对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用

对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用 对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应 用 第9卷第5期 2007年10月 遵义师范学院 JournalofZunyiNormalCollege Vo1.9,No.5 Oct.2007 对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用 程希旺 (淮阴师范学院数学系,江苏淮安223300) 摘要:引进了函数关于点,直线与平面的奇偶性的概念,对文…,[4】中所给出的关 于利用积分弧段与积分曲面的对 称性及被积函数的奇偶性计算曲线积分与曲面积分的结果作了进一步推广,得到 了一些更为一般性的结果. 关键词:曲线积分;曲面积分;对称性;奇函数;偶函数 中图分类号:0172文献标识码:A文章编号:10093583(2007)-05—0072—04 ApplicationoftheSymmetryintheCalculationofCurvilinearIntegral andSurfaceIntegral CHENGX—wan~" (DepartmentofMathematics,HuaiyinTeachersCoUege,HuMan,jiangsu223300) Abstract:Theconceptsofthefunction'sparityonapoint,astraightlineoraplaneareputforwar d.Theformulasofthe curvilinearintegralandsurfaceintegralcalculationbyusingthesymmetryofintegralcurvilin ear,integralSul~aceandthe parityofintegranalinreferences【1卜 [4]aregeneralized,andsomefurthercommonresultsareobtained. Keywords:curvilinearintegral;surfaceintegral;symmetry;oddfunction;evenfunction 文[1卜[4]将对称区间上奇(偶)函数的定积分计 算公式推广到曲线积分和曲面积分的计算上,得到 了利用积分弧段与积分曲面的对称性和被积函数的 奇偶性计算曲线积分与曲面积分的方法,使得一些 曲线积分与曲面积分的计算得到简化,但文[1卜[4] 的结论只适用于积分弧段与积分曲面关于坐标轴或 坐标面对称的情形.本文将文[1卜[4]的结果进一步推 广,得到一些更为一般性的结果,将这些结果应用于 某些曲线积分与曲面积分的计算将十分方便. 1预备知识 定义1设,',)为定义在平面点集D上的二 元函数,D关于直线Z对称.若V(?D,有), =- T-f(x,y),其中,),为点,于直线z的对称点,则 f(x,,,)称为关于直线z的奇偶)函数. 定义2设,,,J为定义在平面点集D上的二元 函数,D关于点6)对称.若V(,',)?D,:~if(2a-x,2b— y)=-T-f(x,y),则称,为关于点6j的奇偶函数. 可类似给出三元函数.,y,)关于空间点,直线 或平面的奇偶性的定义. 2主要结果 定理1设,在光滑或分段光滑的平面曲线 上可积,关于直线z对称.若,yj关于直线z为奇 函数,则J,f(x,y)ds=O;若关于直线z为偶函数, ,, 则J,f(x,y)ds=2J,f(x,y)ds,其中L为在直线z一侧 的部分. 证明记在直线Z另一侧的部分为L:,L=Lu 将己关于对称轴Z进行对称性划分,得个小弧 段: ?^?a…,??,…,?2,?』, 其中?^?a…,?CL』,AL,…,?2,?.『, CL:,?厶与?厶关于直线Z对称=J,2,…,分别用 ?s,?s表示小弧段?厶,?厶的弧长,则Asi=As = J,2,…,令A为上述小弧段长度的最大值,取停, ??厶,停,??