基于单链接聚类过滤法均值方差模型

基于单链接聚类过滤法均值方差模型 摘 要,为了消除由于估计收益率数据的时间序列的有限 性而导致马克威茨均值-方差模型的统计不确定性,采用基于 单链接聚类过滤法的均值-方差修正模型。选取上证50成分 股2004~2007年的日数据,对修正前后的模型进行了实证 对比分析发现,,1,修正后模型投资组合的可靠性系数比修 正前模型的平均低0.067,,2,修正后模型投资组合估计风 险和预测风险分别比修正前模型投资组合平均低0.096和 3.329,,3,修正前模型投资组合的有效大小比修正后模型 投资组合小0.0321,明其风险分散程度更低。这在某种程 度上表明,修正后模型要优于修正前模型的投资组合。 关键词,单链接聚类法,均值-方差模型,正定性 中图分类号,F830.9 文献标识码,A 文章编号, 1003-5192(2011)01-0066-05 Mean-variance Based on Filtered Single Linkage Cluster HUANG Fei-xue (Faculty of Management and Economics, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China) Abstract:Due to the finite length of the asset return time 1 series, the estimation of the Markowitz’s mean-variance portfolio model unavoidably associated with a statistical uncertainty. So we use the single linkage cluster algorithm to filter the correlation coefficient matrix to avoid this. Then we choose the daily data from 2004 to 2007 of the 50 stocks composing the SSE 50 index to compare the new and the original solution of portfolio optimization and find that: (1)the average reliability of the portfolio composed by the new method is 0.067 higher than that of the portfolio composed by the original method; (2)the realized risk and the predicted risk of the portfolio composed by the new method are respectively 0.1 and 3.3 lower than that of the portfolio composed by the original method; (3)the effective size of the portfolio composed by the new method is 0.0321 smaller than that of the portfolio composed by the original method, which proves the new one can better disperse the risk. So we draw a conclusion that the application of the single linkage cluster algorithm can improve the mean-variance Model. Key words:single linkage cluster algorithm; mean-variance model; positive definiteness 1 引言 2 Markowitz提出的均值-方差投资决策模型解决了持有一定资本的投资者如何在证券市场众多证券品种中做出合理选择的问题,该模型将证券收益率看成随机变量,用收益率的方差来度量风险。然而,模型中相关系数的估计由于收益率时间序列的有限,会存在一定的统计上的不确定性,进而导致模型估计的失败。针对这一缺陷,本文采用单链接聚类法对相关系数矩阵进行过滤,从而消除这种不确定性。 Markowitz提出了均值-方差投资决策模型,1,2,,但该模型是在假设市场无摩擦条件下的双目标规划模型,它与现实市场存在较大的差距。如何将经典的均值-方差模型进行改进和优化,使其更符合现实市场的特点,众多的学者对此进行了深入的研究,Sharpe在研究了市场均衡时的证券价格行为,提出了最优组合模型的简化形式,并导出了资本资产定价模型,这大大降低了计算难度,3,。Rothschild和Stiglitz分析了一般效用函数下的最优证券组合、风险测度和证券收益特征,4,5,。,Merton在扩散矩阵正定而且允许卖空的假设下解决了单期均值-方差投资组合问题,6,,接着Merton提出了资产定价模型,7,。