数学分析是师院数学专业的主修必修课程

数学分析是师院数学专业的主修必修课程 前 言 《数学分析》是师院数学专业的主修必修课程，它既是学生学习现代数学的重要基础课程，也是培养学生数学能力的主要数学课程，这门课程横跨第一、第二、第三个学期，占用312课时，位列各门课程之首，这门课程的教学质量，对于学生整体专业水平，占有举足轻重的地位。 为了搞好本课程的建设，深入开展教学改革，为考核和评估提供依据，不断提高教学质量，我们编写了这份材料，其中包括“《数学分析》对学生专业能力的培养目标”，“《数学分析》教学目标分类表”以及“《数学分析》教学目标细目”。 这份材料客观而充分地反映了本科院校数学专业《数学分析教学大纲》对学生知识和能力两方面的要求，详细列出本课程的及能力培养要求，这对于教师组织教学工作，编制试题，分析教学质量，都是一个重要的依据。 参加这份材料编写工作的有陈克军、钱明忠、张爱武、何新龙、韩诚、姜海波、李高林、李万斌等老师，采取分类编制，集体讨论定稿，并得到了数学科学学院领导的大力支持和其他课程组老师的协助。 《数学分析》对学生专业能力的培养目标 师院教学专业学生的专业能力，主要是应用数学知识分析和解决问题的能力，具体地说，就是逻辑思维能力，运算能力以及空间想象能力，为了实现学生从高中生到中学数学教师的转变，从专业上讲，不仅应向学生传授一定量的数学知识，而目更应加强学生专业能力的培养。 《数学分析》是师院数学专业的主干课程，横跨三个学期，占用三百多课时，居各门课程之首。该课程以它的系统性、简洁性、实践性而著称，它既是现代数学的重要基础，又和应用科学联系密切，包含了极其丰富，极其重要的数学知识，数 1 学方法和数学思想。因此，在该课程中明确对学生专业能力的培养目标，用以指导教学实践，无疑是十分必要的。 下面先就三个专业能力作一些说明，然后再结合大纲，教材，列出三个专业能力的能力点。 一、逻辑思维能力 整个数学体系，是严格地按照形式逻辑的规则建立起来的，高等数学是如此，初等数学也是如此，作为一个合格的中学数学教师，逻辑思维能力是最重要的专业能力，而这也是师院学生最弱的专业能力。 教学中应加强逻辑思维能力的训练，逐步向学生渗透形式逻辑的基本知识，迅速使学生养成合乎逻辑的思维习惯，切实让学生掌握数学中常用的逻辑推理方法，教导学生自觉地按照逻辑思维规律去汲取知识，发现知识。教学中要向学生讲清概念的来龙去脉，分析命题的条件，结论及其逻辑联系，给出严格的证明，并通过适当的证明题作业，使学生掌握数学归纳法等直接证明方法，以及反证法，同一法，归谬法等间接证明方法，让学生经常运用演绎、归纳、分析、综合、类比、假说等一系列逻辑思维方法，同时，也应逐步向学生介绍函数论中十分精彩的举反例方法，变量代换方法，辅助函数方法，提高学生分析和解决证明题的能力。 二、运算能力 运算能力对于一个合格的中学数学教师是十分重要的，它包括运算速度和准确性两个方法，教学中许多老师均感到不少学生运算能力较差，考试中在运算方面失分较多，必须加强对学生进行运算能力的训练，教学中应适当增加运算的复杂性和运算量，逐步向学生介绍提高运算速度以及保证运算正确性的各种技巧，巩固学生在中学学到的各种运算方法，加强学生的恒等变形能力。《数学分析》中包含了各种常用的运算方法及许多计算技巧。 三、空间想象能力 空间想象能力的培养也是不可忽视的。教学中应通过有关概念、命题的几何意义，几何应用，通过函数与图形的联系，通过空间实物，模型的演示，逐步增强学生的空间形体观念，不断提高学生的空间想象能力。 以下我们分别列出以上三种能力的能力点，以资教学中参考。 I 逻辑思维能力能力点 一、概念(定义) l、函数概念 2、极限概念 2 3、一致连续性概念 4、导数概念 5、定积分概念 6、级数的一致收敛性概念 二、判断(命题) 1、反函数存在性条件 2、数列极限的等价定义 3、数列的收敛性与有界性的关系 4、实数连续性的公理 5、数列收敛的柯西准则 6、海涅定理的逆命题 7、实数连续性的几个等价的关系 8、连续性与一致连续性的关系 9、连续性与可导性的关系 10、可导与可微的关系 11、三个微分中值定理之间的关系 12、单调性条件 13、连续性与可积性的关系 14、级数收敛必要条件的运用 15、级数的收敛与绝对收敛的关系 16、函数项级数的收敛性与一致收敛性的关系 17、多元函数可偏导与可微的关系 18、曲线积分与路径无关的条件 三、推理与证明 1、反函数存在性定理 2、极限理论 3、函数的连续性 4、微分中值定理 5、实数连续性基本理论 6、闭区间上连续函数的基本性质 7、函数的可积性理论 8、微积分学基本定理 3 9、函数项级数一致收敛理论 10、函数项级数和函数的分析性质 11、隐函数存在性定理 12、闭回路曲线积分理论 13、含参变量广义积分的一致收敛理论 14、一元理论向多元理论的类比推理 ? 运算能力能力点 1、函数值的计算 2、函数定义域的计算 3、求数列或函数的极限 4、求函数的导数或偏导数 5、求函数的极值或条件极值 6、求函数的不定积分，定积分，重积分或曲线、曲面积分 7、求函数级数的收敛域，和函数求函数的泰勒级数，傅里叶级数 求曲线的切线，法线及弧长 8、 9、求曲面的切平面，法线及面积 10、求立体的体积及侧面积 11、求物体运动的速度，加速度及质量 12、求变力作功 13、求液体压力 14、求物体的重心 ? 