光纤通信_波动方程推导

光纤通信_波动方程推导 光纤通信报告 1.麦克斯韦方程组 光是电磁波，用波动理论来分析电磁场的分布，获得更准确的光纤的 传输特性必须从麦克斯韦方程组出发: ?B ?t ?D ??H?J??t ??D?? ??B?0??E?? 光纤不是电的导体，不存在电流，电流，电流密度J?0 光纤中不存在自由电荷，所以电荷体密度?v?0 ?B ?t ?D ??H??t ??D?0 ??B?0??E?? 2.波动方程 设光纤无损耗，在光线中传播角频率为?的单色光，电磁场与时间t 的关系为ej?t，则波动方程为: ?2E?n2ko2E?0 ?H?nkH?0222 o k0为真空中的波数: k0? ?c?2?? 3.柱坐标下的波动方程 利用光纤的圆柱对称性，将波动方程写成圆柱坐标的形式: 电场的z分量Ez的波动方程为: ?2Ez1?Ez1?2Ez?2Ez?n?????2???Ez?0 ?r2r??2r2??2?zc??2 4.边界条件及贝塞尔函数的求解 ?d2R1dR?22m2?2??n1k0???2?R?0?2?drrdrr????22?dR?1dR??n2k2??2? m?R?02??dr2rdr?20r????0?r?a? ?r?a? 上式是贝塞尔函数的微分方程，可以有多种R?r?与?的组合满足方程，每一个组合称为一个模式。 在纤芯中名要求具有振荡特性，即 2n12k0??2?0,??n1k0 在包层中，要求具有衰减特性，即 22n2k0??2?0,??n2k0 所以传播传播常数必须满足的条件是 n2k0???n1k0 对于突变型光纤，贝塞尔方程的解得形式为: ?AJm(?r)?A?Ym(?r),R(r)???BKm(?r)?B?Im(?r), A、A?、B、B?为常数; r?ar?a Jm为第一类贝塞尔函数; Ym为第二类贝塞尔函数; Km为第二类变形贝塞尔函数; Im为第一类变形贝塞尔函数; ?、?定义为 ?2?n12k02??2 22?2??2?n2k0 波动方程的通解的形式为: im?i?z??AJm(?r)eeEz??im?i?z??BKm(?r)eer?ar?a 同样可以得到: im?i?z??CJm(?r)eeHz??im?i?z??DKm(?r)eer?ar?a A、B、C、D待定。 A、B、C、D斯格常数表示出了光纤纤芯和包层的电磁场分布情况。这些常数必须满足电场E、磁场H在纤芯和包层分层界面上切向分量连续的边界条件，即在r?a处有: Ez(r?a)?Ez(r?a) E?(r?a)?E?(r?a) Hz(r?a)?Hz(r?a) H?(r?a)?H?(r?a) 可得A、B、C、D四个常数必须满足的四个齐次方程。 这些方程只有系数矩阵的行列式为零时，才有平凡解。 在对贝塞尔函数的微分方程的求解过程中，应用纤芯—包层边界条件， 求得: 传播常数?的特征方程为 2?Jm?(?a)?(?a)??Jm?(?a)n2?(?a)??m???1KmKm1????? ??2?????22??J(?a)?K(? a)?J(?a)n?K(?a)naK???m1m?m??m??10??2 因无法导出?的解析表达式，只能数值求解 5.光纤的模式及其分布 模式:?mn所对应的这种空间分布，在传播过程中只有相位变化，没有形状的变化，且始终满足边间条件，这种空间分布称为模式。 进入光纤的光分解成为“模式”的离散光束，模式是在光纤内部存在的稳定的电磁场模型。 每个模式可以认为是以特定传播角传播的独立光束。 以不同角度入射到光纤的射线将形成光线中不同的模式 光纤中的电磁场模式不同于平面波导，一般Ez、Hz都不为零。 当方位角模数m?0时: 在传输方向无磁场的模式称为横磁模TMOn。 ?Hz?Hr?0,E??0;仅有Ez、Er、H?、H?? 在传输方向无电场模式称为横电模TEOn。 ?Ez?Er?0,H??0;仅有Hz、Hr、E?? 当m?0时，电磁场六个分量都存在，E和H都拥有纵向(即沿着传播方向z)分量，这些模式称为混合模。 磁场贡献为主?Hz?Ez?—HEmn 电场贡献为主?Ez?Hz?—EHmn 在弱导光纤中，Ez、Hz都近似零。存在的摸式线性偏振(linearly Polarrized)摸—LPmn。 为了决定截止条件，定义归一化频率V: 22V?k0a(n12?n2)?2?aNA??????2?an??? 归一化频率V越大，能够传播的模式数就越多。 V值较高的光纤可以支持较多的模式，称为多模光纤。 模式数目随V的减少快速减少。V?5,7个模式。 当V小于某个值，初HE11模式外，所有模式被截止。只支持一个模式(基模)的光纤被称作单模光纤。 单模光纤的截止波长: 单模条件: V?2.405 ???c,V?2.405 ???c,单模传输。 ???c,多模传输。