等差数列求和详细教案

等差数列求和详细 课 等差数列求和 学习内容与过程 引入 数列中，称为数列的前n项和，记为. ,,,,Saaa，a，a，？，annn123n 与之间的关系: Sann ,S(n1),1由的定义可知，当n=1时，=;当n?2时，=-，即= SaSaSSa,nnnn,1n11,,SS(n2)nn,1, 1.等差数列的前项和公式 n na，a()1nS, (1) n2 证明: ? S,a，a，a，？，a，an123n,1n ? S,a，a，a，？，a，annn,1n,221 ?+?: 2S,(a，a)，(a，a)，(a，a)，？，(a，a)n1n2n,13n,2nn na，a()1nS, ? ? 由此得: a，a,a，a,a，a,？？2S,n(a，a)n1n2n,13n,2n1n2 (1)nn,dS,na，(2) n12 S 用上述公式要求必须具备三个条件:n,a,a n1n (1)nn,dS,na， 但a,a，(n,1)d 代入公式1即得: n1n12 S 此公式要求必须已知三个条件: (有时比较有用) n,a,dn1 新疆王新敞奎屯Sn,a,d,a总之:两个公式都表明要求必须已知中三个 n1n na，a()1nS,aaa (3)两个公式的选择:若已知首项及末项用公式较简便;若已知首项及nn112 (1)nn,dS,na，公差d用公式较好; n12 na，a()1nS,a，a,a，a (4)在运用时，注意性质“ m+n=p+q , (m, n, p, q ?N ) ”nmnpq2 的运用; 例1 一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项 公式. 分析:将已知条件转化为数学语言，然后再解. 解:根据题意，得=24, ,=27，则设等差数列首项为,公差为d, SSSa5421 4(4,1)d,4，,24a1,a,3,,21则 解之得: ?=3+2(n,1)=2n+1. a,,nd,25(5,1)2(2,1)dd,,(5，),(2，),27aa11,22, 变式1:已知等差数列的前5项之和为25，第8项等于15，求第21项;等差数列-16，-12，-8，...，,,an 前几项的和为72, 48a，a,，求S245 变式2:在等差数列中，(1)已知;(2)已知 ,,aa,10,S,5,求a5n658 32052S,,n，nn 变式3:已知数列的前n项和，求数列的通项公式 ,,,,aa22nn 2. 等差数列前n项和的性质 Sn (1)在等差数列,,a中，连续m项的和仍组成等差数列，即，, a，a，...，aa，a，...，an12mm，1m，22m ，...仍为等差数列 a，a，...，a2m，12m，23m (1)ddnn,d2S,n，(a,)nS,na， (2)根据，知，当d?0，是一个常数项为零的二次n1n1222 2新疆王新敞奎屯式因此可设 S,An，Bnn ,,a (3)在等差数列中: n 2ndS,S,S,S,S ，...，也成等差数列，公差为 n2nn3n2n S,S(m,p)，则S,0 若 mpm，p S,p,S,m(m,p)，则S,,(m，p) 若 mpm，p S,n(a，a),n(a，a)a,a 若项数为2n，则(为中间两项)，2n12nnn，1nn，1 Sa奇nSSnd,,,, 奇偶S偶an，1 Sn奇S,(2n,1)a 若项数为2n-1，则， S,S,a,,2n,1nn奇偶偶Sn,1 2 aSm2m,1 若数列与均为等差数列，且前n项和分别是，，则 ,,,,aSTb,nnnnbTm2m,1 aa，12m,1(21)m,,2aaaaS，mm12m,122m,1,,,,bb，b2bbbT，12m,1(证明:) mm12m,12m,1(21)m,,2 例2 在等差数列中， ,,aS,100,S,10，求Sn10100110 变式1:已知非常数等差数列{}的前n项和满足 Sann 25Snm,n，mn2(1)n10,m,3,2(n?N, m?R), 求数列{}的前n项和. a5n，3 22(1)m,n，mn52n(m,1)n，mn2m,3,2解:由题设知，,lg(),lgm，nlg3，lg2, Sn5 (m,1)m22lg2lg2 即 ,[]n，(lg3，)n，lgm, Sn55 ? {}是非常数等差数列，当d?0，是一个常数项为零的二次式 an (m,1)2122lg2?S?0且lgm,0, ? m,,1, ? ,(,lg2)n，(lg3,lg2)n, n555 3lg3,lg2 则 当n=1时，, a15 4121,nlg2，lg3，lg2SaS当n?2时,,,,(,lg2)(2n,1)，(lg3,lg2), nnn,15555 414,nlg2，lg3，lg2,lg2a?,，d=a,a= nn，1n555 4111,(5n，3)lg2，lg3，lg2,4nlg2，lg3,lg2a= = 5n，3555 31lg3,lg2aa数列{}是以=为首项,5d=为公差的等差数列， ,4lg25n，385 311lg3,lg2a ?数列{}的前n项和为n?()，n(n,1)?(,4lg2),5n，325 212,2nlg2，(lg3,lg2)n 5 例3 涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比问题，一般宜用性质来求解 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d. a 解:设这个数列的首项为, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等差数列，1 12a，66d,354,1,ad6，3032由已知得, 解得d,5. 2,,,ad6，30271, 3 S，S,354,偶奇,S32解法2:设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得,求得S偶,192，偶,,,S27奇,S奇,162，S偶,S奇,6d, ? d,5. 变式1:项数为2n+1的等差数列的奇数项的和与偶数项的和之比为 ,,an 例4 涉及两个等差数列前n项和之比问题，一般是利用公式将它转化为两项和之比的问题，再利用 函数思想来解决问题 5n，3新疆王新敞奎屯 两个等差数列，它们的前n项和之比为, 求这两个数列的第九项的比 2n,1 17()a，a117aa，aS89117172 解:. ,,,,'173bb，bS911717()b，b1172 S2nan8变式:已知等差数列{}、的前n项和分别为和，若，求 ,,,aSTbnnnnT3n，1bn8 3. 