偏态t 分布下FIGARCH 模型的动态VaR 计算

偏态t 分布下FIGARCH 模型的动态VaR 计算 偏态 t 分布下 FIGARCH 模型的动态 VaR 计算 王吉培，旷志平 西南财经大学统计学院，成都 610074 E-mail: wangjip_001163.com摘 要: 随着全球金融市场的发展和金融创新的深化， 金融市场的波动性和脆弱性也不断加剧，如何度量的金融收益率的风险值是金融风险管理的核心内容。 针对金融时间序列多是有偏分布和“长记忆性”的特征，本文讨论了偏态 t 分布下分数维 GARCH 模型的动态 VaR 测算问题。在正态分布、学生 t 分布、广义误差分布下和偏态 t 分布的基础上估计模型参数，得出了动态 Var，并进行了失败率检验。实证结果明，基于偏态 t 分布下的 FIGARCH 模型测算的动态 Var 值克服了其他分布假设上的不足，能够较好的反映金融收益率的实际风险，最后在该分布下的 Pearson 吻合度检验也证实了模型分布选择的正确性。关键词:偏态 t 分布;FIGARCH 模型;动态 Var;“长记忆性”中图分类号: F830 文献标识码:A1. 引言 金融风险是指由于经济活动的不确定性而导致资金在筹措和运用中遭受损失的可能性。随着全球化的证券市场迅猛发展，资产证券化的趋势越来越强，外汇交易和衍生品交易成了金融市场交易的重要组成部分，这又使得金融机构所面临的市场风险进一步的加剧。金融资产收益序列的尖峰、厚尾现象也使传统的正态分布假定受到严重的质疑，因此如何有效地刻画金融资产收益序列的尾部特征，给出其渐近分布形式，及各种风险度量模型的准确估计方法和置信区间，对于金融机构改进风险度量方法、制定投资策略，国家制定风险监管等都具有重大意义1。 市场风险度量的方法有多种，VaR(Value-at-Risk)方法是目前金融市场风险测量的主流方法。VaR 是一定的概率水平下，证券组合在未来特定一端时间内的最大可能损失。对 波动率的研究众多，VaR 的计算和预测其实质是对波动率的计算和预测。 ( 其中由 Engle 1982) ，是最早成功地模拟了随时间变量的方差首先提出的自回归条件方差模型(即 ARCH 模型)模型2。ARCH 模型将方差和条件方差区分开来，并让条件方差作为过去误差的而变化，从而解决了异方差问题提供了新的途径。Bollerslev(1986)在此基础上提出了广义自回归条件异方差(GARCH)模型3。Nelson(1991)提出的 EGARCH 模型能更准确地描述金融产品价格波动的情况4。此外，还有 Glosten、Jaganathan 和 Runkle(1993)提出的 TARCH(Thresholed ARCH)等等5。基于参数方法计算的 Var 多是建立在 ARCH 模型的基础6-9，假设收益率符合某种特定的分布如:正态分布、学生 t 分布、GED 分布等，或者是假设收益率序列服从 RW、ARMA、GARCH 等特定的过程，通过假定的分布与样本均值、方差的匹配对参数进行估计.虽然在一定程度上解释收益序列的尖峰厚尾和波动率聚类现象，具有比较好的整体拟合效果，但是它仍未很好的描述金融序列的尾部特征。 这些研究的共同点和不足在于: 第一，由于受到市场发展水平、参与者成熟程度以及对利空和利好信息的反应差异等诸多因素的影响，收益率序列往往不是对称分布，而是呈现出不同程度的左偏和右偏，而一般的研究没有充分考虑收益率的分布特征，往往简单的假定为正态分布，虽然学生 t 分布能够较好的描述收益率尖峰厚尾的特征，广义误差分布综合了正态分布和学生 t 分布的特点，能够更加灵活的反映尾部特征，但这三种分布终究是对称分布，很难在偏态分布的情况下得到参数的精确估计， -1- 第二，由于金融时间序列中相距较远的时间间隔具有显著的相关性，表现为自相关函数缓慢递减，即“长记忆性”。众多文献中多是基于一般的 GARCH 类模型去研究波动性和风险，而这些模型是无力刻画金融序列中的“长记 忆”特征的。 因此，找出刻画金融时间序列的“长记忆性”的模型和能够准确反映有偏特点的合理分布，是解决这一问题的出发点，这也是本文的研究意义所在。2. FIGARCH 模型与 Var 测算2.1 FIGARCH 模型 FIGARCH 模型有 BaillieBollerslev 和 Mikkelsen(1996)提出，一般简写为 FIGARCH 。该模型比较擅长于反映这类金融资产的异方差特性以及长记忆的变动特性，从提(BBM)出至今，它已被许多人成功地应用到证券市场及汇率市场。 FIGARCH(1，d，1)模型的条件方差为: ht2 ω 1 β L 1 1 β L φ L 1 L ε t2 4 3 1 14 244 144444 2444444 4 1 3 d ω λ L 当 d ? 01 时，FIGARCH 模型描述的波动性市场记忆性过程，记忆长度是 d 的增 函数。当 d1 时，FIGARCH 模型就变成了 IGARCH 模型 当 d0 时，FIGARCH 模型 就变成了 GARCH 模型。2.2 关于 GARH 模型分布的假设 (正态高斯) 关于 GARH 模型的扰动项的分布，一般会有 4 个假设:Normal(Gaussian)分布，Student-t(t)分布，广义误差分布和偏 t 分布。