Levy等研究了不同投资期限对证券组合和资产定价的影响,8,。但上述研究忽略了证券投资组合中相关系数矩阵的作用。相关系数矩阵的估计不可避免的与一些统计上的不确定性相联系,所谓统计不确定性是指由于采样不充分或判断方面的误差而引起的不确定性。 3 Markowitz假定收益率的均值μ已知,而实际上μ并不知道,而只能用样本均值来进行估计,但是根据具体的组合不同,收益率的概率分布也会不同,况且由于时间序列数据的有限性,概率分布的估计会存在统计上的不确定性。而相关系数矩阵的计算正是基于收益率的概率已知固定的情况下计算得出的,所以相关系数矩阵存在着统计的不确,定性。 近来,有一些研究在这些减小统计上的不确定性方面做出了一定的贡献,如Mehta提出了随机矩阵理论,Random Matrix Theory, RMT,,9,,近期被应用到了证券投资组合理论当中,即通过RMT方法得到的相关系数矩阵。Burda等利用S&P500的数据研究随机矩阵与协方差矩阵的关系,认为S&P500数据得到的协方差矩阵的稳定性是符合随机列维矩阵理论的,10,。然而,这些关于运用随机矩阵的研究并未指出变换后用于运算的协方差矩阵是正定的。屠新曙等认为关于均值-方差模型的争议焦点就在于协方差矩阵的正定性,11,。Tumminello等证明当有单链接的聚类过程获得的超度量相关矩阵的所有元素都是正的时,相关系数矩阵由单链接聚类过程得到的相关矩阵是正定的,12,。国内一些学者也对均值-方差模型进行了研究与改进,刘仁和等从机会成本角度论述了均值方差模型的适用性,13,,林旭东等在正态分布为假设条件的建立了均值-CVaR模型,14,,闫伟等提出了基于风险价值约束的动态均值-方差投资组合模型 4 ,15,,,熊和平等证明了在单期收益率较小时,投资期限的长短对最优投资组合选择没有影响,16,,迟国泰等建立了“均值-方差-偏度”的三因素套期保值优化模型,17,,张鹏等提出了限制性卖空的均值-方差投资组合优化模型,18,。但上述研究大都仅考虑了投资组合中单个证券风险的大小,而忽略了这些证券收益之间的相互关系。 本文提出通过采用单链接聚类法对相关系数矩阵进行过滤,使其变为超度量矩阵,进而消除统计上的不确定性。选取上证50成分股2004~2007年的日数据,对原始均值-方差模型与改进后的模型进行了实证比较分析。 2 方法和过程 2.1 马柯维茨最优资产组合理论 当γ=0时,最优投资组合是最小方差投资组合。 这个均值-方差模型分别建立原始的投资组合和经过单链接聚类法过滤了相关系数矩阵的投资组合。 2.2 相关系数矩阵的单链接聚类分析过滤算法 聚类分析是在没有先验知识的情况下,利用样本在多维 5 空间的相对位置将样本分成多个不同类组的方法。单链接法是一种层次聚类方法,该方法首先将距离最近的样本归入一类,即合并的前两个样本是它们之间有最小距离和最大相似性,然后计算新类和单个样本间的距离作为单个样本和类中的样本间的最小距离,尚未合并的样本间的距离并未改变。在每一步,两类之间的距离是它们两个最近点间的距离。 由于单链接法每次并类后都是将该类与其他类中距离最近的两个样本之间的距离作为该类与其他类的距离,所以此聚类方法的逐次并类距离之间的差距一般来说可能会越来越小。但是只要单个样本之间的相异度小,就认为两个组就是紧密靠拢的,而不管组间其他样本的相异度如何。这倾向于合并由一系列本身位置(原始数据集中样本的排列)靠近的样本。 当有单链接的聚类过程获得的超度量相关矩阵的所有元素都是正的时,相关系数矩阵由单链接聚类过程得到的相关矩阵是正定的。这种情况在股票投资组合中的财务数据中是很常见的。本文提出应用某种聚类分析方法对均值-方差模型中的相关系数矩阵进行过滤,然后利用这一矩阵代替原始矩阵进行模型的求解。因为聚类分析能够过滤多个变量的数据的相关信息,并且前人已证明,聚类分析能够很好地消除因为样本区间有限而产生的估计误差,尤其是系统聚类分析在处理分层组织的数据时,这方面的表现十分突出。 6 2.3 投资组合的指标评价体系 ,2,风险大小 用来比较不同方法的量仅仅是估计的风险,P。显然当一个投资组合的估计的风险小于另一个时,它的风险较小。一般来说,一个预测的风险小的投资组合不一定比一个,预期,风险大的组合好。事实上,如果安全投资组合的估计的风险的不确定性大的话,投资者会面临大的波动,并且,会认为预测的风险比估计的风险小的组合比估计的风险比预测的风险小的组合风险更小。 ,3,有效性 用来衡量投资组合优化方法的量是投资组合有效集的减小幅度。处理一个大的投资组合是成本很大的,因为投资者想重新变动资产比重时是要花费交易成本的。即使不考虑资产重置与基准问题,希望能计算有效的有大量现金投资的股票数量。令N(eff)表示投资组合的有效大小,根据Bouchaud and Potters,19,,计算这一数值如,9,式所示 ,4,投资表现 投资表现是说应用构建的投资组合在实际中应用后的其风险和收益的大小。用实际的数据估计了投资组合模型中的风险和收益,进而构建一个投资组合,这个投资组合在估计的时间范围内是最优的,即同样的收益率条件下风险最小,同样的风险条件下收益最大。而在别的时期这一投资组合的 7 风险和收益的大小也是我们所关注的,这也是衡量投资组合优劣的一个指标,即在别的时间范围内能否同样的收益率条件下风险最小,同样的风险条件下收益最大。 