空间想象能力能力点 1、函数与图形的结合 2、导数与切线斜率 3、函数单调性，凹凸性的研究 4、定积分与曲边梯形的面积 5、偏导数与空间曲面的切平面 6、重积分与空间立体的体积 7、相贯体上三重积分的计算 8、柱面、球面坐标的直观演示 最后，我们申明两点: 1、《数学分析》中充满了辩证法，教学中应注意渗透辩证法的变化，发展以及 4 联系的观点，让学生学会辨证思维方法( 2、学生专业能力的培养，是一项长期而又艰巨的工作，光靠一门课程，一个教师的工作是不够的，需要全体任课教师通力协作，一丝不苟的努力( 《数学分析》教学目标分类表 类别 代号分类目标说明 这是本目标分类中的最低层次～应达到以下的要求: 识记,1,对所授知识以原有形式存入大脑～并能准确地再现, A ,2,能应用所记知识进行直接的判断～填空和计算( 在已达识记目标的基础上～应达到以下的要求 ,1,理解所授知识的含义～与已接受知识建立联系～使 之系统化, 理解 ,2,了解知识的来龙去脉～弄懂知识形成的思维方法和B 逻辑推演过程( 《数学分析》知识极其丰富～学生对知识系统和逻辑结构 的掌握～是至关重要的～这是教学工作的主要目标( 在已理解目标的基础上～应达到以下的要求:简单 ,1,能应用掌握的知识～熟练地解答一般难度的计算题应用C 和应用题, ,2,能应用掌握的知识～进行简单的、合乎逻辑的推理 5 论证( 《数学分析》知识的掌握程度～总是以解题的形式来检查 的～因此～在教学工作中～应保证学生有足够多的解题实 践( 这是本目标分类中的最高层次～应达到以下的要求: ,1,能应用所授知识～解答综合性较强的习题, 综合,2,能将所授知识应用于生产实际～解决实际问题, 应用 ,3,能应用所授知识去获取新知识～建立新知识( D 《数学分析》是一门比较成熟～应用性较强的学科～后继 课程很多～教学工作中～注意深、广度上引导学生有余力 的学生( 《数学分析》教学目标细目 章目 序节标名号等知识点 知识点细目 称级 第一章 函数 ?1.1 函数概念 R 设为实数集，如按照对应关系1函数概念ARA,,,,,,,xA, A ，与对应，则称对应关系是定义在数集Cxf，,1yRf AfAfxxA(){()},,上的函数，称为函数的定义域， 称为的值域，记成( ffAR:, AB,,,g2函数的四则运算 设，，，则，的fAR:,gBR:,f 和、差、积、商分别由以下各式定义: ()()(),fgfxgxxAB，,，,, B ()()(),fgfxgxxAB,,,,, ()()(),fgfxgxxAB,,,,, (/)()/(),fgfxgxxAB,,, 3函数的三种表示方解析法;(2)表格法;(3) 图像法 A 6 法 ?1.2 几种特殊的函数 设函数在数集上有定义，如果有4有界函数Af，,,,MxA0,, C (?)，则称在上有界; AfxM(),f (?)，则称在上有上界; AfxM(),f (?)，则称在A上有下界( fxM(),,f 在数集上有界当且仅当在上既有上界，又5三种有界性之间函数AABff 的关系 有下界( 6单调函数 设函数在数集A上有定义，如果,,,xxAxx,,,f1212 有 A(?)，则称在上单调增加; Cfxfx()(),f12 A(?)，则称在上单调增加; fxfx()(),f12 A(?)，则称在上严格增加; fxfx()(),f12 A(?)，则称在上严格减少( fxfx()(),f12 ,,xA,,xAAA 设为一个数集，，有，在数集上7奇、偶函数f ,,xA有定义，如果 ， A(?)，则称在数集上是奇函数;Bfxfx()(),,,f A(?), 则称在数集上是偶函数(fxfx()(),,f 有AL8周期函数 设为一个数集，为一非零常数， 若 ,,xA, A 设在数集上有定义，且有BxLA，,,f,,xA, AL，则称在上是周期函数，称为 fxLfx()()，,ff 的一个周期( ?1.3 复合函数与反函数 AB9复合函数的概念 设yx,,()的定义域为，zfy,()的定义域为，且 GxAxB,,,,,{()}, ，则对xGzR,，,,,满足C Gzfx,(()),，从而在上定义了一个函数，称之为函数 zfy,()yx,,()与的复合函数( yfxxA,,(),,,，,yfAxA(),10反函数的概念 设由函数，如果满足C 7 则在上定义了一个函数，称之为函数 fxy(),,fA() 的反函数，记成 yfxxA,,(), ,1,1( xfyyfA,,(),()或yfxxfA,,(),() 在上严格增加(减少)，则存11反函数的存在条件若函数Ayfx,()yfx,() B,1 在反函数，且在上也严格增加(减少)(fA()xfy,() 由常值函数与基本初等函数(幂函数，指数函数，对数函12初等函数的概念 A 数，三角函数，反三角函数)，经过有限次四则运算以及 有限次复合运算所得的函数统称为初等函数( 第二章 极限 ?2.1数列界限概念 ,,N定义 13若,,，,,,,,,0,N,,NnNaa当时，总有则称n D lim()aaaan,,,,或数列收敛于，记成({}aannn,,n N解出; 14用定义证明数列极(1) 直接由B, N 限式 (2) 利用不等式放大，又由找出( , ?2.2 收敛数列的基本性质 收敛，则它的极限唯一( C15收敛数列极限的唯若数列{}an 一性 {}a收敛，则{}a有界( C16收敛数列的有界性若数列nn lim,lim,,N,aabbabN,,,，,则(1)若 17收敛数列的保号性nn,,,,nn 当时恒有naN,,，,当时，(2)若 nn,,,,nn 有,则aaNabc时，当时，恒有nnn limlim,limaclbl,,,则(?)