高观点下的几个初等数学问题_3

高观点下的几个初等数学问题 作者 叶小英  摘要:初等数学与高等数学是密不可分的，若站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学显得明了简单了。本文运用高等数学的观点分析初等数学，着重用例子把初等数学问题用高等数学解法来解答，从中找到两者的联系。 关键词：高等数学；初等数学；分解因式；数列；不等式 1 引言 高等数学与初等数学的研究对象、研究有本质上的不同，但两者之间存在着紧密的联系,高观点下的初等数学(参见文献[1])，是从高等数学的观点和角度来审视，理解初等数学问题，对中学数学的理论理解及解题思路都有很大的指导作用。 1.1 从高观点的角度看初等数学问题的必要性 在中学学数学时，对有些概念和方法没有加以解释与说明就直接应用，虽然使用时能解决问题，但要深入地理解是不可能的。 如果只局限于用初等数学的眼光来看初等数学问题，很多问题是无法看清的. 正如德国著名数学家克莱因曾经告诫我们的一样，只有在完全不是初等数学的理论体系中，才能深刻地理解初等数学。 例如，“形如 (a,b都是实数)的数”叫做复数。这是中学学习的复数，当时对这里的“+”很疑惑。 与 是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这里的“+”只能看作是将 与 连结成一个整体的符号。那么，能不能把这个符号理解为普通的加法符号呢？仅用初等数学眼光来看都是模糊的。这是初等数学的局限性。 1.2 用高等数学思想思想剖析初等数学问题更明了 另一方面，初等数学是高等数学的基础，许多初等数学的内容都是高等数学中的模型。如初等代数中的代数式、方程、数系、函数等，都是数学模型，在高等数学中进一步抽象为集合与映射空间、群等现代数学概念。数学的本质, 数学的作用，也就是抽象与概括。从大量不同的对象之间，找出其相同之处，从而得到它们之间的逻辑联系和数量关系，组成一个统一的结构体。高等数学正是在初等数学的基础上发展起来的。高等数学与初等数学之间有着必然的联系，许多初等数学无法解答的问题在高等数学中得以解决。 例如，前面提到的“形如 (a,b都是实数)的数”叫做复数。这是中学学习的复数，当时对这里的“+”很疑惑， 与 是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这里的“+”只能看作是将 与 连结成一个整体的符号。那么，能不能把这个符号理解为普通的加法符号呢？ 为此，在大学时学习近代数中复数的构造性理论后才能作出正确圆满的解答。 C是复数集，+，·分别是复数的加法与乘法，则 （C；+，·）是一个域，叫复数域。对应关系： 之下可证集合 与实数同构，故可把 看成实数 ,即 = ，从而复数域的一个扩域。 由复数乘法的定义得 （0，1）·（0，1）=（－1，0）=－１。 因此复数（0，1）和 的性质相同。它是是 的一个根， 令 ， 为虚数单位。 因为，（0，1）·（ ，0）=（0， ）， 所以，（0， ）= . 故任一复数（ ， ）就可以写成（ ， ）=（ ，0）+（0， ）= + .于是可知 中的“+”不仅是形式上的符号，它与算术运算中的“+”完全一致。 2 高等数学许多方法和技巧用于解初等数学题并使问题得以深化和拓广 因此有必要阐明高等数学与初等数学之间的联系, 突出高等数学对初等数学的指导作用，学会用高等数学的思想、方法为工具，从不同的角度去研究初等数学的问题。这些问题可以是与中学教学内容密切相关但又未能完全解决，而应用所学高等数学知识可以解决的理论、方法问题，也可以是初等数学中已经解决， 而运用高等数学的知识，从另一更高的角度重新认识初等数学中重要的概念、理论实质及其背景, 还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决初等数学中一些或一类问题（尽管这些问题可以用初等的方法来解决） 等等。总之应用高等数学的方法、思想、工具使学生对初等数学的本质，以及与高等数学之间的内在联系，有了更深刻的认识。 以下着重用例子在高观点下分析几个初等数学问题。 2.1因式分解问题 因式分解是一种重要的恒等变形，它的方法很多，技巧性很强，不易掌握，如用高观点来解决这类问题则可达到化难为易的效果。 例1　把 分解因式。用初等数学方法，需要对上式拆项。即： 显然上式分解有一定难度，介利用微分法有助于找重因式;先对 求导得 ，因此可知原式必有三重因式即： 。 除了利用微分法可以帮助分解因式，还可以利用行列式的方法。 引理1（一元多项式）设 是数域F上的一元多项式 则 = 证明（参见文献[7]）。 引理2利用三阶行列式的平行线法，可很快算出循环行列式的值； 设A= ，则 证明（参见文献[4]）。 例2　分解多项式 。 用初等数学方法，及之前的微分法都不易分解，但利用引理1，用行列式的方法会较易求得。 解：由引理1可得， 原式= = = = （行列式的计算原理参见文献[9]） 例3　因式分解  。 解：由引理2知 ,则 由上两例可知,利用行列式也可使某些因式分解问题简化。 2.2数列问题 引理3 如果行列式中有两两行(列)的对应元素成比例,则此行列式等于零. 