高中线性规划
一、 线性规划:
在高中阶段,所要学习的线性规划是比较简单的。在这个阶段,线性规划的定义为 求一个函数,在一定区域内的最大或最小值。用数学语言描述为
minaxby,maxaxby,目标函数: 或
约束条件:第一象限内的两条直线,将这两条直线记为
(这是第一条直线) mxnyb,,111
(这是第二条直线) mxnyb,,222
xy,,0,0 (第一象限内都是正的) xy,
以上的各个字母为已知的数。上面的数学语言也许很难,不过,我们可以先通过一个例子来认识线性规划
max24xy, 求
约束条件:
xy,,1
22xy,,
xy,,0,0
24xy,xy,,2030xy,,这个线性规划的意义是:求函数在由第一象限内的两条直线与围成的区域内的最大值。
在高中阶段解决线性规划用的是图解法。意为先把区域图出来,再令目标函数=0,得到一条直线,用这条直线沿区域自左向右移动(或从下往上移),看求最大值还是最小值,如果求最小值则是直线与区域交的第一点。如果求最大
值,则是直线与区域交的最后一点。
下面先看两个例子。
min24xy,例1.
约束条件:
xy,,1
22xy,,
xy,,0,0
解:先画出图形:
y
22xy,, 直线与区域交的第后一点 (0,2)
240xy,,
直线与区域交的第一个点 (1,0)
x
o
xy,,1
240xy,,所求的区域为上图阴影部分。令目标函数,因为求的是最小值,我们找到直线与区域交的第一个点(1,0),
21402,,,,于是将这个点代入到目标函数的最小值
max23xy,例2.
约束条件:
xy,,1
23xy,,
xy,,0,0
解:画出图形得
23xy,,
(2,1) 直线与区域交的最后一点
230xy,,
x
o
xy,,1
直线与区域交的第一个点 (0,0)
230xy,,令目标函数,因为求的是最大值,我们找到直线与区域交的最后一点(2,1),于是将这个点代入到目标
22317,,,,函数的最大值
总结:上面的解题过程,显示了区域的重要性,试想,如果区域画错,则所选取第一个点与最后一个点出错,则整个题出错。因此如何画出正确区域,是解题的关键。
画出正确区域:1,画出直线。我们可以用两点确定一条直线,找到直线上两个点,然后连接这两个点就得到这条直线。2,找区域。主要是确定区域在直线的左边还是右边,我们可以代入一些特殊的点。比如(0,0)。如果代入的点不满足不等式,则含(0,0)侧的区域不满足不等式,排除之。
心得:我们发现,一般情况下,直线所围成的区域是一个多边形;不管是求最大值,还是求最小值,最终选取的
那个点一定是区域的顶点;有时候,所有约束所围成的区域不是封闭的,这时候,线性规划无解;当目标函数的直线
与线束条件的直线平行时,此时,目标函数将有无穷多个解。
线性规划的深入:
下面先看第一个例子
max235xy,,例3(
约束条件:
xy,,1
23xy,,
xy,,0,0
分析这个例子,它与例2区别只有一个,就是目标函数多了“”,试想下,如果例2能求到最大值,则例3的,5最大值也就是例2的最大值+5,因为例2的最大值为7,所以例3的最大值为7+5=12.(如果例3的目标函数是
max236xy,,,那么你现在会做了吗,)
max23xy,例4.
约束条件:
xy,,1
23xy,,
xy,,1,1
xy,,1,1分析这个例子,他与例2的区别是。我们回过头去看线性规划,它的要求是
xy,,0,0mxny,,,,1,1xmyn,,,,1,1,那么这个题怎么做呢,我们可以令,那么代入到上面,就得到
下面的问题
max2(1)3(1)mn,,, 约束条件:
(1)(1)1mn,,,,
2(1)(1)3mn,,,,
mn,,,,11,11
化简得到下面的问题:
max235mn,,
约束条件:
mn,,1
24mn,,
mn,,0,0
而这个问题,可以使用例3的想法。