( nnn,,,,,,nnn 单调有界数列必收敛(取作公理)( C21单调有界法则 1n 22重要极限?C ，,elim(1),,nn 数列收敛 23柯西准则C{}a,,,，,,,0,N,,NmnN当时，n 恒有aa,,,(证明待后)( mn ?2.4 函数极限的概念 lim()fxA,在上有定义，:(1)设函数f[,)a，,,,X定义 24x,，, 恒有fxA(),,,; ,,，,,0,X>0,当x时，XC lim()fxA,(2)设函数在上有定义，:f(,],,a x,,, 恒有fxA(),,,; ,,，,,0,X>0,当x时，0,当x时，X恒有fxA(),,,( ,,,定义 25(1) 设在的一个去心邻域内有定义af lim()fxA,: xa, ,,，,,,,,0,>0,0当>时，xa恒有fxA(),,,; C (2) 设f在(,)aha,的一个去心邻域内有定义 lim()fxA,(0)h,，左极限: ,xa, 当时，a-0, 9 ; 恒有fxA(),,, (3) 设在的一个去心邻域内有定义f(,)aah， lim()fxA,，右极限: (0)h,，xa, 当时，a0, ( fxA(),,, lim()lim()lim()fxAfxAfxA,,,,, 极限与单侧极限的B26,，xa,xaxa,, 关系 用定义证明函数的27X或,(1) 由直接求出; fxA(),,,B 极限式 X或,(2) 利用不等式放大，再由求出( , ?2.4 函数极限的基本性质(以的情形为例) xa, 函数极限的唯一性28C在点存在极限，则极限唯一确定。 若函数afx() 局部有界性29若函数在点存在极限，则函数在点的某个aafx()fx()C 去心邻域内有界。 lim(),lim()fxAgxB,, 设 局部保号性30xaxa,, AB,(1)如果，则的某个去心邻域内恒有a C; fxgx()(), (2)如果在的某个去心邻域内恒有，则afxgx()(), AB,( 四则运算法则31设 fxAgxBxa(),()(),,, 则(?); fxgxAB()(),,, C (?)fxgxAB()(),,,; B,0(?)时，fxgxABxa()/()/(),,( xa,?2.4 函数极限存在的判别方法(以的情形为例) fxgxhx(),(),()满足 设 两边夹法则32C afxgxhx()()(),,(?)在的某个去心邻域内恒有; 10 lim()lim()fxhxA,,lim()gxA,(?)，则(xaxa,,xa, xsin 重要极限?33C lim,1x,0x limf(x),A的充分必要条件是对定义域中任函数极限与数列极限f(x)34x,a 的关系(Heine) C意数列，当时，有 {a}a,a(n,,),a,annn limf(a),A( n,,n 柯西收敛准则 35在点存在极限的充分必要条件是对任意af(x) ,,0存在，对定义域中任意当x,x,,,0,f(x)12C 0,x,a,,,i,1,2时，总有f(x),f(x),,(i12 ?2.7 无穷小与无穷大(以的情形为例) xa, 无穷小的概念36如果时，，则称是时的xa,xa,f(x),0f(x)B 无穷小( 时的无穷小的和、差、积都时的无无穷小的简单性质(1)xa,xa,37 穷小; B(2)若是时的无穷小，而在的某xa,af(x)g(x) 个去心邻域内有界，则是时的无穷xa,f(x),g(x) 小( 极限与无穷小的关系38A在点的极限为的充分必要条件是存在af(x) B xa,的无穷小，使( a(x)f(x),A，a(x) 39xa,设为时的无穷小 f(x),g(x) fx()Bxa,lim,0,(?)若则称时，f(x)是比g(x)x,agx() f(x),o(g(x))高阶的无穷小，记成( 11 fx()(?) 若则称时，与为lim,0,xa,f(x)g(x)x,agx() 同阶的无穷小，特别地，当时，称时，A,1xa,f(x) 与为等阶无穷小，记成?( g(x)f(x)g(x) n 无穷小的阶40若时，与为同阶无穷小，则称xa,f(x)(x,a)A 是关于的阶无穷小( nf(x)(x,a) 等价无穷小代换法41时，?，并且 若xa,f(x)g(x)B limf(x),h(x),Alimf(x),h(x),A，则( x,ax,a 无穷大的概念42设在点的某个去心邻域内有定义， af(x) lim()fx,，,(?): xa, 当时，00,, lim()fx,,,(?): Axa, 当时，00,, lim()fx,,(?): xa, 当时，00,, 无穷大与无穷小关系43在点的某个邻域内不为0，为xa,时设af(x)f(x) B 1 xa,的无穷大,为时的无穷小( fx() 第三章 函数的连续性 ?3.1 函数连续性的概念 函数在一点的连续性44af(x)设在点的某个邻域内有定义，如果 C概念 lim()()fxfa,af(x)，则称在点连续( xa, 12 在点的某个左邻域有定义，(?)设af(x)(,]aa,, 单侧连续性概念45 且，则称在点左连续; afafa(0)(),,f(x) C(?)设在点的某个右邻域有定义，af(x)[,)aa,, 且，则称在点右连续( afafa(0)()，,f(x) 在内每一点连续，则称在开(?)若f(x)(,)abf(x)函数在区间的连续性46 区间内连续; (,)ab 概念 (?)若在内连续，且在在点右连续，在af(x)(,)abAb点左连续，则称在上连续; f(x)[,]ab (?)类似地可定义函数在半开区间或无穷区间的连续性( (?)局部有界性(若在点连续，则在aaf(x)f(x)连续函数的局部性质47 点的某个邻域内有界; B(?)