柱、锥、台体、圆的面积与体积公式

柱、锥、台体、圆的面积与体积公式 (一)圆柱、圆锥、圆台的侧面积 将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。1 、圆柱的侧面展开图——矩形 圆柱的侧面积 Sclrlrlc,,2,,,,其中为底面半径为母线长为底面周长圆柱侧 2 扇形、圆锥的侧面展开图—— 圆锥的侧面积 1Sclrlrlc,,,,,,其中为底面半径为母线长为底面周长圆锥侧2 3 、圆台的侧面展开图——扇环 圆台的侧面积 (二)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。1 、柱的侧面展开图——矩形 直棱柱的侧面积 2 、锥的侧面展开图——多个共点三角形 侧面展开 c ''hh 正棱锥的侧面积 3 、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形 侧面展开 , c ''hch 正棱台的侧面积 说明:这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式 ?即锥体的侧面积公式; c'c ?,时即柱体的侧面积公式; (三)棱柱和圆柱的体积 VShh,,其中S为柱体的底面积,为柱体的高柱体 斜棱柱的体积,直截面的面积×侧棱长 (四)棱锥和圆锥的体积 1其中S为锥体的底面积,为锥体的高VShh,,锥体3 (五)棱台和圆台的体积 说明:这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式: ?时即为锥体的体积公式;S,0上 SS ?,时即为柱体的体积公式。上下 (六)球的表面积和体积公式 (一)简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用 割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体; 补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如 正四面体可以补成一个正方体，如图: 四、考点与典型例题 考点一几何体的侧面展开图 1. 5cm1cm4例有一根长为，底面半径为的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕圈， AD 并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端、，则铁丝的最短长度为多少厘米, DC BA 222AC 解:展开后使其成一线段,ABBCcm，,，425, 考点二求几何体的面积 2. 0.85m1.5m例设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是，底面的边长是，制造这种塔顶 需要多少平方米铁板,(保留两位有效数字) S OE 解: 12 ,S,4，，1.5，1.13,3.40(m)2 答:略。 考点三求几何体的体积 3. 例求棱长为的正四面体的体积。2D 1 C 1 B A11 补 D C A B 分析:将正四面体通过补形使其成为正方体，然后将正方体的体积减去四个易求体积的 小三棱锥的体积。 1VV解:如图，将正四面体补形成一个正方体，则正方体的棱长为，则:,正四面体正方体 1114V1 ,,,。三棱锥4，，，1,323 考点四求不规则几何体的体积 1,,,4. abcS例证明四面体的体积，其中，，为自同一顶点出发VabcCsinsinsin SASBSCαβSBSCASCC的三条棱、、的长，，为点处的两个面角?、?，为这两个面所6 夹二面角的大小。 证明:通过补形，可将此三棱锥补成一个三棱柱，如图。则该三棱柱的体积可以利用“直 AAHDADHC 截面面积×侧棱长”来进行求解，若设过点的直截面为，则由题意知:?,;ADSCADSAsinasin 又?，故,×β,?β; BBESCEBEHDBCsinbsin.若过作?于，则,,×α,?α所以，1,,, SabCsinsinsin,ADH2 从而有 。 考点五球的表面积和体积 5. 949400例在球心的同侧有相距为的两个平行截面，它们的面积分别为π和π，求球 的表面积和体积。 分析:画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径 ROOO 解:设球的半径为，为球心，、分别是截面圆的圆心，如图。12 OA7OB20OAOBROOBOOA则,，,，,,，从而分别解三角形和三角形得到1221 OOOOOOOO9R25 和，由,,解得,，从而1212 62500, 25003 。球的表面积为π，球的体积为 考点六求点到平面的距离——等积法的应用 6. ABCDA’B’C’D’aBAB’C 例在正方体,中，已知棱长为，求到平面的距离。 2BAB’ChAB’B’CCAa 解:设到面的距离为，因为,,,， 33 222Saa 所以,(),，42ΔAB’C 13111 223ahV V aaa 因此??,,,??,，32326,′′,BABCBABC 33 haBABCa 故,，即到面′的距离为。33 附:拟柱体通用体积公式 .拟柱体:所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体它在这两个平面内的面 . 叫做拟柱体的底面其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的距离叫做拟柱体的高。 32 S0,S1,S,h,,,,12042 1122Vh(S4SS)(31),，，,，，,102A ，选。6623 3EF,2 2. ABCDEFABCD3EF//AB例如图所示，在多面体中，已知是边长为的正方形，，， EFAC2 与面的距离为，则该多面体的体积为() 915 A. B. 5 C. 6 D. 22 27 S,0,S,9,S,,h,21208 115Vh(S4SS),，，,102D ，选。62 【模拟题】 一、选择题 1. 2008MNOOPNP=MN=OMN(四川)设，是球心的半径上的两点，且，分别过，MOOP ，作垂直于的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为:()A. 356B. 368 C. 579 D. 589 :: :::::: 2. 2008(山东)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 () A. 9 B. 10 π π C. 11 D. 12 ππ ,3. 20081(湖北)用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为 () ,32,882,A. B. C. D. 82,333 4.2008ABCDABCD8AB2AD(湖南)长方体,，的个顶点在同一球面上，且,，,11113AA1AB ,，则顶点、间的球面距离是()1 2,2,A. 2 B. C. D. 2,2,24 *5. 2008V4(重庆)如图，体积为的大球内有个小球，每个小球的球面过大球球心且 44.V与大球球面有且只有一个交点，个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的个顶点1 V为小球相交部分(图中阴影部分)的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，2 则下列关系中正确的是() VVA. V B. V ,,1222 C. V> V D. V< V1212 6. 2008(海南改)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面。已知该六棱柱的 93 顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，那么这个球的体积为8 () 4215A. B. C. D. ,,,,3333 7. 2008 (天津改)若一个球的体积为，则它的表面积为()43, ,,A. B. C. 12 D. 24 43,83, 二、填空题: 38.2008(四川)已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，63 ________________ 则该正四棱柱的体积等于。 9. 2008OABCDDABCABCAB(浙江)如图，已知球的面上四点、、、，平面，，,,DAABBCO___________ ,,,，则球的体积等于。3 三、解答题 *10.2008 (广东卷) 如图所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中ABCDPABCD,RBD ,,是圆的直径，，，垂直底面，，ABCDEF，PD，,ABD60，,BDC45PDR,22 PEDF ,分别是上的点，且，过点作的平行线交于(PBCD，BCPCGEEBFC 1 ()求与平面所成角的正弦值;,BDABP 2 ()证明:是直角三角形;?EFG PE13 ,()当时，求的面积。?EFGEB2 11.2008 (辽宁卷) ,,,,1BQb0答案

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