什么是自然数_自然数的定义分类及应用

什么是自然数_自然数的定义分类及应用 自然数(natural number),可以是指正整数(1, 2, 3, 4),亦可以是非负整数(0, 1, 2, 3, 4)。在数论通常用前者,而集合论和计算机科学则多数使用后者。 基本定义 序数理论是意大利家G.皮亚诺提出来的。他了自然数的性质,用公理法给出自然数的如下定义, 自然数集N是指满足以下条件的集合,?N中有一个元素,记作1。?N中每一个元素都能在N中找到一个元素作为它的后继者。?1不是任何元素的后继者。?不同元素有不同的后继者。?(归纳公理)N的任一子集M,如果1?M,并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中,那么M=N。 自然数,即0、1、2、3、4……。 从历史上看,国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点,一种认为0是自然数,另一种认为0不是自然数。建国以来,我国的中教材一直规定自然数不包括0。国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流,1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》(GB 3100-3102-93)《量和单位》(11-2.9)第311页,规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中,教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有,用 0表示。0也是自然数。“0”是否包括在自然数之内存在争议,有人认为自然数为正整数,即从1开始算起;而也有人认为自然数为非负整数,即从0开始算起。关于这个问尚无一致意见。不过,在数论中,多采用前者;在集合论中,则多采用后者。中小学教材中规定0为自然数。 一般概念 自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。 注,自然数就是我们常说的正整数和0。整数包括自然数,所以自然数一定是整数,且一定是非负整数。 但相减和 相除的结果未必都是自然数,所以减法和除法运算在自然数集中并不总是成立的。用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码0,1,2,3,4,……所表示的数 。表示物体个数的数叫自然数,自然数由0开始(包括0), 一个接一个,组成一个无穷集体。自然数集有加法和乘法运算,两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数,也可以作减法或除法,但相减和相除的结果未必都是自然数,所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类,为了使数的系统有严密的逻辑基础,19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论枣自然数的序数理论和基数理论,使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。 (序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质,用公理法给出自然数的如下定义) 自然数集N是指满足以下 条件的集合, ?N中有一个元素,记作1。 ?N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。? 1是0的后继者。?0不是任何元素的后继者。 ?不同元素有不同的后继者。 ?(归纳公理)N的任一子集M,如果1?M,并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中,那么M=N。 基数理论则把自然数定义为有限集的基数,这种理论提出,两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征,这一特征叫做基数 。这样 ,所有单元素集{x},{y},{a},{b}等具有同一基数 , 记作1 。类似,凡能与两个手指头建立一一对应的集合,它们的基数相同,记作2,等等 。自然数的加法 、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义,并且两种理论下的运算是一致的。 自然数在日常生活中起了很大的作用,人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最早出现的数,自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序,如城市的公共汽车路线,门牌号码,邮政编码等。 自然数是整数(自然数包括正整数和零),但整数不全是自然数,例如,-1 -2 -3......是整数 而不是自然数。自然数是无限的。 全体非负整数组成的集合称为非负整数集,即自然数集。) 在数物体的时候,数出的0.1.2.3.4.5.6.7.8.9……叫自然数。自然 数有数量、次序两层含义,分为基数、序数。 基本单位,1 计数单 位,个、十、百、千、万、十万...... 总之,自然数就是指大于等于0的整数。当然,负数、小数、分数等就不算在其内了。 分类 ?按能否被2整除分 可分为奇数和偶数。 1、奇 数,不能被2整除的数叫奇数。 2、偶 数,能被2整除的数叫偶数。 3、特别注意,0是偶数。(2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。偶数可以除以2,0照样可以,只不过,得数依然是0而已,但是不可以说它(指0)没有缩小)。 ?按因数数个数分 可分为质数、合数和1 1、质 数,只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。[质数也称作素数] 2、合 数,除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。 3、0,1,只有1个因数。它既不是质数也不是合数。 注,是因数不是约数。 公式 数列0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,……n,称为自然数列。 自然数列的通项公式an=n。 自然数列的前n项和Sn=n(n+1)/2。 Sn=na1+n(n-1)/2 自然数列本质上是一个等差数列,首项a1=1,公差d=1。 应用 1、自然数列在“数列”,有着最广泛的运用,因为所有的数列中,各项的序号都组成自然数列。 任何数列的通项公式都可以看作,数列各项的数与它的序号之间固定的数量关系。 2、求n条射线可以组成多少个角时,应用了自然数列的前n项和公式 第1条射线和其它射线组成n-1个角,第2条射线跟余下的其它射线组成n-2个角,依此类推得到式子 1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)/2 3、求直线上有n个点,组成多少条线段时,也应该了自然数列的前n项和公式 第1个点和其它点组成n-1条线段,第2个点跟余下的其它点组成n-2条线段,依此类推同样可以得到式子 1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)/2 [什么是自然数_自然数的定义分类及应用]