局部保号性(若在点连续，则当af(x)fa()0, 时，在点的某个邻域内与保持一符号(af(x)fa() 在点的某个去心邻域内有定义，若(?)设af(x) 间断点及其类型48 在点不连续，则称是的一个间断点(或aaf(x)f(x) 不连续点)( (?)设是的一个间断点，且，af(x)fa(0), 均存在，则称是的一个第一类间断afa(0)，f(x)C点(特别地，当时，称是的afafa(0)(0),,，f(x) 一个可去间断点( (?)设是的一个间断点，且，af(x)fa(0), 至少一个不存在，则称是的一个第二afa(0)，f(x) 类间断点( ?3.2 闭区间上连续函数的性质 若在闭区间上连续，则在上有f(x)[,]abf(x)[,]ab有界性 49A界(证明留待第六章)( 在闭区间上连续，则在上能若f(x)[,]abf(x)[,]ab取最大值、最小值性50 xxab,[,],取得到最大值和最小值，即存在，使对任 A12 fxfxfx()()(),,意xab,[,]，总有，证明留待第 12 六章( f(x)[,]abmM,若在闭区间上连续，则对任意之间任介値性 51 A,Cab,[,]fc(),,意一个值，存在，使，其中 mfxxab,,min{()[,]}Mfxxab,,max{()[,]}， 13 (证明留待第六章)( 在区间上连续，且，则存若fx()[,]abfafb()()0,, 根的存在性52C 在，使得( cab,(,)fc()0, ?3.3 初等函数的连续性 在点连续，则 若af(x),g(x)连续函数的四则运算53C也在afxgxfxgx()(),()(),,,fxgxga()/()(()0), 点连续( 在区间上连续且严格增加(或严格减少)，若fx()[,]ab 反函数的连续性54 ,1,,11则其反函数在或[(),()]fafbfx() C 上严格增加(或严格减少)且连续(([(),()])fbfa 在区间上连续，在连若ya,,()fx()[,]abzfy,()复合函数的连续性55C0 续，则在点连续( azfx,(()), 初等函数的连续性初等函数在其定义域上处处连续( 56C 第四章 导数与微分 ?4.1 导数概念 导数定义57设函数在的某邻域内有定义，设在的改变xxxfx()00 ,x量是，相应地，函数的该变量是，,,，,,yfxxfx()()00 fxxfx()()，,,,y00limlim,如果极限存在，则,,,,xx00,,xxD 称函数在点x可导，并称极限值为在x的fx()fx()00 dy,导数(或微商)，记成fx()，(或)，如果以xx,00dx x上极限不存在，则称在不可导( fx()0 fxxfx()()，,,,y00单侧导数概念 58limlim,如果极限存在，则,,,,,,xx00,,xx xx称函数在左方可导，并称极限值为在fx()fx()00 B,fx()的左导数，记成(类似地，可以定义函数fx(),0 fxxfx()()，,,,y00limlim,x在右方可导及右导数:0，，00,,,,xx,,xx 14 可导与连续的关系59在可导，则函数在连续，其逆若函数xxfx()fx()00C 不真( 函数在区间可导、导60在开区间内每一点可导，则称如果函数yfx,()(,)ab 函数 在开区间可导;如果在开区yfx,()(,)abyfx,() b间可导，且在点右方可导在点左方可导，则a(,)abB 称函数在闭区间可导(类似地，可定义yfx,()[,]ab ,函数在一般区间I可导的含义，对于称为xIfx,,() dy,在I上的导函数，也记成y或( yfx,()dx 导数的几何意义61如果曲线的方程是，且函数在可xyfx,()yfx,()0 B ,导，则曲线在的切线斜率为((,())xfxkfx,()000 基本步骤: 由定义求导函数62 (?); 取计算,，,xfxx,() (?); C计算,,，,,yfxxfx()() ,y计算(?); ,x ,ylim计算(?)( ,,x0,x ?4.2 求导法则 导数的四则运算 63C设在可导，则 xUxVx(),() ,,,(?); [()()]()()UxVxUxVx,,, ,,,(?);[()()]()()()()UxVxUxVxUxVx,,,，, ,,UxUxVxUxVx()()()()(),,,,[](()0),,Vx(?)(2VxVx()() 反函数求导法则 64xfx()若函数在点的某邻域内连续且严格单调，在点0B 15 ,可导，且，则其反函数在可xfx()0,yxy,,()000 1,导，并且( ,,,其中(),()yyfx000,fx()0 复合函数求导法则65U在可导，函数在可导，若函数xyfU,()Ugx,() C则复合函数在可导，并且xyfgx,(()) dydydu,,,或( ,,()(){[()]}()()fgxfUgx,,dxdudx ,; 1、(c),0 导数公式 66 ,,,1,2、; (x),,x 1 ,(logx),3、; axlna xx,4、; (a),alna 2,,,5;;; (sinx),cosx(cosx),,sinx(tanx),secx C2,,(5 ;; (cscx),,cscx,cotx(cotx),,cscx , ; (secx),secx,tanx 11 ,,(arccosx),,(arcsinx), 6、 ; ;221,x1,x 11,,(arccotx),,(arctanx), ; ( 221，x1，x 参数方程求导法则67由参数方程若函数fx() 可导，且xtytttt,,,,,,,,,,(),(),,(),()C ,dyt,(),则( ,()0,t,,,dxt(), 隐函数求导法则68xA,设为非空数集，对任意，通过方程AB, Fxy(,)0,给出，对唯一的yB,，这种对应关系f称 B由方程Fxy(,)0,所确定的隐函数，以yfx,()代入 方程，成为Fxfx(,())0,(应用复合函数求导法则， yfx,()可以求出隐函数的导数((一般结果见第十六 16 章) ?4.3 微分 微分的定义69设函数在的改变量与自变量的改变xxyfx,(),y0 ,x,x量有下列关系其中是与A,,,，,yAxOx(), C Ax,无关的常数，则称在可微，称为xyfx,()0 在的微分，记成或(xyfx,()dyAx,,dyAdx,0 可微与可导的关系70函数在可微的充分必要条件是函数在xxfx()fx()00C ,可导，而且 dyfxdx,()0 微分法则 71如果可微，则 UxVx(),() (?); dUxVxdUxdVx[()()]()(),,, (?);dUxVxVxdUxUxdVx[()()]()()()(),,,，B UxVxdUxUxdVx()()()()(),(?)(dVx[](()0),,2VxVx()() 一阶微分形式的不变72设可微，则 yfxxt,,(),(), 性 Bdydydydy,,,dydxdtfxfxt((),()()),,,,,,,( dxdtdxdt 微分用于近似计算73x在可微，则有以下近似公式 若函数fx()0B fxfxfxxx()()()(),，,( 000 ?4.4 高阶导数与高阶微分 ,x函数fx()的导数fx()在的导数如果存在，称为函高阶导数的定义 74 ,,x数fx()在的二阶导数，记成fx()。一般地，fx() C xxn(1)n,fx()的阶导数的导数，称为在的阶导数， ndy()nn,2记成，()或( fx()ndx xnUxVx(),()都是的函数，且存在阶导数，则有若莱布尼兹公式 75A 17 n()()(),nknkk( ()uvCUV,,,n,0k,的微分的微分，称为的函数fx()dyfxdx,()fx() 高阶微分的定义76 2二阶微分，记成。一般地函数的阶yfx,()(1)n,dy C n微分的微分，称为的阶微分，记成。我们nfx()dy nnn()nn有( dyfxdx,()(())注意dxdx, 第五章 微分中值定理、导数在研究函数方面的应用 ?5.1 微分中值定理 h对任意，当时，如果存在h,,,,0, 局部极值的定义77 ，则称fxhfx()()，,(()())或fxhfx，,fx() C0000 在取局部极大值(相应地，局部极小值)(局部极大x 0 值，局部极小值，统称局部极值( 在可导，且在取局部极小值，则若函数xxfx() 费马定理78C00 ,( fx()0, 满足以下条件 若函数fx() 罗尔中值定理79 (1)在闭区间上连续; [,]ab C(2)在开区间内可导; (,)ab (3)， fafb()(), ,则存在( Cabfc,,(,),()0使 拉格朗日中值定理80满足以下条件: 若fx() (1)在闭区间上连续; [,]ab (2)在开区间内可导， (,)ab D[()()]fbfa,,则存在，或者存在Cab,(,),使fc(),()ba, ,,,,,，,,(0,1),()()[()]()使fbfafababa( 常函数的特征 81I函数fx()在区间上恒为常数的冲要条件是: B fxxI()0,,,,( fxgx(),()若函数满足以下条件: 柯西中值定理 82C [,]ab(1)在闭区间上连续; 18 (2)在开区间内可导， (,)ab ,(3)对任何 xabgx,,(,),()0, ,fxfbfa()[()()],则存在( Cab,,(,),使,gxgbga()[()()], ?5.2 罗比塔法则 083满足如下条件: 如果函数fxgx(),()法则1 (,)xa,0 (1)在点的某去心邻域内可导，g,(x),0, a Clim()lim()0fxgx,,(2) ; xaxa,, ,fx()f(x),l(3)，那么 ( limliml,xa,x,ag(x),gx() 084满足如下条件: 如果函数fxgx(),()法则2 (,)x,,0 (1)存在AxA,,0,当时可导，且 g,(x),0,; C lim()lim()0fxgx,,(2) ; xx,,,, ,fx()f(x),l(3);那么 ( limlim,lxa,x,ag(x),gx() ,85如果函数满足如下条件: fxgx(),()(,)xa,法则3, (1)在点的某去心邻域内可导，g,(x),0,; a Clim()lim()fxgx,,,(2) ; xx,,,, ,fx()f(x),l(3)，那么 ( limlim,lxa,x,ag(x),gx() ,86满足如下条件: 如果函数fxgx(),()(,)x,,法则4, AxA,,0,当(1)存在时可导，且 g,(x),0, C lim()lim()fxgx,,,(2) ; xx,,,, ,fx()f(x),llim(3)，那么 ( lim,lxa,x,ag(x),gx() 0,其他不定型 870,,或(1)型，可以化成; 0,B 0, 或(2)型，可以化成; ,,,0, 19 ,000,,(3)型，可以先取对数，化成型，再化成1,0,, 0,( 或0, ?5.3 泰勒公式 泰勒公式88若函数在存在阶导数则有: anfx() n，其中， fahThoh()()()，,，nC n ()kk称为函数在的afx()Thfxak()(0)()/!,,,n,0k 阶泰勒多项式。 