厶为,关于直线Z的对称 收稿日期:2007—06—12 作者简介:程希旺,男,江苏淮阴人,淮阴师范学院讲师,硕士,主要从事基础数学研 究. 72 程希旺?对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用 点,则 I,,:lim?【聪,SinO/',Si聪,JAsi']J,i 【聪,聪,J] , = lira[昭,叼,叼J]?s 当瓶于直线z为奇函数时聪,rli'J=稻,,有 J,f(x,y)ds=0;Nf(x,关于直线z为偶函数时, ,, 有Jj(x,y)ds=2,?si=2』 . 推论1iJ~.f(x,在光滑或分段光滑的平面曲线 L上可积,L关于直线y=x对称7~f(x,),):娟,,则I, f(x,y)ds=O;7,~f(x,y)ly,x),\lx,y)ds=2\LI, 其中为在直线),一侧的部分. 推论2谩,),)在光滑或分段光滑的平面曲线 上可积,关于直线x=a对称.若f(2ay)=-f(x,, 则J,,y)ds=O;7,~f(2a-x,舭),),则J,y)ds=2I,LLL, /,y,其中为在直线x=a一侧的部分. 推论3i~f(x,在光滑或分段光滑的平面曲线 上可积,关于直线y=b对称.若纸26-y)=-f(x,y), 则Jf(x,y)ds=0;~f(x,2b-y)=f(x,),),则J,y)ds=2 },f(x,y)ds,其中L为L在直线y=b一侧的部分. 与定理l类似,可以证得: 定理2设,),)在光滑或分段光滑的平面曲线 上可积,关于点6J对称.若舷,)关于点6)为奇函 数,即f(2a-x,2b-y)=娟,),),则f,/,y)ds=0;~f(x,关 于点6J为偶函数,~Uf(ea—,2b专舷,),),则J,/, ds=2I,,,其中L=Lu.,L为L关于点6J对 称的一半. 推论l设瓶上可积,其中为连接点6J 与点fc,的线段.若+c—6+d—,,则J,, :D;若+c,b+d-y)=f(x,y),则』=2』讹 ,其中为的一半. 推论2设在连接点(0,O)与点(1,1)的线段 E连续.则有 (1)},郧in,siny)ds=l,0cosy)ds,其中L为 ig#~A(o,o)与点(,ff,)的线段; (2)I,inx,cosy)&=f,0siny)ds,其中L为 ig~A(o,o)与点(,qI")的线段; (3)J,(x+y)f(sinx,siny)ds='rrj,inx,siny)ds,其中 L为连接点(O,O)与点(1T,1T)的线段. 证明:令g(x,y)=(x+y)f(sinx,siny)-'rrf(sinx,siny),容 易验证g(1T—x,1T-y)=一g(X,y).于是由定理2的推论1, 有I,,=I,【(x+y)f(sinx,siny)一"rrf(sinx,siny)]ds=O 从而(3)得证.同理可得(1)与(2). 对于定义在空间曲线,空间曲面上的三元函数 的第一类曲线积分和第一类曲面积分也有类似结 果,限于篇幅,不一一罗列.需要指出的是,定理2的 推论2的(3)应相应改为 J(x+y+z)f(sinx,siny,=孚JJ(sinx,siny,s 4+yss,)(=孚《郧, 其中L为连接点(o,0,o)与点(,,孚)的线段,?为二二二 关于连接点(o,0,o)与点,1T,1T)的线段的中点(,,二厶 要)对称的曲面. 对于第二类曲线积分和第二类曲面积分,定理 1及其推论1的结论不成立.原因是关于直线对称的 有向小弧段在坐标轴上的投影(关于平面对称的有 向小曲面块在坐标面上的投影)的绝对值不一定相 等.但仍有下述结论成立,这些结论的证明与定理1 的证明相仿,只要注意到定理3中?一?艇,定理 4中Ayi=-Ay,定理5中?托=Ax,Ay-Ayi即可, 详细证明从略. 定理3设尸在光滑或分段光滑的有向平 面曲线上可积,关于直线y=b对称.若尸y)关于 直线),=6为偶函数,即尸,2b-y)=P(x,),),则f,尸, dx=0;若尸y关于直线y=b为奇函数,~P(x,2b—一 P,,则f,尸协,y)dx=2J,尸,其中L为L在直』 线y=b一侧的部分. 定理4设Q,y光滑或分段光滑的有向平面 73 第9卷第5期遵义师范学院2007年10月 曲线上可积,关于直线=0对称.