在给定分布假设下，GARCH 模型常用极大似然估计法进行估计，似然函数可通过对偶牛顿算法或信赖域算法极大化得到。下面以 GARCH1，1模型为例，介绍这四种分布的对数似然函数10。1 对于扰动项服从 Normal(Gaussian)分布的 GARCH1，1模型，它的对数似然函数为: T 1 T 1 T Lnorm ln2π ? ln ht2 2 ?y t xt γ 2 2 2 1 2ht 1 这里的 ht 是 ε t 的条件方差。 22 对于扰动项服从 Student-t 分布的 GARCH1，1模型，它的对数似然函数为: k π k 2Γ 2 2 1 ln h 2 k 1 ln1 yt xt β T 2 T Lstud ln 2 k 1 2 ? t 2 2 1 ht2 k 2 Γ 2 参数的估计变成了在自由度 k f 2 的约束下是对数似然函数最大化的问题。当 k ? ?时，Student-t 分布接近于正态分布。3 对于扰动项服从 Generalized Error Distribution GED分布的 GARCH1，1模型，它的对数似然函数为: r/2 1 3 Γ 3 T T Γ yt xt β 2 T 1 LGED ln r ? ln ht2 ? ln r 2 3 r 2 2 1 1 Γ 1 ht Γ 2 r 2 r -2- 这里的 r f 0 。r 为 GED 参数，或自由度它控制着分布尾部的薄厚程度，r p 2 表示尾部比正态分布更厚， r 2 表示 GED 分布退化为正态分布; r f 2 则说明尾部比正态分布更薄。(4)偏态 T 分布的的似然函数: 偏态 T 分布有 Fernandez 和 Steel(1998)提出，在学生 T 分布上引入偏度参数，是对 T分布的扩展。 ν 1 ν 2 Lskst T log Γ log Γ 0.5log π ν 2 log log s 2 2 ξ 1 ξ T szt m 2 2 I 0.5? log σ t 1 ν log 1 2 ξ t t 1 ν 2在这里， I t 为指示函数: m 1 zt ? s It 1 z p m t s2.3 VaR 计算模型 VaR 方 法 是 国 际 上 新 近 发 展 起 来 的 一 种 卓 有 成 效 的 风 险 量 化 技 术 ， 它 是 英 文Value-at-Risk 的缩写，即在险价值。VaR 是一定时期内，在一定的置信度下，投资组合可能出现的最大损失，假设 X 代表某一金融资产的损失，其密度函数为 f x ，则 VaR 可以表示为: VaRa infx f X ? x gt a 1 当密度函数 f x 为连续函数时也可以表示为: VaRa F 1 a ，其中 F 为损失分布F x 的反函数。2.4 基于 FIGARCH 模型的 VaR 计算方法 VaR 估计的条件方差方法属于动态 VaR 计算的分析方法由于实际金融市场中收益率的厚尾性会导致 VaR 对风险的低估因此可以利用 GARCH 模型类中的条件方差来度量股票市场 VaR。这样 VaRa pt 1 za ht 其中 ht 是由 GARCH 模型估计得到的条件方差， za 为在一定 分 布 下 置 信 水 平 为 a 的 函 数 返 回 值 。 以 偏 态 t 分 布 的 Var 计 算 为 例 ，VaRa pt 1 sksta v ξ ht ，其中 sksta v ξ 是标准化的偏 t 分布， a 为给定的置信水平， v 为自由度， ξ 为偏度。偏 t 分布和标准化 t 分布的关系如 下: 1 a 1 ξ sta v 2 1 ξ a p 1 ξ 2 2 sksta v ξ ξ st 1 a 1 ξ 2 a ? 1 a v 2 1 ξ 2 -3- sta v 为标准化的 t 分布，再将 sksta v ξ 标准化后就得到了标准化的偏 t 分布: sksta v ξ 。2.5 VaR模型检验方法 对 VaR 模型可采用 Kupiec 检验。设 N 为检验样本中损失高于 VaR 的次数，T 为检验样本总数，P1-C，C 是即定的置信水平。则检验的假设为: N N H0 : P H1 : ?P T T 似然比统计量为: N N N T N lr 2log 1 log p N 1 P T N T T3.2样本描述统计 首先对沪深股指 300 现货和期货收益率进行了描述统计，结果表明沪深股指 300 现货收益率的均值为 0.026，标准差 2.7080，偏度为-0.363，峰度为 3.923，从 J-B 正态检验来看，收益率显著的拒绝原正态分布的假设。 表1 沪深 300 收益率的描述统计均值 中位数 极大值 极小值 标准差 偏度 峰度 J-B P值 0.026 0.402 8.931 -9.695 2.708 -0.363 3.923 24.404 0.000 选取样本序列滞后 200 阶的自相关函数进行样本序列记忆性特征分析。自相关函数的图像以偏离 0 均值的形式剧烈震荡，直至 200 阶才逐渐接近于 0，可见自相关函数以正弦曲线的形式缓慢衰减，对以前的影响有很强的依赖性，样本序列具有长记忆性特征。