黄金分割论文

黄金分割论文 课题组成员：钟子韵（组长） 陈轩 陈英炜 吴琦轩 黄立鹂 蔡纬日 施煜勋 指导老师：廖馥兰 （一）研究背景 关于黄金分割的起源大多认为来自毕达哥拉斯，据说在古希腊，有一天毕达哥拉 斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发 现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比列被毕达哥斯拉用数理的方式达出来。被 应用在很多领域，后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”也有人称其为 “金法”。在金字塔建成1000年后才出现毕达哥拉斯定律，可见这很早既存在。只 是不知这个谜底。 黄金分割在自然界和人们生活中到处可见。我们对这“黄金分割”这个名词其 实并不陌生，但我们总是不能细心地发现在它的日常生活中存在。这极大刺激了我们 对黄金分割探索的好奇心。怀着这么一颗好奇心对“关注黄金分割”这一研究性学习课 题展开研究。 （二）研究的目的和意义 ：通过对黄金分割的学习我们可以在许多地方运用到它它可以使我们周围的一切变 得美丽。特别突出的是在设计方面 让我们会有更高级的思想，审美观也会增强。通过调查 研究学习各种各样有关黄金分割定律在生活中的应用，了解数学的实用价值 激发学习数学的兴趣，增强理论与实际的联系。 ：由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一 个十分有趣的数字。这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域， 而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。因为它在造型艺术中具有美学价值， 在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应 用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割。正因为它在建筑、文艺、工 农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。黄金 分割是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富 的美学价值。应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14。 （三）概述 黄金分割又称“黄金律” ，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为 二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1?0.618或1.618?1， 即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起 人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 （四）介绍 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之 比。其比值是5^/2-1/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。另 一侧则是3-5^/2。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中 外比。。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618。来近似，通过简单的计算就可以发 现： 1/0.618=1.618 (1-0.618)/0.618=0.618 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在 管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。 让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”。 这些数被称为“斐波那契 数” 。特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是 斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现， 它前面两个数之和。 相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄 金分割比的。即f(n)/f(n+1)-?0.618…。由于斐波那契数 都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼 近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面大 作黄金分割点的一种方法 的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近 黄金分割比的。 一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。 五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有 不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五 角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符 合黄金分割比的。正五边形对角线连满后出现的所有 三角形，都是黄金分割三角形。 作黄金分割点的一种方法 黄金分割三角形还有一个特殊性，所有的三角形 都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角 形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三 角形的三角形。 由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18 。 黄金分割点约等于0．618：1 是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的 点。线段上有两个这样的点。 利用线段上的两个黄金分割点，可以作出正五角星，正五边形等。 2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。谓 黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分（长的一部分）对于全 部之比，等于另一部分（短的一部分）对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的方 法，是计算斐波契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比2/3，3/5，5/8， 8/13，13/21，...近似值的。 黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们 称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。 其实有关“黄金分割”，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数 学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度 由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。 因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这 一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的 比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上 一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。