3 实证结果的比较分析 3.1 数据选取与预处理 研究目的是为了应用单链接聚类过滤法在投资组合优化理论中,即运用该方法构建一个投资组合,为使研究样本具有充分性、代表性,选取上证50指数的成分股这50只股票。特别要指出的一点是,上证50指数从2004年提出以来,每半年按照不超过10,的比例调整一次成分股,但是因为研究需要一个比较长的区间,所以选用的研究样本只是2004上半年的上证50指数成分股,不随它的调整而改变。 在实证分析部分要对构建投资组合并对其进行评价,按照马克威茨的假设,需要知道证券的基本信息,故应用2004~2007这四年中的前两年来收集信息,即算出这50只股票的期望收益率和方差、协方差等数据,而后两年,即2006年和2007年则作为投资年份,也就是说,由2004、2005两年的数据构建一个投资组合,利用这一组合在2006、2007两年进行投资,然后评价已构建的组合。 3.2 修正模型前后的评估比较 所谓的新方法就是应用单链接聚类法对相关系数矩阵进行过滤后,应用新的相关系数矩阵代替原有的进行均值方差 8 模型的计算,得出持股比例,根据,3,式。而旧方法是指原始的马克威茨均值-方差模型。 3.2.1 可靠性 为了评估组合的可靠性,首先要知道这一组合的估计的风险和预测的风险。根据,3,式两种方法构建的投资组合的持股比例,并根据,7,式2004~2005年的这50只股票的协方差矩阵计算出估计的风险。实证结果表明在收益率相同的条件下,可以得出经过聚类分析构建的投资组合的风险要小于马克威茨方法构建的投资组合。 根据,2,式,为了评估修正后的单链接聚类过滤法和修正前的模型构建的投资组合的可靠性。希望R的值越小越好,因为估计风险和预测的风险相差较小才能表明模型的预测精度较高。通过计算知道,单链接法构建的投资组合的可靠性更高一些。马克威茨法投资组合的R值比单链接法的平均高7.597,,这说明单链接法聚类分析构建的投资组合的可靠性较高。 3.2.2 风险 一个投资组合仅仅预期收益率很高是不够的,还需要具有较低的风险。本模型中,是在给定预期收益率来计算投资组合的,从实证结果可以看出,运用单链接法聚类分析构建的投资组合无论是估计的风险还是预测的风险都明显小于马克威茨方法构建的投资组合,估计风险方面,单链接法投 9 资组合要比马克威茨法投资组合平均低0.096,相当于后者的46.556,,预测的风险方面,单链接法投资组合要比马克威茨法投资组合平均低3.329,相当于后者的78.273,。所以,预期收益率一定的条件下,单链接法投资组合比马克威茨法投资组合的风险要小,并且应用过聚类分析的投资组合的风险要比未使用的风险小很多,这体现了单链接聚类分析在证券投资组合理论中应用的价值。 3.2.3 有效大小 投资组合的有效大小就是用来衡量投资组合的减小幅度,投资组合当所有财富都投资于一种资产时上式等于1,而当平均地投资于N种资产,即w,i=1/N时,计算结果等于N。关注投资组合的减小幅度是希望能通过改变持股比例来尽量减少投资组合有效大小,因为在实际应用中,交易费用是不可忽视的,它不仅会影响投资的净收益,在交易成本较大时,投资者也很有可能因此选择非最佳的投资组合,也就是需要一个动态调整过程。基于这些因素,投资组合的有效大小也成为评价投资组合优劣的一个重要指标。另外,建立投资组合的目的也是为了分散风险,有效的大小较小的话,说明风险分散的程度不高,也就是说,该组合是比较有风险的。 本文计算了二种投资组合的有效大小,由实证可知,修正后的模型投资组合的有效大小较大,而修正前的模型投资 10 组合的有效大小较小。修正前的模型比修正后的模型投资组合小0.0321,表明其风险分散程度更低。因此,修正前的模型构建的投资组合更大地减小了投资组合的幅度,而修正后的模型投资组合更好地分散了投资风险。 3.2.4 投资表现 由实证结果可得同样是经过2004~2005年的数据构建的投资组合,修正后的模型投资组合的收益率在0.175~0.275之间,风险在0.400~0.500之间,而修正前的模型投资组合的收益率在0.364~,0.378之间,风险在1.080~1.116之间。无论在风险还是收益方面,都是修正后的模型投资组合小于马克威茨法投资者组合。修正前的模型投资组合的风险平均是修正后的模型投资组合的2.5倍。 4 结论 本文通过对修正前后模型的评估比较得到, ,1,单链接法投资组合的可靠性比马克威茨法的高7.597,,表明运用单链接聚类法后建立的模型可靠性更高,即模型的预测精度更高, 11 ,2,单链接法投资组合估计风险和预测风险分别比马克 威茨法投资组合平均低0.096和,3.329,即运用单链接聚 类法后在相同的收益率下能够构建比马克威茨法更小的投 资组合, ,3,马克威茨法投资组合的有效大小更小,风险分散程 度更低; ,4,在投资表现上,两种方法构建的投资组合分别落在 不同的区间,原始马克威茨法更适合风险偏好型投资者,应 用单链接聚类法的投资组合更适合风险厌恶型投资者。 这在某种程度上表明,基于单链接聚类过滤法的均值-方 差模型构建的证券投资组合在可靠性,风险和有效大小方面 优于马克威茨均值-方差,模型。 参 考 文 献, ,1,,Markowitz H M. 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