奥赛经典

奥赛经典——初中数学竞赛中的数论问 第一章  整数的封闭性运算 【典型例题与基本方法】 例1  (1995年全国联赛题)方程组 的正整数解的组数是（  ）. A.1                  B.2                  C.3                  D.4            例2  (2007年天津市竞赛题)八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（  ）人. A.12                  B.13                  C.14                  D.15 例3 (2002年“我爱数学”初中生夏令营竞赛题)如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数.所有四合数的总和等于        . 【解题思维策略分析】 1.注意整数乘积或幂中的特殊因数 例5  (2008年青少年数学国际城市邀请赛题)已知n为正整数，使得 (k是正整数).求所有可能的n值的总和. 2.注意整数运算的封闭性 例6  (2007年“新知杯”上海市竞赛题)求满足下列条件的正整数n的所有可能值：对这样的n，能找到实数a，b，使得函数 对任意整数x， 都是整数. 3.注意在分数不等式中取整数的条件 例7  已知n，k均为正整数，且满足不等式 .若对于某一给定的正整数n，只有唯一的一个正整数k使不等式成立.求所有符合要求的正整数n中的最大值和最小值. 【模拟实战】 A组 1.若满足不等式 的整数k只有一个，则正整数n的最大值为（  ）. A.100                B.112                  C.120                  D.150 2.若 是整数，则所有满足条件的正整数m的和为（  ）. A.401                B.800                  C.601                  D.1203 3.若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均整数，则符合这样条件的直角三角形共有（  ）个. A.1                  B.6                    C.4                    D.无数多 4.2009是一个具有如下性质的年号：它的各位数码之和为11.那么，自古至今，这种四位数的年号共出现过______次. 5.(2005年全国联赛题)不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为_____. B组 1.(2008年四川省竞赛题)已知正整数a、b、c满足 ，且 .求所有符合条件的a、b、c. 2.(2009年南昌市竞赛题)已知n是大于1的整数.求证： 可以写成两个正整数的平方差. 3.(第4届中国趣味数学决赛题)有20堆石子，每堆都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作.经过不足20次操作后，某一堆中有1990粒石子，另一堆石子数在2080到2100之间，这一堆石子有______粒. 4.(1995年全国联赛(民族卷)题)已知正整数a、b、c满足下列条件： ， ，且 ，求a，b，c. 5.(2006年全国联赛题)2006个都不等于119的正整数 排成一行，其中任意连续若干项之和都不等于119，求 的最小值. 6.(第13届日本奥数决赛题)平太给大介出了一道计算题（A，B各代两位数中各位上的数字,相同的字母代表相同的数字）： . 大介：“得数是2872.” 平太：“不对”. 大介：“个位的数字对吗?” 平太：“对”. 大介：“其它位的数字有对的吗?” 平在：“这是保密的.但你调换一下四位数2872中4个数字的位置,就能得出正确.” 请求出正确答案. 第2章 正整数的多项式表示及应用 【典型例题与基本方法】 例1  将 化为下列进位制的数： 二进位制的数； 八进位制的数. 例2  试证：形如 的六位数总含有7，11，13的因数. 例3  一个三位数 （其中x，y，z互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数. 例4  设两个三位数 ， 的乘积为一个五位数 （其中x，y，z互不相等），求x，y，z. 【解题思维策略分析】 1.善于运用正整数的十进位制的多项式表示解题 例5  若一个首位数字是1的六位数 乘以3所得的积是一个末位数字为1的六位数 ，求原来的六位数. 例6 有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数（ 与 互为反序数，其中 ， ）之和为10879，求原数. 2.会利用非十进位制多项式表示解题 例7  设在三进位置中，数N的表示是20位数：22.求N在九进位制中表示最左边的一位数字. 例8 设1987可以在b进位制中写成三位数 ，且 ，试确定出所有可能的x，y，z和b. 【模拟实战】 A组 1.M表示一个两位数，N表示一个三位数，如果把M放在N的左边，组成一个五位数，那么这个五位数是（  ）. A. M+N               B. MN              C. 10000M+N             D. 1000M+N 2.一个两位数，它是本身数字和的k倍，将个位数字与十位数字交换位置后，组成一个新数，则新数为其数字和的（  ）. A. 倍            B. 倍            C. 倍              D. 倍 3.在大于10、小于100的正整数中，数字变换位置后所得的数比原数增加9的数的个数为_____. 4.一个两位数，它的各位数字和的3倍与这个数加起来所得的和恰好是原数的两个数字交换了位置所得的两位数，这样的两位数有____个. 5.已知 为两位数，且满足 ，求这个两位数. 6.求一个最小的正整数n，它的个位数字为6，将6移到首位，所得的新数是原数的4倍. B组 1.已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于2010，试求这个四位数. 2.有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者想好一个三位数 ，然后，魔术师再要求他记下五个数 、 、 、 、 ，并把这五个数加起来求出和N，只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数 是什么.如果 ，请你确定 . 3.两位数 （个位数字与十位数字不同）的平方等于三位数 ；而这两位数 的平方恰好等于三位数 ，求上述两位属于三位数. 4.(2008年全国联赛(江西卷)题)一本书共有61页，顺次编号1，2，...，61.某人在将这个数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（形如 的两位数被当成了两位数 ），结果得到的总和是2008.那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是多少？ 5.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)把 化为十进制小数. 6.(1998年长春市竞赛题)证明： 能被7整除. 7.(江西省第4届“八一杯”竞赛题)求证： 能被5整除. 8.(第5届沈阳市竞赛题)若m，n是两个自然数，且 ，那么 不能被 整除，试说明理由. 9.(江西省第2届探索与应用能力竞赛题)将十进制数2002化成二进制数. 10.(1997年广州市竞赛题)化 为二进制小数. 11.有一个写成7进制的三位数，如果把各位数码按相反顺序写出，并把它看成是九进制的三位数，且这两数相等，求这个数. 12.在哪种进位制中，16324是125的平方？ 13.N是整数，它的b进制表示是777.求最小的正整数b，使得N是十进制整数的4次方. 14.在哪种进制中， ？ 15.(2007年“卡西欧杯”武汉市竞赛题)军训基地购买苹果慰问学员.已知苹果总数用八进位制表示为 ，七进位制表示为 .那么，苹果的总数用十进位制表示为_____. 16.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)化 为二进制数. 17.(1995年“祖冲之”邀请赛决赛题)求证：对于任意进位制的数，10201都是合数. 18.(第2届华杯赛决赛题)下面是两个1989位整数相乘： . 问：乘积的数字和是多少？ 19.(第10届《中小学生数学报》邀请赛题)计算： ； ； .