等差数列前n项和公式与二次函数 Sn 区别 联系 图像是一系列孤立解析式都是二次式 ,S N定义域为 n 的点 f(x)定义域为R 图像是一条光滑的 抛物线 2B (1)设，利用二次函数的相关性质及图像可求其最值，但并不一定是时，S,An，Bnn,,n2A BBB,,B,,N,,N,S有最大值(或最小值)，而是当时，;而当时，n取与最接n,,n2A2A2A2A 近的正整数即可 dd22d，0S,n，(a,)nS (2)，即，由二次函数性质可知，时，有最小值;S,An，Bnn1nn22 d，0S时，有最大值 n d,0d,0SSa,0a,0 (3)，时，有最大值;，时，有最小值; nn11 SSaSnN, 最值的求法:?若已知，可用二次函数最值的求法();?若已知，则最nnnn， a,0a,0,,nnnnN,值时的值()可如下确定或 ,,，a,0a,0，1，1nn,, 4 a,25,S,S例5 在等差数列中，，求的最大值 ,,aS1179nn 变式1 在等差数列中，，则取最大时，n= ,,aSa，0,S,Snn149 m,3变式2 等差数列的前n项和为，公差，若存在正整数m()，使得，则当,,aSS,ad，0nnmm 时，有 San，mnn 巩固练习 1({a}是首项a,1，公差为d,3的等差数列，如果a,2 005，则序号n等于 ( n1n 2(等差数列{a}中，a=1，a+a=14，其前n项和S=100，则n= ( n135n 变式:等差数列{a}中如果a=6，a=9，那么a= ( n693 3(数列的通项，则其前项和 ( S,an,,，52nnn 24(设S是数列{a}的前n项和，且S=n，则{a}是( ) nnnn A.等比数列 B.等差数列 C.等差数列且等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 5(等差数列{a} 中，S=90，则a= ( ) n158 (A)3 (B)4 (C)6 (D)12 变式:等差数列{a}中，a+ a+ a+ a+ a=450，求a+a= ( ) n3456728 (A)45 (B)75 (C)180 (D)300 6(数列{a}的前n项和为S，若( ) SSS,,2,10,则等于nn246 (A)12 (B)18 (C)24 (D)42 变式:等差数列{a} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( ) n (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 7(在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于 (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 1变式:等差数列{a}的公差为，且S=145，则奇数项的和a+a+a+„„+ a=( ) n100135992 (A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值 8. 已知一个等差数列的前5项的和是120，最后5项的和是180，所有项的和为360，此数列的项数 为 A(12项 B(13项 C(14项 D(15项 9(若数列{a}是等差数列，首项a,0，a，a,0，a?a,0，则使前n项和S,0成立n12 0032 0042 0032 004n的最大自然数n是 A7n，1n{a},{b}的前n项和分别为A和B,且满足,(n,N)10(若两个等差数列则 nnnn，B4n，27na11的值是 b11 5 73478A( B( C( D( 42371211.数列通项公式为a,n,5n，4，问(1)数列中有多少项是负数,(2)n为何值时，a有最小值,nn并求出最小值. 12.设等差数列{}的前n项和为，已知,12，>0，<0，(1) 求公差d的取值范围; SaaSSnn31312 新疆王新敞奎屯(2) 指出, , , „„, 中哪一个最大，说明理由 SSSS31212 12，11,S,12a，d,01212，11,0ad,,12, 解:(1) , ,,13，12a，6d,01,,S,13a，d,01312, 24，7d,0,24? ,，2d,12, 代入得 , ? ,0, ? ，>0, SaaaaaaS1377676712 ?>0, 最大. aS66 课后作业 1.在等差数列,,中，已知，那么等于( ) aaS,90n158 A.3 B.4 C.6 D.12 a1SS,8,则124,,2.在等差数列a中，若等于( ) dn 2910 A. B. C.2 D. 1093 ,,a3.已知等差数列a，a，...，a，a,99a，a，...，a，a,的公差为1，且，则( ) n129899369699 A.99 B.66 C.33 D.0 ,,a4.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( ) n A.9 B.10 C.11 D.12 5.若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( ) A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 ,,aa，0,a，a，0,a,a，0，S，06.等差数列中，则使其前n项和成立的最大自然数n是( ) n16767n A.11 B.12 C.13 D.14 ,,aSS,20,则a，a，a7.等差数列中，是其前n项的和，若=( ) nn5234 A.15 B.18 C.9 D.12 ,,,,a,,ba,25,b,75,a，b,100a，b8.等差数列和中，，则数列的前100项的和为( ) nn11100100nn A.0 B.100 C.1000 D.10000 6 S7na5n{a},{b}nST,,的值是的前项和分别为和且满足9.若两个等差数列则 nnnnbTn，3n5 22721 A(7 B( C( D( 384 10.等差数列中，，，则 ,,aa，a，a,,24a，a，a,78S,n20123181920 11.等差数列中，,，则 ,,aS,4a，a，a，a,S,1n8171819204 212.设数列是公差不为零的等差数列，是数列的前n项和，且，求数 ,,,,aSaS,9S,S,4Snnn3242 列的通项公式 ,,an 22,,13.数列是公差不为零的等差数列，且;(1)求的通项公式;(2)求数列a,,,,aaa,1,a,annn10915 的 的前n项和 Sn 7