10 北方速记 第十章 声符与韵符弯冤温晕的拼音.ppt

10 北方速记 第十章 声符与韵符弯冤温晕的拼音.ppt 完全平方数难题(二) 问题5:象111…1 ，由 n个1连写得到的数，这些数都是奇数。说明当n,1时没有平方数 2n,1时，1,1; 2222偶数的平方,(2n),4n,4的倍数;奇数的平方,(2n，1),4n，4n，1,4n(n，1)，1,8的倍数加1(当然也是4的倍数，1)。 n,1时，n个1,(n,2)个1×100，11,4的倍数，8，3,4的倍数，3?4的倍数，1(也不等于8的倍数，1)， ?n个1(n,1)组成的数里没有平方数。 22……22,2×11……11?平方数，(n个2); 33……33,3×11……11?平方数，(n个3); 44……44,4×11……11?平方数，(n个4，n,1); 55……55,5×11……11?平方数，(n个5); 66……66,6×11……11?平方数，(n个6); 77……77,7×11……11?平方数，(n个7); 88……88,8×11……11?平方数，(n个8); 99……99,9×11……11?平方数，(n个9，n,1)。 当然，在这些数后面加若干个0也构不成平方数。 这个问题在许多初中及初中以上奥数书都有引用，所采用方法各种各样，难易不等。序列1，11，111，1111，……中有无数个合数，那么此序列中的质数情况比较难办， 现在只知道5个是质数:第一个质数11; 19个1连写，23个1连写这两个质数在1920年代才被找到; 317个1连写是质数由美国数论专家威廉斯(Williams)在1978年证实; 1986年Williams和Dubner找到了这里面的第五个质数:1031个1连写。 这个序列中是否有无数个质数，现在还是未知，可以肯定的是合数个1连写一定是合数，只有质数个1连写时才有可能是质数。 1999年9月Dubner发现49081个1连写可能是质数，但目前还判断不出。 2000年10月Baxter发现86453个1连写可能是质数，但目前还判断不出。 问题6:质数p不是2，也不是5，那么序列1，11，111，1111，……中有无数个数是p的倍数。 解答:(p，2),(p，5),1,(p，10)。 ,ppp1由费马小定理10,10是p的倍数，其中10,10,10×(10,1),10×(100……00,1)(这里有p,1个0) 2,10×99……99(这里有p,1个9),10×3×11……11(这里有p,1个1)。 若p,3，显然序列中的111，111111，……，3k个1，……，有无数个都是p,3的倍数; p2若p?3，则由上10,10是p的倍数，即10×3×11……11(这里有p,1个1)是p的倍数， 即11……11(这里有p,1个1)是质数p的倍数，也有无数个。 从一方面也说明了这个序列中有无数个合数。 2004美国数学邀请赛AIME-2第14题(倒数第2题): 问题7:n个7组成的数:77……77，在某些7与7之间插入若干个加号(也可以不插入，不插入加号就表示一个多位数)得到一个算式，使其结果是7000。问有多少个这样的n, 1992第21届美国数学奥林匹克USAMO第1题: 问题8:求乘积9×99×9999×99999999×……的数字和。 n这里是1个9，2个9，4个9，8个9，16个9，……，2个9。 问题9:说明:(2n个1连写)，(n个4连写)，1,平方数 平方数的末两位如果相同，那只能是00、44。 从上面的“奇数平方是8的倍数加1、偶数的平方是4的倍数”可以看出: 一个数的末两位如果是11、22、33、55、66、77、88、99，那它就不是平方数: A×100，11,A×100，8，3?4的倍数加1型，不是平方数。 B×100，22个位数字是2，不是平方数。 C×100，33个位数字是3，不是平方数。 D×100，55,D×100，52，3?4的倍数加1型，不是平方数。 E×100，66,E×100，64，2?4的倍数型，不是平方数。 F×100，77个位数字是7，不是平方数。 G×100，88个位数字是8，不是平方数。 