欧拉公式
欧拉公式的证明(是我摘录的)2008/10/23 16:49看到了q239urju空间里关于欧拉公式的证明。本着为人民服务的思想,我在此做一些补充:
著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系,而在复数域中却发现了他们可以相互转化,并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时,欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0,1,i , e , π ,绝妙地联系在一起。
方法一:用幂级数展开形式证明,但这只是形式证明(严格的说,在实函数域带着i只是形式上的) (就是q239urju空间里的那个)
再抄一遍: 设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开,就得到
e^z/e^x = e^(iy)
=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.....
=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)
由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-....
所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny)
方法二:见复变函数第2章,在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。
方法一是不严格的。
再 请看这2个积分
?sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2
?sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2; 上式左边相当于下式左边乘以i
于是上式右边相当于下式右边乘以i
然后化简就得到欧拉公式
这个证明方法不太严密
但很有启发性
历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系
然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式
设a t θ ?R,ρ?R+,a^(it)?z有:
a^(it)=ρ(cosθ+isinθ) 1
因共轭解适合方程,用-i替换i有:
a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ) 2
由1,2得ρ=1,点P[a^(it)]在单位圆上,a^(it)可表达为: a^(it)=cosθ+isinθ 3
设t=u(θ),对3微商有:
[a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=-sinθ+icosθ 整理有: [a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=(cosθ+isinθ)(cosπ/2+isinπ/2)约去a^(it)有:
u'(θ)=logae 4
4取积分有:
T=(logae)*θ+Ψ 5
θ?0时,t=limt=Ψ,带入3有:
a^(iΨ)=1 即:
Ψ=0 6
6代入5有:
T=(logae)*θ 7
7代入3有:
[a^(logae)]^(iθ)=cosθ+isinθ 化简得欧拉公式: e^(iθ)=cosθ+isinθ