n 麦克劳林公式 89C若函数在原点存在阶导数，则有 nfx() n()kkn( fxfxkox()(0)/!(),，,,0k 泰勒公式余项90余项:(函数在的阶泰勒公式的余项) anfx() RhfahTk()()(),，,nn n(1) 皮亚诺型余项; Rhoh()(),n B(2) 拉格朗日型余项 n，1若函数在闭区间存在阶导数，则fx()[,]ab n，1h( ()(1),01,，,,,Rhfnn(1)!，n x,11ex2nn，1几个常用的泰勒公式,1，，， , , , ，，91(1)(0<,,,)～ exxxx2!!(，1)!nn m1,(,1)11352m1,(2) sinx,x,x，x，,,,，x，R(x)2m3!5!(2m,1)! 21k，xk ()(1)cos,01,,,,,,,,RxxxR2m(21)!，kC 2km xk(3)cos(1)(),,， xRx,，21m(2)!k,k0 22k，xk，1()(1)sin,01,,,,,,,,RxxxR21m，(22)!，k 20 knx,1k(4)(x) ln(1)(1)，,,，xR,nk,1k n，1xn()(1),01,1,,,,,,,Rxxnn，1(1)(1)，，nx, n,,,(1)(1),,，？k,k(5) (1)()，,，xxRx,nk!,0k n,,,,(1)()(1),,,？n，1nRxx(),01,,,,n,,，1nnx!(1)，, ?5.4 导数在研究函数方面的应用 ,,若对任何则函数xabfxfx,,,(,),()0(()0)或严格单调充分条件92C 在内严格增加(相应地严格减少)( fx()(,)ab 在内可导，则在内单调若函数fx()(,)abfx()(,)ab 单调性充要条件93 C增加(或单调减少)的充要条件是对任何，xab,(,) ,,总有( fxfx()0(()0),,相应地 如果函数满足如下条件: fxgx(),()不等式定理 94 (1) 在闭区间上可导; [,]ab (2) 在开区间内， (,)abB ,,,,; fxgxfxgx()()(()()),,或 (3) ，则对任何 fagafbgb()()(()()),,或 ( xabfxgx,,(,),()()有 若函数可导，且 fx()极值第一判别法 95 , fcxCC()0,0,(,),,,,存在当时，,, C,,(，当时，xCC,，(,),fx()0(0),,fx()0(0),, 则在C取局部极大值(局部极小值)( fx() 96, 若函数在C存在n阶导数， 极值第二判别法fx()fc()0,, (1)n,(1)n，,,,，fcfcfc()()()0,fc()0,,,,,？ C(2)n, (1)当fx()n为奇数时，在C不取局部极值; ()nfx()(2)当n为偶数时，如果则在C取得fc()0,, 21 ()n极小值;如果则在C取得极大值(特fx()fc()0,, 别的，n=2时情形常用( 凹凸性定义97如果函数在上连续，且对任何fx()[,]ab xxab,[,],,总有12 xx，1xx，11212或ffxfx()[()()],，ffxfx()[()()],，C12122222 ，则称函数在上严格上凹(或严格上凸)，fx()[,]ab 简称函数在上上凹(或凸)( fx()[,]ab 凹凸性判别法98设函数在内存在二阶导数，如果对任何fx()(,)ab C,,,,，总有，则称在fxfx()0(()0),,或xab,(,)fx() 内凹(或凸)( (,)ab 拐点的定义 99如果曲线在点的一侧凹，另一侧yfx,()Mcfc(,())C 凸，则称M是曲线的一个拐点( 拐点的必要条件 100设函数存在二阶导数，且是曲线yfx,()Mcfc(,()) C ,,的拐点，则(反之不真( yfx,()fx()0, 当曲线在C上动点P沿曲线C无限远离原点时，如果P渐进线的定义 101C点到直线l的距离趋于0，则称直线l是曲线C的一条 渐近线( (1) 垂直渐近线 渐近线种类及求法102 lim()lim()fxfx,,,,或若，则直线是曲xa,,， xaxa,, 线的垂直渐近线( yfx,() (2) 斜渐近线 C fx() ,,,abfxaxlim,lim[()],若则直线xa,是xx,,,,x a,0曲线yfx,()的斜渐近线。特别的，时，l是曲 线yfx,()的一条水平渐近线( (1) 求函数的定义域; 描绘函数图像C103 22 (2) 判断函数是否有奇偶性，周期性; (3) 求出函数的间断点、渐近线; (4) 计算函数的一、二阶导数，确定函数的单调区 间、极值点、凹凸区间，拐点;(一般列成一表) (5) 计算曲线上某些特殊点的坐标; (6) 标点、画渐近线、描图像( 第六章 实数连续性的基本定理，闭区间上连续函数的性质(?) ?6.1 实数连续性基本定理 闭区间套定理104设有闭区间列满足: {[,]}abnn (1); [,][,],ababnN,,nnnn，，11C lim()0ba,,(2)，则存在唯一数l满足: nn,,n labnNabl,,,,,[,],,limlim且 nnnn,,,,nn ; 设,,,,,,ERR,,确界的定义 105 (?)若满足以下条件; , (1) 对任何; xEx,,,有, (2) 对任意，则称,,,,,,,0,,存在使xEx00C为E的上确界，记成; ,supE (?)