就连植物界也 有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分 割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。正因为它 在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地 称它为“黄金分割”。 黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比 例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。 黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为 短边 1.618倍。黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。在很多艺 术品以及大自然中都能找到它。希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达?芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形。《蒙娜丽莎》的脸也符合黄金矩形，《最后的晚 餐》同样也应用了该比例布局。 （五）生活应用 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见。人们的肚脐是人体总长的 黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618…；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618……的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数学0.618…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院， 或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618…有关的数据。人们还发现，一些名 画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618…处。艺术家们认为弦乐器的琴马 放在琴弦的0.618…处，能使琴声更加柔和甜美。 数字0.618…更为数学家所关注，它的出现，不仅解决了许多数学难题(如：十等分、五等分圆周；求18度、36度角的正弦、余弦值等)，而且还使优选法成为可能。 优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的 强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间，为了求得最恰当的加入量，需要在1000克与2000克这个区间中进行试验。通常是取区间的中 点(即1500克)作试验。然后将试验结果分别与1000克和2000克时的实验结果作比 较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做试验，再比较端点， 依次下去，直到取得最理想的结果。这种实验法称为对分法。但这种方法并不是最快 的实验方法，如果将实验点取在区间的0.618处，那么实验的次数将大大减少。这种 取区间的0.618处作为试验点的方法就是一维的优选法，也称0.618法。实践证明，对于一个因素的问题，用“0.618法”做16次试验就可以完成“对分法”做2500次试验所达到的效果。因此大画家达?芬奇把0.618…称为黄金数。 专题：黄金分割与人的关系 黄金分割与人的关系相当密切。地球表面的纬度范围是0—90?，对其进行黄金分割，则34.38?—55.62?正是地球的黄金地带。无论从平均气温、年日照时数、年降 水量、相对湿度等方面都是具备适于人类生活的最佳地区。说来也巧，这一地区几乎 囊括了世界上所有的发达国家。 人体美学中的黄金分割 人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局 部与整体的辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一种完整的美。本文 主要讨论美学观察的一些定律。 （一）黄金分割律 这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古 希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分 为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618 : 1或1 : 0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。 为什么人们对这样的比例，会本能地感 到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。据研究，从猿到人的进 化过程中，人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史 积淀中固定下来。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，凡是与人体 相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世 代相传的审美经典规律，至今不衰！近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了 人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。 黄金点：(1)肚脐：头顶－足底之分割点；(2)咽喉：头顶－肚脐之分割点；(3)、(4)膝关节：肚脐－足底之分割点；(5)、(6)肘关节：肩关节－中指尖之分割点；(7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上之分割点；(9)眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(10)鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(11)唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(12)颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下 1/3与上中2/3之分割点；(13)左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；(14) 右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。 面部黄金分割律 面部三庭五眼 黄金矩形：(1)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；(2)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；(3)鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根 至鼻底间距为长；(4)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；(5)、 (6)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为 长。 黄金指数：(1)反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；(2)反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。 0.618，作为一个人体健美的标准尺度之一，是无可非议的，但不能忽视其存在着“模糊特性”，它同其它美学参数一样，都有一个允许变化的幅度，受种族、地域、个体差异的制约。 （二）比例关系 是用数字来表示人体美，并根据一定的基准进行比较。用同一 人体的某一部位作为基准，来判定它与人体的比例关系的方法被称为同身方法。分为 三组：系数法，常指头高身长指数，如画人体有坐五、立七，即身高在坐位时为头高 的五倍、立位时为7或7.5倍；百分数法，将身长视为100%，身体各部位在其中的 比例；两分法：即把人体分成大小两部分，大的部分从脚到脐，小的部分为脐到头顶。 标准的面型，其长宽比例协调，符合三停五眼。三停是指脸型的长度，从头部发际到 下颏的距离分为三等分，即从发际到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下颏各分为一等分，各称 一停共三停；五眼是指脸型的宽度，双耳间正面投影的长度为五只眼裂的长度，除眼 裂外、内此间距为一眼裂长度、两侧外眦角到耳部各有一眼裂长度. 医学与0.618有着千丝万缕的联系，它可解释人为什么在环境22至24?时感觉最舒适。因为人的体温为37?与0.618的乘积为22.8?，而且这一温度中肌体的新 陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。科学家们还发现，当外界环境温度为 人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服．现代医学研究还表明，0.618与养生之道息息相关，动与静是一个0.618的比例关系，大致四分动六分静，才是最佳的养生之 道。医学还发现，饭吃六七成饱的几乎不生胃病。 高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。画家们发现，按0.618:1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均 只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长 双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。难怪许多姑娘都愿意穿上高跟 鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖。音乐家发现，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618?1时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。 植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界。尽管叶子形 态随种而异，但它在茎上的排列顺序（称为叶序），却是极有规律的。有些植物的花 瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的。你从植物茎的顶端向下看，经细心观 察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5?角。如果每层叶子只画一片来代表， 第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5?，以后二到三层，三到四层，四 到五层……两叶之间都成这个角度。植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、 通风都是最佳的。叶子的排布，多么精巧！叶子间的137.5?角中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是360?，360?-137.5?=222.5?，而137.5??222.5??0.618。 瞧，这就是“密码”！叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618。 （六）问卷调查结果及 题数 A B C D 1 5 12 9 0 19.23% 2 3 6 14 3 53.84% 3 3 6 13 4 50.00% 4 5 11 12 3 40.00% 5 1 14 11 0 53.84% 结论 同学们对于黄金分割较了解，但在生活中对其运用的人不多 （七）学习 在这次活动中，我们很好的发挥了团队精神,在做测量人体中的黄金分割点的实 验上，我们的团队精神尤为可见。实验过程中，大家非常互助，合作十分成功，让我 们感受到了空前的团结。这次实验让我们学到了很多。 从4600年前修建的埃及金字塔到2400年前修建的巴特农神殿(帕台农神庙)，再到埃菲尔铁塔、东方明珠、联合国大厦，在这许多著名的建筑中，人们发现了一个惊 人的巧合，那就是它们都运用了黄金分割。妩媚的爱神“维纳斯’、健美的“大卫”、 潇洒的阿波罗，还有气势磅礴的兵马俑，无与伦比的造型，折射出人们对黄金分割的 领悟与运用。 斯特拉迪瓦里在制造他那有名的小提琴时，运用了黄金分割来确定f形洞的确切位置；二胡要获得最佳音色，其千斤须放在琴弦长度的0.618处；当我们聆听贝多芬、莫扎特、巴赫、舒伯特的乐典时，我们发现乐曲的高潮部分大多在5?8的交叉点上„„ 让我们把目光投向神奇的大自然。向日葵花张开笑脸，朝一个方向的花瓣与朝另 一个方向的花瓣数目的比近似一个黄金比；娇艳的玫瑰、质朴的雏菊，它们内外花瓣 数目的比也接近一个黄金比；还有那工整的蜂巢、晶莹的雪花、漂亮的鹦鹉螺，大自 然的鬼斧神工，无时无刻不在向我们昭示着黄金分割的美妙与神奇。 黄金分割很奇妙，当我们分析一幅好照片时, 也许大多数情况下能从构图中解出 N多黄金分割, 但这并不代表着我们在构图时只需要解决数学问题就万事大吉了. 眼睛是需要锻炼的, 需要练到当你拿起相机时, 根本不用考虑黄金分割再哪儿, 而出的作品里却包含着无数的0.618 散户炒股以赚小钱为目的，但要在股市赚到钱也不是件容易的事，八二规律说的 就是大部分是赔得多赚得少。 散户炒股以K线为基本，首先要能看懂K线图，请确定能够投入的资金，认真研 究K线变化的规律，一定要认真理解顺势而为的要点，分析出变化中的买卖点，在买 点确认的情况下首先买入40％的股票，当升势确认后再跟进买入60%的股票。一定要拿住，接下来的时间就要对K线图进行分析，当卖点确认后首先卖出60%的股票，当下降趋势出现全部卖出，接下来就是波段操作，会有收益的。只要不追求最大利益， 顺势而为、见好就收，落袋为安，你就有了成功的一半。 除此以外，在工程建设、军事决策、数学研究及其他领域中，黄金分割的身影无 处不在。 黄金分割的内涵不是一节活动课就能了解透彻的，而且也不是凭着数学知识积累 就能解释清楚的。随着我们今后数学学习的深入，对黄金分割他们必定会有更加深刻 和准确的理解。因此，本次研究性学习的重要价值就在于，通过让我们运用数学尝试 解释黄金分割的奥秘过程，感受数学的力量，并以黄金分割神奇的魅力，激发学生进 一步探究的欲望。 对于黄金分割，我们今天所了解的还远没有2500年前的古希腊人深刻。虽然本 次研究性学习已结束，但我们的探究才刚刚开始。这次活动虽然很累，又需要很多准 备，但我们从研究性学习当中认识到了实验的重要性，我们想，这是最重要的。 0.618不仅在武器和一时一地的战场布阵上体现出来，而且在区域广阔、时间跨 度长的宏观的战争中，也无不得到充分地展现。 拿破仑大帝败于 一代枭雄的的拿破仑大帝可能怎么也不会想到，他的命运会与0.618紧紧地联系在一起。1812年6月，正是莫斯科一年中气候最为凉爽宜人的夏季，在未能消灭俄 军有生力量的博罗金诺战役后，拿破仑于此时率领着他的大军进入了莫斯科。这时的 他可是踌躇满志、不可一世。他并未意识到，天才和运气此时也正从他身上一点点地 消失，他一生事业的顶峰和转折点正在同时到来。后来，法军便在大雪纷扬、寒风呼 啸中灰溜溜地撤离了莫斯科。三个月的胜利进军加上两个月的盛极而衰，从时间轴上 看，法兰西皇帝透过熊熊烈焰俯瞰莫斯科城时，脚下正好就踩着黄金分割线。 1941年6月22日，纳粹德国启动了针对苏联的“巴巴罗萨”，实行闪电战，在极短的时间里，就迅速占领了的苏联广袤的领土，并继续向该国的纵深推进。在长 达两年多的时间里，德军一直保持着进攻的势头，直到1943年8月，“巴巴罗萨”行动结束，德军从此转入守势，再也没能力对苏军发起一次可以称之为战役行动的进攻。 被所有战争史学家公认为苏联卫国战争转折点的斯大林格勒战役，就发生在战争爆发 后的第17个月，正是德军由盛而衰的26个月时间轴线的黄金分割点。