若QyJ关于直 线=0为偶函数,即Q(ea-x,Q,yj,则},Q,y)dy= D;若Q,yJ关于直线=0为奇函数,即Q(2a-x,y)=-Q yJ,则』Q,y)dy=2J,y)dyyi~L为L在直线 =0一侧的部分. 定理5设尸,yJ在光滑或分段光滑的有向平面 曲线上可积,关于点6(寸称.若尸,yj关于点 6为奇函数,即尸f20,26—=一尸,yJ,则』,尸,= D;若P,于点6沩偶函数,即尸f20,2b—yJ=尸 yJ,则J,y)dx=2J,y)dx,其中L=LuL与L 关于点6(寸称. 推论1设,yJ在L上可积,其中L为由点(a, b)指向点c,d)的线段.若a+c—x,b+d-y)=-f(x,y),则}, 尸,y)dx=0;若f(a+c—x,b+d—y)=f(x,y),则J,尸,y)dx=2 {,,y)dx,其中L为L一半. 推论2设尸,yJ在连接点(0,0)与点(1,1)的线段 上连续则有 (1)』LP(sinx,siny)dx=jLP(cosx,cosy)dx,其中L 为由点(0,0)指向点(孚,孚)的线段; (2)jP(sinx,cos=』P(cosx,siny)ds,其中L 为由点(0,0)指向点(,孚)的线段; (3)J(x+y)P(sinx,siny)dx一一Jinx,5iny)dx,其 中L为由点(0,0)指向点(叮『,1T)的线段. 定理5及其推论1,2的结论对于}Q,y)dy的 情形同样成立.上述关于二元函数第二类曲线积分 的结论都可推广到定义在空间曲线,空间曲面上的 三元函数的第二类曲线积分和第二类曲面积分的情 形,只要将定理5的推论2的(3)相应改为 (x+y+z)P(sinx,siny,s泥=手P(sin~,ss泥 0+yJ.inx,siny,sinz)dydz 74 =堕 2 』嘞出 其中为由点fD'D,DJ指向点,丁71",2的线段,?为 关于连接点(D,D,D)与点的线段的中点r手, 手,手尉称的有向曲面? 3应用举例 例1设,yJ函数在曲线L上连续,其中L关于 直线x=a对称,弧长为s.计算 一=』而. 解:令g(x'y)=一1,(x,y)?L,则 g2a-x,y)=.f(2a , - x 而,y)一1=1/ , f( , xf2,r)一 1 一g(x,y),即g(x,y)关于直线x=a为奇函数.由定理1 的推论2知 』g(x'y)一一争】ds=0. 于=f(x_f2,y 一 ) , ds=』一 争】ds+』争=争. 例2计算I=Jc.sT/"(x+y+z)dx,其中L为由 A(o,0,0)指向点(1,1,1)的线段. 解:令P(x,y,z)=cos2~-(x+y+z)一1,则容易验证P (1-x,1一y,1一z)=一P(x,y,z).于是J尸,y,=Jtcos2 (x+y+z)一争】dx=0,从而I=』c.s2(x+y+z)d】(=Jc.s2 (x+y+z)一争+』2/---d~=I. 例3计算』(xz一zarctanx+y+z)ds,其中?= ((x,y,z)Iy=},TJ??2,0?z?1】. 解:显然?关于平面y=x对称.若令f(x,y,z)=(x一 f)zarctan(x+y+z),则f(y,x'z)=(y2一x~)zarctan(y+x+z)=一f fx.v.z1.即ffx'v'z1关于平面y=x为奇函数.于是 』(x2-y~zarctan(x+y+z)dS=0. 例4:计算I=(x+y+z)sinxsin$sinzd)(dy, 程希旺?对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用 其中?为平面z=手,o??D?y?1T的上侧.的投影? 解:I芋8两smxsra唧ysmzddy = 芋 = 芋【J.'【J.(1+cwos2y).dY】一丁LJ0姒JLJ0 = 孚.手号=孚.2228' 其中巩={y)IO??1T,O?y?1T)为?在xoy平面 参考文献: 【1】陈云新.对称性在积分中的应用【J].数学理论与应用,2000,20 (4):341-343. 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