若满足以下条件; , (3) 对任何; xEx,,,有, 对任意,,,,,,，0,,存在使xEx，则称为E,00 infE的下确界，记成( 若非空数集E有上界(下界)，则E必有唯一的上确界确界定理 106C(下确界)( 有限覆盖定理 107[,]abU,若开区间集S覆盖了闭区间，即，[,]abIS,C(Heine-Borel) 则S中存在有限个开区间也覆盖了闭区间( [,]ab ,柯西收敛准则的证明108P的闭区间Bolzano方法的要点是设法构造具有性质B 列，并用闭区间套定理找出满足条件的数( (Bolzano方法) ?6.2 实数连续性基本定理 使用有限覆盖定理证明:先设法作出满足局部性质的开有界性定理的证明109B覆盖，再有有限覆盖定理得到整体性质( 23 利用有界性定理，使用确界定理及反证明法得到证明(取最大，最小值性定110B 理的证明 用反证法证明:根据Bolzano方法，构造闭区间套，找介値性定理的证明111B 的时候必产生矛盾( 出一个定点c,在fc()0, 一致连续性的概念112在区间I上有定义，如果设函数fx(),,，,,0,>0, C对任意,当时，x,xIxx,,,,1212 ， 恒有fxfx()(),,,12 则称函数在区间I上一致连续( fx() 一致连续性(Cantor)113如果函数在闭区间上连续，则称函数fx()[,]abfx() 定理 C 在闭区间上一致连续((证明方法:使用有限覆盖[,]ab ,定理，从找出通用的) , 第七章 不定积分 ?7.1 概念、公式与法则 设函数在区间I上有定义，如果存在函数，fx()Fx()原函数概念 114C,使对任何，则称是函数xIFxfx,,,()()Fx()fx() (在区间I)上的一个原函数( 原函数一般形式115若是函数(在区间I)上的一个原函数，则Fx()fx() B 的任意原函数可表成( fx()FxC()， 不定积分定义116函数的所有原函数，称函数的不fx()FxC()，fx() fxdxFxC()(),，定积分(表为(其中，称为fx(),D C被积函数，称为积分表达式，称为积分常数(fxdx() d 运算法则117[f(x)dx],f(x)(1) ,dxB dF(x),F(x)，C(2) , 24 (3)(k是常数～ k ,0) kf(x)dx,kf(x)dx,, (4) [()()]()()fxgxdxfxdxgxdx,,,,,, 基本积分表118(1) (k是常数) kdx,kx，C, 1,,，1(2) xdx,x，C,,1， 1dx,ln|x|，C(3) ,x xax(4) adx,，C,lna (5) cosxdx,sinx，C,C (6) sinxdx,,cosx，C, 12dx,secxdx,tanx，C(7) ,,2cosx 12dx,cscxdx,,cotx，C(8) ,,2sinx 1dx,arctanx，C(9) ,21，x 1dx,arcsinx，C(10) ,21,x ?7.2 两种积分法 分部积分法119,设函数可导，且不定积分uxvxdx()(),u(x) v(x)及, C ,uxvxdx()()均存在，则有 , ,,uxvxdxuxvxuxvxdx()()()()()(),, ,,(第一换元积分公式120,(x)在上可导，且，～f(u)设u,[,],,,,,,,,(),[,]xxab(凑微分公式) 在上有定义并具有原函数～ 则有换元公式[,]abFu()C ,fxxdxFxC[()]()[()],,,,， ( ,, 第二换元积分公式121,(t)是在[,],,上可导～且设x , C(代换法) ,,,,,(),()0tt[,]ab,,,，f(x)在上有定义并有原 25 ,函数F(u)～有原函数， fttdt[()](),,Ft(), 则有换元公式 ,1( fxdxFxC()[()],，,, ?7.3 有理函数积分法 有理函数积分法基本122不定积分的基本步骤:求有理函数RxPxQx()()/(), 步骤 (不妨设为既约分式) Rx() 1、 将分解成实系数的一次因式和二次不可约因Qx() C式的积的形式; 2、 将分解成一个多项式与若干个部分分PxQx()/() 式之和的形式;(待定系数法) 3、 求出各部分分式多项式的不定积分; 4、 合并所得结果，即得到的不定积分( Rx() Adx四类部分分式的积分123,,，Axacln 1、,xa, BdxB1,n2、,,，,,(),,2xacnINn其中，n,xan()1,, AxBABApxp，,，2223、dxxpxqc,，，，，ln()arctan2,22xpxq，，244qpqp,, B 2其中， 40qp,, AxB，2n,24、其中，，可转dx40qp,,2n,()xpxq，， dt化为我们有递推公式 I,n22,()ta， tn23,( II,，nn,122212n,2(1)()2(1)antaan,，, ?7.3 简单无理及三角有理式的积分法 26 124axb，axb，nn的积的积分(其中)对于Rx(,)Rx(,)nadbc,,,2,0 cxd，cxd，B分 n只需作代换t=即可将原积分化成有 ()/()axbcxd，， 理函数的不定积分( 22125化成以下三种积运用配方法，可将Rxaxbxc(,)，，Rxaxbxc(,)，， 的积分 分之一: 22 Rttdt(,)，,, 22 Rttdt(,),,B, 22 Rttdt(,),,, 我们分别作以下三角代换: 即可化为三角有理式tatata,,,tan,sec,sin,,, 的积分。 