对样本序列异方差性的检验，采用 ARCH-LM 检验法，当取滞后阶数取 1 到 10 时，结果显示样本序列在 l,的显著性水平下，序列存在 ARCH 效应，说明沪深 300 收益率序列存在异方差性。3.3 模型估计参数 由样本的描述统计可以看出，在 0.05 的显著水平下，沪深 300 收益率并不服从正态分布并且偏度不显著为 0。因此不能用一般的基于正态分布的 GARCH 模型去建模。本文是在Skewed-t 分布下建立的 FIGARCH 模型，模型参数估计结果如下: 表2 基于 Skewed-t 分布的 FIGARCH 模型估计参数 C1 AR4 d- C2 a Beta1 偏度参数 Tail 参数值 0.0783 0.3827 0.4513 0.2145 0.6195 -0.2751 5.7319 P值 0.0981 0.0468 0.0402 0.0091 0.0000 0.0001 0.0001 对以上模型的残差进行ARCH-LM检验，残差及残差平方序列在多项滞后时的统计结果接受原假设，说明基于Skewed-t分布的FIGARCH模型能够很好的消除原序列的异方差。d的估计值为0.3827，伴随概率为0.0468，即在0.05的显著水平下”长记忆性”明显。偏度参数为 -4- ，伴随概率为0.0000，即在在0.05的显著水平下，沪深300不是一般假设的对称分布而是有偏分布。3.4 动态Var估计及检验 失败率检验法是通过比较实际损失超过 Var 的频率与一定置信水平下的上限值是否接近或相等，来判断 Var 的有效性。本文分别考察了在高分位点 0.95，0.975 和 0.99 以及低分位点 0.05，0.025 和 0.01 上基于四种分布得到的动态 Var，下表是 Var 的失败率检验结果。以 0.95 的置信水平为例: 伴随概率为 0.61804; 基于偏态 t 分布测算的 Var 的失败率为 0.95519，而正态分布下的失败率为 0.96698， 学生 t 分布下的失败率为 0.97170， 伴随概率只有 0.08806;伴随概率只有 0.02609 ;广义误差分布下的失败率为 0.97406，伴随概率只有 0.01262。在其他的置信水平下下，基于偏态 t 分布测算的 Var 的失败率都比其他分布下的失败率更接近给定的置信水平，即基于偏态 t 分布测算的 Var 更能准确的反映市场真实的 Var。以 0.025 和0.975 分位数为例，给出了偏态 t 分布下的 FIGARCH 模型的动态 Var 走势(图 1)。 表4 偏态 t 分布和正态分布下的 Var 失败率检验 基于偏态 t 分布 基于正态分布 Quantile Failure rate Kupiec LRT P_value Failure rate Kupiec P_value LRT 0.95 0.95519 0.24863 0.61804 0.96698 2.90950 0.08806 0.975 0.97406 0.01530 0.90157 0.98821 3.76140 0.05245 0.99 0.98821 0.13012 0.71830 0.99057 0.01399 0.90586 0.05 0.05660 0.37404 0.54081 0.06840 2.72310 0.09891 0.025 0.01887 0.71372 0.39821 0.04009 3.35980 0.06681 0.01 0.00708 0.40795 0.52301 0.01651 1.51700 0.21807 表5 学生 t 分布和广义误差分布下的 Var 失败率检验 基于学生 t 分布 基于广义误 差分布 Quantile Failure rate Kupiec LRT P_value Failure rate Kupiec P_value LRT 0.95000 0.97170 4.95030 0.02609 0.97406 6.22180 0.01262 0.97500 0.98821 3.76140 0.05245 0.98821 3.76140 0.05245 0.99000 0.99292 0.40795 0.52301 0.99057 0.01399 0.90586 0.050000 0.08962 11.46300 0.00071 0.08255 7.97260 0.00475 0.025000 0.04009 3.35980 0.06681 0.04009 3.35980 0.06681 0.010000 0.01179 0.13012 0.71830 0.01415 0.65374 0.41878 图 1:沪深 300 收益率的偏度估计和动态 Var -5- 模型分布设定检验 Pearson吻合度Pearson goodness-of-fit 检验能够比较真分布和理论分布的接近程度 Palm等，1997。将标准化残差 et 按大 小分成g个单元， ni 是第i个单元的观测数，在理论分布是真分布的原假设下，检 验统计量: g.