互映证的数学思维习惯和能力。 (二)重视概念形成过程的教学，加深概念的本质理解，提升运用抽象语言进行代数形式化的能力 数学中的概念都是实物的共性的数学描述。从具体的事例中抽取实物的共性，其本身就是数学抽象过程。在高一数学教学中，要重视由具体形象抽象到数学表述的概念教学，切不可错过这一提升学生归纳、抽象的机会。要创设情境，让学生主动参与事物共性的发现与抽象过程，形成概念，再将其本质属性逐步用符号语言准确的表述，这就是数学的形式化过程。 下面以“函数单调性”为例说明。 [问题1]观察以下函数，并归纳共性: 2 答曰:在定义域范围内，x增大，y增大。 [问题2]已学过的函数中,哪些具有这种特征?如何判断,如一次、二次函数，可以通过 3yx,画图判断，但不熟悉的函数如:如何判断 方法1:试数猜想 ffff(1)(0)(1)(2),,,, 质疑:特殊值如何保证一般性, 方法2:证， fxmfxm()(),0，,, ，如何保证不管大多少，都有呢。 质疑:fxmfxm()()，总比大个单位xy增大，增大 逐步引出定义， 任意、xxabxxfxfx,,,,,()()<恒成立,,121212 随着这些问题的探索、思考、讨论、比较和总结，学生的思维逐步由感性走向理性，由浅显走向深入，由模糊走向精确，并将形象的思考逐步抽象为准确的数学表达。由于学生参与了事物共性的抽取和具体图像性质的准确代数化过程，对这一概念的本质特征的理解以及代数抽象表述都能较好的接受，同时也提升了学生的数学能力。 (三)揭示内在联系，构建知识网络，加深概念理解 数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间的深刻的内在联系，包括各部分知识之间的横向联系和知识在各自发展过程中的纵向联系。 对于函数这章中的几个重要概念，如单调性、奇偶性、周期性等，虽研究的角度各不相同，但其共性在于都是研究自变量和因变量的变化关系。又如函数、方程、不等式三个重要的数学概念，学生从初中开始接触，到高一才可能形成一个整体的认识，理解它们内在的紧密联系，那就是方程和不等式都是函数在特殊数学条件下的变化形式，是典型的事物一般性特征和特殊性特征的关系。 在教学过程中，一方面要关注各个数学概念的特殊特征，另一方面更要重视知识体系的建立，强调概念之间的共性与联系，使学生既能准确理解概念，加深理解，同时又能构建完善的知识网络，在更全面的知识体系内灵活运用概念，逐渐形成自觉地从不同角度研究事物的思维能力。 (四)运用抽象概念，解决具体问题，强化概念运用意识 数学研究的对象是来源于客观的现实原形，经过理性思维之后、完全可以脱离具体内容的、具有广泛的应用性的抽象结果。如:立体几何公理三，从三脚支架、门轴等生活经验作为知识的立脚点，但它反映的内涵却有更深刻的意义，成为在进行逻辑推理中直接应用的理性成果。 概念教学既要重视由具体事物到事物共性的概念抽象过程，又要重视使用概念“具体解决问题”的运用过程。对于后者，在高中阶段，尤为重要。应通过不同层次的设计来帮助学生体会抽象到具体的概念运用过程。 如奇偶性教学中，一方面我们可由具体函数的形象特征上升为抽象表达，但还必须通 3 过具体应用来达到对定义的准确全面理解，挖掘定义的实质内涵和产生的外部影响(即其他相关性质)，如:定义中隐含的定义域关于原点中心对称的必要条件、定义中隐含的函数的奇偶性是函数的整体性质而非局部性质、定义中隐含的图象的对称特点等。定义的应用就更为广泛:如求具有奇偶性的函数在对称区域的解析式、证明复合函数的奇偶性、研究和证明奇偶函数的单调性、利用奇偶函数图象对称的特点简化问题等等。通过解决具体问题加深自身的认识，并达到熟练应用。 2fxxx()21,,,例如:已知是定义域为R的奇函数，当时，，求的fx()fx()x,0 表达式。 这是一个很常规的问题。在教学中，不应仅仅看重获得结果，更应定位在通过问题的解决过程加深对函数符号、函数概念与函数图像的对称性的理解。 如:有的学生在求的对应解析式时，有下述解法而且很困惑找不到问题所在: x,0 22fxfxxxxx()()(21)21,,,,,,,,,，，设，则，，所以当 x,0,,x0x,0 2时，解析式为。 ,，，xx21 出现这个问题的原因在于没有理解抽象符号的含义。此时，不能仅仅否认学生fx(), 的做法，将常规最简解法强硬加给学生，更要抓住机会，找出症结，解决学生的疑难，并在比较中鉴别，认清常规方法的优越性，并加深相关联知识的认识，使知识在运用中更加清晰。 综上所述，随着知识的不断扩展，高中数学的抽象性程度将不断提高。在抽象思维能力的的提升和训练上，既要抓住高一机会，又要防止急躁，适度推进。教学中应把握特点，正确引导，讲究策略与方法，并注意调适学生心理，找到数学抽象与学生学力的切合点，从而使数学抽象为我所用，促成学生思维水平的不断提高，为高二的学习与提高和高三阶段的综合复习打好基础。 参考书目: 曹才翰 蔡金法著:数学教育学概论 数学家教育学基本理论与实践 罗小伟 著 4