x126的积Rxx(sin,cos)t,tan我们可做代换，即可将原积分化成有理函数的2 x分 t,tan积分，但使用，一般较繁，在以下几种情形可2 用其他代换( (1);RxxRxxt=sinx(sin,cos)(sin,cos),,,,用 (2);RxxRxxt=x(sin,cos)(sin,cos),cos,,,用B (3);RxxRxxt=x(sin,cos)(sin,cos),tan,,,用 nmnm(4) Rxxxx(sin,cos)sincos,, t=sinx当n为奇数时，可用; 当n为偶数时，可用; t=xcos 当m,n都是偶数时，可用倍角公式化简降幂( 第八章 定积分 ?8.1 基本概念与可积条件 设函数f(x)在[a～ b]上有界～ 在[a～ b]中任意插入若干个分 定积分定义127D 27 点 a,x, x, x, , , ,, x, x,b～ 012n,1n 把区间[a～ b]分成n个小区间 [x～ x]～ [x～ x]～ , , ,～ [x～ x] ～ 0112n,1n 各小段区间的长依次为 ,x,x,x～ ,x,x,x～, , ,～ ,x,x,x, 110221n n n,1 在每个小区间[x～ x]上任取一个点, (x, , , x)～ 作i,1i ii,1 ii函数值f (,)与小区间长度,x的乘积 ii f (,) ,x (i,1～ 2～, , ,～ n) ～ 并作出和 ii nS,f(,),x, ,ii,1i 记, , max{,x～ ,x～, , ,～ ,x}～ 如果不论对[a～ b]怎样分12n 法～ 也不论在小区间[x,～ x]上点, 怎样取法～ 只要当i1i i ,,0时～ 和S 总趋于确定的极限I～ 这时我们称这个极 b限I为函数f (x)在区间[a～ b]上的定积分～ 记作～ f(x)dx,a nbf(x)dx,limf(,),x即 , ,ii,a,,0,1i 其中f (x)叫做被积函数～ f (x)dx叫做被积表达式～ x叫做积分变量～ a 叫做积分下限～ b 叫做积分上限～ [a～ b]叫做积分区间,( ,,0S如果当时，和不存在极限，则称函数f(x)在区间[a～ b]上不可积( 如果函数f(x)在区间[a～ b]上可积，则函数f(x)在区间[a～ 可积条件128Bb]上有界，其逆不真( 小和与大和(达布和)设函数f(x)在区间[a～ b]上有定义且有界，对[a～ b]做分割129 ,x, x, x, , , ,, x, x,b，记T:a 012n,1nmfxxxx,,inf{()[,]}, kkk,1 Mfxxxxkn,,,sup{()[,]},1,2,,？，令 Bkkk,1 nn ，称和sT()ST()sTmxSTmx(),(),,,,,,kkkk,,11kk 为函数f(x)相对于分法T的小和和大和。(统称为达布和) 达布和的性质139(1) 对于分法任意T，有sTST()(),,, B (2) 对于分法任意T，有 28 n sTfxxx()inf{()[,]},,,,,,,,1kkkkk,1k n ; STfxxx()sup{()[,]},,,,,,,1kkkkk,1k ,(3) 设T是[a～ b]的一个分法，是T的基础上加T ,,,入新分点构成的，则; sTSTSTST()(),()(),, ,(4) 对[a～ b]的任两个分法T，，有;TsTST()(), (5) 我们总有sup{()}inf{()}STST,( TT 函数f(x)在区间[a～ b]上可积的充要条件是可积准则131B lim[()()]0STsT,,( ,,0 1、 若函数f(x)在区间[a～ b]上连续，则函数f(x)在区间[a～ 可积函数类132 b]上可积; 2、 若函数f(x)在区间[a～ b]上单调，则函数f(x)在区间[a～ B b]上可积; ,、若函数f(x)在区间[a～ b]上有界，且仅有有限个间断 点，则函数f(x)在区间[a～ b]上可积( ?8.2 定积分的性质 bbb线性性质 133[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx,,,1、 ,,,aaaC bb kfxdxkfxdx()(),2、, ,,aa 积分区间的可加性134,、如果f(x)在区间[a～ b]上可积，而，则 f(x)[,][,]cdab, 在上可积( [,]cd C 如果f(x)在区间[a～ c]，上可积，则f(x) 在区间[a～ b][,]cb bcbf(x)dx,f(x)dx，f(x)dx上可积且( ,,,aac 5、如果f (x)在区间[a～ b]上可积，且对 f (x),0～ 则积分的保号性135Cb f(x)dx,0(a,b)( , a 6、如果f (x),g(x)在区间[a～ b]上可积f (x), g(x) 则 积分不等式C136 29 bb(a,b), f(x)dx,g(x)dx,,aa 7、如果f (x)在区间[a～ b]上可积,，则函数在f (x)fx() bb上可积，且。 |f(x)dx|,|f(x)|dx,,aa 8、如果函数f(x)在闭区间[a～ b]上连续～ 则在积分区间 积分中值定理137[a～ b]上至少存在一个点, ～ 使下式成立: b ,( f(x)dx,f(,)(b,a),a C9、如果函数f(x)， g(x)在闭区间[a～ b]上连续～ g(x)在区 间[a～ b]上不变号，则在积分区间[a～ b]上至少存在一个 点, ～ 使下式成立: bb ( fxgxdxfgxdx()()()(),,,,aa ?8.3 定积分的计算 如果函数f(x)在区间[a～ b]上连续～ 则函数微积分学基本定理138x,ftdt()在[a～ b]上可导～ 并且,(x) ,aD xd ,f(t)dt,f(x),,(x)(a,x