证明(参见文献[4]) 由引理3，可知若不相等的三数 成等差数列，且 则 也成等差数列。 推论1，设 分别是一等差数列的第 项，第 项，第 项的充要条件是 。 证：充分性， 由   ， 知 三点共线，不妨设该直线的方程为了 ，得 三数所在数列的通项公式为 ，可知 是以 为通项的等差数列的第 项，第 项，第 项。 必要性， 已知 ，分别是一等差数列的第 项，第 项，第 项， 设它们所在的数列首项为 ，公差为 ， 所以， 例4　已知等差数列 的第 项为 ，第 项为 （0＜ ＜ ）， 求 。 解：设等差数列的第 项为 ， 由推论1得 得 ∴ ∴   即 ∴ 推论2，若 分别为一公差 ≠0的等差数列的第 项，第 项，第 项，则 分别是另一等差数列的第 项，第 项，第 项的充要条件是 证明（参见文献[7]）。 例5:已知某一三角形三边 成等差数列，三边长倒数 ，也成等差数列，问此三角形的形状。 解， 成等差数列， 也成等差数列 ∴ 从而 得 或 或 ， 又因为 成等差数列 故 ，所以此三角形为等边三角形。 2.3一元函数微积分学在中学数学中的应用 导数是一元微分学的基础，可以说微分学的所有问题都与导数分不开；微分是函数在某点处切线上对应于横坐标增量之间的纵坐标增量，正是微积分中“以直代曲”的根本依据；中值定理是利用导数研究函数在区间上整体性态的有利工具, 这些对于研究初等数学的函数、平面曲线等问题提供了帮助。 2.3.1 利用导数几何意义，求初等数学问题 利用导数几何意义，容易求出曲线上点的切线和法线方程及两平面曲线的交角等初等数学问题。 例6　求圆 与抛物线 的交角。 分析：所谓两曲线的交角, 指的是它们在交点处的切线的夹角 。故需先求出两曲线的交点, 然后求出该点处的两条切线, 再求直线夹角即可。易求出圆 与抛物线 有两个交点(2,2)与(2,-2), 由于图形关于X轴对称，故在两个交点处的交角相等。不妨只求在交点 (2,2)的交角。 由图知: 上半圆方程: 故 从而 上半抛物线方程: 故   从而 故得 从而 从此例可以看出, 对于一些初等解法比较复杂的问题, 用高等数学解法要相对简便。 2.3.2不等式的的问题 利用中值定理解中学数学中的不等式 例7　 证明:当 时, 不等式 在 时成立。 分析:设 则 当 时, 对 在区间 上应用拉格朗日中值定理, 有 , 当 时, 故 从而得证。 此例若考虑中学解法, 需将 展开, 经过讨论, 再适当放大和缩小后得出结果。 例8　证明:当 时, 。 此题可用中值定理证,也可用 的单调性来证. 证明:设 则 在 上连续,在 上可导,由拉格朗日定理知在 内至少存在一点 ,使得 ,即 从例7,8 可以看出, 利用中值定理来证明不等式, 较初等解法要相对简单, 同时可以得到一些常用的公式。 2.3.3近似计算问题 伴随着无理式, 超越式及其函数的出现, 初等函数值的近似计算 (估计)也是中学数学不可避免的问题,这些问题的解决都可以通过微分的原理和方法得以简化。 例11　计算 的近似值。 分析：因为 所以 , 利用泰勒展式: （参见文献[5]）再利用交错级数的余项估计法, 确定项数后,可以求出其误差不超过 的近似值为1.9952623。 例12　求 的近似值。 分析：最简单的方法是利用微分近似公式： ( 很小)。 令 则 取 ， 得 即为近似值。 3  高等数学与初等数学的内在联系 3.1内容的互补性 高等数学中的一些概念是初等数学中一些量的抽象，初等数学的内容是高等数学中抽象概念的实例。它们的关系是：个别和一般，有限和无限（初等数学的级数求和就是高等数学中的求极限）、静止和运动（初等数学的等量代换就是高等数学的代数思想）、推算和预测 ，（初等数学中用列或作图法解决：已知现在的值求原来的值，就是高等数学中的列表或作图统计）。 3.2 思维形式的相通性 如果在初等数学的数学教学过程中注意二者的内在性，准确地把握每个的内涵和外延，融会贯通，并且积极发展学生的思维，将会对数学教学水平的提高起到一定的作用。 因此，我们站在高等数学的角度来理解初等数学，便会感到初等数学的博大和精深；如果在初等数学的教学过程中能科学地认识高等数学与初等数学在内容上的互补性，能有意识地运用高等数学与初等数学在思维形式上的相通性，准确地把握每个知识点的内涵和外延，融会贯通，并且积极发展学生的思维，将会对初等数学教学水平的提高起到一定的推动作用。 总之, 要把高等数学的思想全面渗透入初等数学, 就要在高等数学概念理论的通俗化, 与初等数学概念理论的抽象化上, 寻找结合点,从而在高等数学的观点下, 继续深入和全面研究高等数学在初等数学中更普遍更深入的应用。 参考文献 [1]舒湘芹等译，高观点下的初等数学[M]．上海：复旦大学出版社,2008. [2]余元希等，初等代数研究()[M]．北京：高等教育出版社，1988．107-135. [3]韩士安等，近世代数[M]．北京：科学出版社，2004．197-206. [4]乐茂华，高等代数[M].南京:南京大学出版社,2002.53-81. [5] 华东师范大学数学系编,数学分析[M]. 北京:高等教育出版社,2001. [6]同济大学应用数学系主编,高等代数[M]. 北京:高等教育出版社,2002.