利用导数判断函数的单调性教案[教材]

利用导数判断函数的单调性[教材] ?1.3 导数的应用 1.3.1 利用导数判断函数的单调性 【学习要求】 1(结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系( 2(能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式( 3(会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)( 【学法指导】 结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想. 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系: 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递_增__ f′(x)<0 单调递__减__ f′(x),0 常函数 探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系 问题1 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系, 答: (1)在区间(,?，，?)内，y′,1>0，y是增函数; (x) (2)在区间(,?，0)内，y′,2x<0，y是减函数; (x) 在区间(0，，?)内，y′,2x>0，y是增函数; (x)2(3)在区间(,?，，?)内，y′,3x?0，y是增函数; (x) 1(4)在区间(,?，0)，(0，，?)内，y′,,<0，y是减函数( 2(x)x 小结 一般地～函数的单调性与其导函数的正负有如下关系: 在某个区间(a～b)内～如果f′(x)>0～那么函数y,f(x)在这个区间内单调递增,如果f′(x)<0～那么函数y,f(x)在这个区间内单调递减( 问题2 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗, 答:由问题1中(3)知f′(x)?0恒成立( 问题3(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间,试写出问题1中(4)的单调区间( (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系, 答:(1)不能用“?”连接，只能用“，”或“和”字隔开(问题1中(4)的单调递减区间为(,?，0)，(0，，?)( (2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集( 例1 已知导函数f′(x)的下列信息:当10;当x>4或x<1时，f′(x)<0;当x,4或x,1时， f′(x),0.试画出函数f(x)图象的大致形状( 解: 当10～可知f(x)在此区间内单调递增, 当x>4或x<1时～f′(x)<0～可知f(x)在此区间内单调递减, 当x,4或x,1时～f′(x),0～这两点比较特殊～我们称它们为“临界点”( 综上～函数f(x)图象的大致形状如图所示( 小结 本题具有一定的开放性～图象不唯一～只要能抓住问题的本质～即在相应区间上 的单调性符合题意就可以了( 跟踪训练1 函数y,f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状( 解 f′(x)图象的大致形状如下图: 注:图象形状不唯一( 例2 求下列函数的单调区间: 32(1)f(x),x,4x，x,1; x2(2)f(x),2x(e,1),x; 2(3)f(x),3x,2ln x. 2解 (1)f′(x),3x,8x，1. 2令3x,8x，1>0～解此不等式～得 4,134，13x<或x>. 33 ,4,,4，13,,13因此～区间为f(x)的单调增区间( 和,?～～，?,,,,332令3x,8x，1<0～解此不等式～得 4,134，130, 当x?(,1,0)时～f′(x)<0, 当x?(0～，?)时～f′(x)>0. 故f(x)在(,?～,1)～(0～，?)上单调递增～ 在(,1,0)上单调递减( (3)函数的定义域为(0～，?)～ 23x,12f′(x),6x,,2?. xx23x,1令f′(x)>0～即2?>0～ x 33解得,. 33 3又?x>0～?x>. 323x,1令f′(x)<0～即2?<0～ x 33解得x<,或00～?00和f′(x)<0),(4)用f′(x),0 的根将f(x)的定义域分成若干区间～列表考查这若干个区间内f′(x)的符号～进而确定f(x)的单调区间( 2跟踪训练2 求下列函数的单调区间:(1)f(x),x,ln x; xe(2)f(x), ;x,2 (3)f(x),sin x(1，cos x)(0?x<2π) 解 (1)函数f(x)的定义域为(0～，?)( ，2x,1，，2x，1，1f′(x),2x,,. xx ～所以2x，1>0～ 因为x>0 2由f′(x)>0得x>～ 2 2,,所以函数f(x)的单调递增区间为, ～，?,,2 2由f′(x)<0得x<～ 2 又x?(0～，?)～ 2,,所以函数f(x)的单调递减区间为 .0～,,2 (2)函数f(x)的定义域为(,?～2)?(2～，?)( xxxe，x,2，,e，x,3，ef′(x),,. 22，x,2，，x,2， 因为x?(,?～2)?(2～，?)～ x2所以e>0～(x,2)>0. 由f′(x)>0得x>3～ 所以函数f(x)的单调递增区间为(3～，?), 由f′(x)<0得x<3～ 又定义域为(,?～2)?(2～，?)～ 所以函数f(x)的单调递减区间为(,?～2)和(2,3)( (3)f′(x),cos x(1，cos x)，sin x(,sin x) 2,2cosx，cos x,1,(2cos x,1)(cos x，1)( 因为0?x<2π～所以cos x，1?0～ π5π由f′(x)>0得00～ ?函数在(0,6)上单调递增( x 2. f′(x)是函数y,f(x)的导函数，若y,f′(x)的图象如图所示，则函数y,f(x)的图象可能是 ( ) 解析 由导函数的图象可知～当x<0时～f′(x)>0～即函数f(x)为增函数, 当02时～f′(x)>0～即函数f(x)为增函数( 观察选项易知D正确( 3(2)函数y,x,x的增区间为_______________________，减区间为______________( 33332(2)y′,3x,1～令y′>0～得x>或x<,, 令y′<0～得,0和f′(x)<0,(4)根据(3) 的结果确定函数f(x)的单调区间.