H×100，99,H×100，96，3?4的倍数加1型，不是平方数。 下面再说明平方数的末位不能有3个以上的4。 如果一个平方数的末位有4个4: a×10000，4400，44,a×10000，4400，32，12,16的倍数，12， 但是偶数的平方只能是16之倍或16之倍加4型，所以平方数的末尾不能有4个连 222写的4。所以可有2个4或3个4:12,144，38,1444。比较特殊的是88,7744。 问题10:1，2，3，……，n的结果中有几个平方数, :无穷多个，最小的“非平凡”解是n=8。根据求和公式，我们要求n(n+1)/2是 2222一个平方数，由于n和n+1互素，所以就有n=x，n+1=2y;或者n=2y，n+1=x。 22相减得x-2y=?1。这类方程被称作是Pell方程在潘承洞、潘承彪的《初等数论》第七 章有专门的讲解。柯召、孙琦的《谈谈不定方程》第二章也有专题解说。 我们引用《谈谈不定方程》关于Pell方程的定理:设D是一个正整数且不是一个平 22方数，则x-Dy=1有无限多组整数解，设x，y是使得x最小的一组正整数解，则原00 n方程的所有解都可以用x+y?D=?(x+y?D)表示，其中n是任意正整数。 00 22上面的最小正整数解也被称作是Pell方程基本解。x-2y=1的基本解为(3,2)由它可 以构造出无限多个解，所以满足要求的n也是无限多个的。 问题11第3个问题的缘起:第一次遇到这个题的时候，是原来辅导学生参加华罗问题11第3个问题的缘起:第一次遇到这个题的时候，是原来辅导学生参加华罗 庚金杯赛:?1×2×3×……×n，3是一个数的平方，求n; 庚金杯赛:?1×2×3×……×n，3是一个数的平方，求n; ?1×2×3×……×n，4是两个自然数的乘积，求n。 ?1×2×3×……×n，4是两个自然数的乘积，求n。 拿到这两个题目，吓了我一跳，这从哪里入手,主要是这是对小孩辅导啊～后来又拿到这两个题目，吓了我一跳，这从哪里入手,主要是这是对小孩辅导啊～后来又想了想，既然是对小孩的内容，不应该多高深，从尾数出发，若n?5，则n～的个位为想了想，既然是对小孩的内容，不应该多高深，从尾数出发，若n?5，则n～的个位为0，加3后，个位为3，没有一个自然数的平方个位是3，所以n?4，当n,4时，4～0，加3后，个位为3，没有一个自然数的平方个位是3，所以n?4，当n,4时，4～，3,27(不行); ，3,27(不行); 当n,3时，3～，3,9，(可以);当n,2时，2～，3,5(不行);当n,1时，当n,3时，3～，3,9，(可以);当n,2时，2～，3,5(不行);当n,1时，1～，3,4(可以)。 1～，3,4(可以)。 两个连续自然数的乘积个位是0，2，6，减4后分别是6，8，2，这样n?5时，n～两个连续自然数的乘积个位是0，2，6，减4后分别是6，8，2，这样n?5时，n～个位为0，又不行，所以n,4时，4～，4,28?相邻自然数之积;n,3时，3～，4,个位为0，又不行，所以n,4时，4～，4,28?相邻自然数之积;n,3时，3～，4,10?相邻自然数之积;n,2时，2～，4,6,2×3(可以)，n,1时，也不行。 10?相邻自然数之积;n,2时，2～，4,6,2×3(可以)，n,1时，也不行。 对阶乘和找平方数，也是这样，3～，4～，5～，6～，……，n～的个位也是0，而(1～对阶乘和找平方数，也是这样，3～，4～，5～，6～，……，n～的个位也是0，而(1～，2～,3)，所以n?4时，阶乘和个位都是3，没有哪个自然数的平方个位为3，所以n,3，2～,3)，所以n?4时，阶乘和个位都是3，没有哪个自然数的平方个位为3，所以n,3时，1～，2～，3～,9是平方数，n,2时1～，2～,3不是平方数，n,1时1～,1是平时，1～，2～，3～,9是平方数，n,2时1～，2～,3不是平方数，n,1时1～,1是平方数。 方数。 问题12、平方和问题，是个难题。人们已经知道了n,1时(平凡解); 22222n,24时，1，2，3，4，……，24,24×(24，1)×(2×24，1)/6,4×25×4 29,70(非平凡解)