圆的切线方程的推广 

圆的切线方程的推广  圆的切线方程的推广 甘肃 李晓刚 数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学～其研究的对象是数与 形。通常数中隐含着形的关系～形中又展示着数的信息。引导学生多方位地观察 问题～通过联想促成数与形的相互转化～揭示出被掩盖着的数形关系～可以帮助 学生理解问题的本质～达到培养学生思维灵活性的目的。在圆的相关知识中～如相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理均由圆内的点运动到圆外～统一成圆幂定理(上述变化过程用几何画板或玲珑画板均可进行动态演示)。在学完圆上过已知点求圆的切线方程后～突发奇想～若改点运动到圆内或运动到圆外～此时所求直线方程又表示什么意义～经过用几何画板的尝试、验证发现点在圆内或圆外直线方程形式不变～但三个位置的几何意义不同～本文就用向量的投影进行统一证明～并在习题中加以应用。 问题1,上海教育出版社高级中学课本高中二年级第二学期,试用本,P38 222已知M(x,y)为圆C:x +y =r上一点,求过点M的圆C 的切线方程,图1,。 00 CPCM证明:直线L上的任意一点P(x,y),根据向量数量积的定义,在上的投影 CP,CM222222xx，yy,x，y,而x，y,r，故xx，yy,r为CM,即,,CM,00000000CM 2222～把其中的一记忆方式:C:x+y=r方程可写成xx，yy,r 个x,y分别换成和即可。 xy00 2推广:若M(x,y)变为M(cosa,sina),则x,cos,，y,sin,,r00 表示定点到直线距离等于定长的直线系～即圆C的切线系如图,2,. 222 ,将圆方程一般化,把题设中圆C 的方程改为，，，，x,a，y,b,r, 求过点M的圆的切线方程. 2，，，，，，，， 同理可得x,ax,a，y,by,b,r 00 222x，y,r，，Mxy,引申1,已知 为圆C :外一点～设过点0,0 M做圆C 的两条切线MA 、MB～其中A、B为切点～则直线AB 的 2方程,亦称切点弦所在的直线方程,为 xx，yy,r,图3, 00 证明:设直线L上的任意一点P (x, y )～根据向量数量积的 CP,CMCPCM定义～在上的投影为CD,即,在Rt?CAM,CD CM 2CA2CA,CD,CM中～由射影定理得,即,从而有,CDCM 22,即xx，yy,r CP,CM,CA00 222 ,将圆方程一般化,把题设中的圆C 的方程改为～过，，，，x,a，y,b,r圆外点M做圆的两条切线～两切点连线的直线方程为 2 ，，，，，，，，x,ax,a，y,by,b,r00 222,引申2,若，，为圆C:x +y =r 内的点～直线Mxy0,0 2与圆C的位置关系如何,图4,, xx，yy,r00 探究:首先由圆心C到直线l的距离大于r ～所以直线l与圆C相离～ 222过 M 作CM的垂线交圆C : 于B点～过 B 作圆C的切线交CM的延x，y,r 长线于A点～过A做CM的垂线～该垂线即为直线l。 令直线L上的任意一点P (x, CP,CMy )～根据向量数量积的定义～ CP在CM上的投影为CA,即在Rt,CA, CM 2CB2二者联立得?CBA中～根据射影定理有CB,CM,CA,即CA,，CM 22CP,CM,CB，故xx，yy,r 00 222例:已知P,a,b,(ab?0)是圆C:x +y =r 内的点～直线m是以P为中点的弦 2r所在的直线～直线l的方程为ax+by=,那么 , , l,且l与圆相交 B.m?l,且l与圆相切 A.m? C.m?l,且l与圆相离 D.m?l,且l与圆相离 b222222a，b,rk常规解法:由点P,a,b,(ab?0)在圆C:x +y =r 内～可知～又～,opa 2ra且OP?m,?～?m?l～而圆心O到直线l的距离d=>r,故k,,,km122ba，bl与圆相离～选C。 另解:由问,引申2,结论即可求解。 222 ,将圆方程一般化,把题设中的圆C 的方程改为，，，，x,a，y,b,r ～过圆C内点M做CM的垂线～与圆交于两点～过这两点做圆的两条切线～过两条切线 2，，，，，，，，交点和CM垂直的直线方程为x,ax,a，y,by,b,r 00 上述可归纳为点在圆外～线在圆内,图,5,,,点在圆上～线在圆上,图 ,6,,, 点在圆内～ 线在圆外 ,图,7,, 在数学学习中～揭示研究对象的性质和关系并进行拓展～对知识会形成一个 体系～同时可提高提高数学思维能力的训练。