信号与系统吴大正第四章作业

信号与系统吴大正第四章作业 信号与线形系统,第四版,吴大正主编 第四章课后习题: 4.1(n为正整数)是在区间的正交cos,cos2,,costtnt0,2,，，，，，， 数集。它是否是完备的正交函数集, 0,mn,,2,解:由于 cosntcosmtdt,,,0,,mn,, 所以在区间内是正交函数集。 0,2,，， 0,mn,,,2,cosntsinmt,存在 使得 sinmt,,0,,mn,,,2所以不是完备的正交函数集。 4.2上题中的函数集在区间是否是正交函数集, 0,,，， 0,mn,,,,cosntcosmtdt,解: ,,0,,mn,,,2 所以仍为正交函数集。 4.3讨论图4.1-2所示的前6个沃尔什函数在区间内是否是正交函数集。 0,1，， 1，，Walk,tdt,0,k,1,2,3,4,5解:由题意得 ,0 1，，，，Walm,tWaln,tdt,0,m,n,0,m,5,0,n,5 ,0 1，，，，Walm,tWaln,tdt,1,0,m,n,5 ,0 所以前6个沃尔什函数在区间内是正交函数集。 0,1，， 4.4前四个勒让德函数多项式为 ，，t,1 P0 ，，t,t P1 31,,2，，t,, ,,tP2 22,, 53,,3，，t,,t ,,tP3 22,,证明它们在区间内是正交函数集。 ,1,1，， 11，，tdt,tdt,0解:由题意得 ，，ptp,,,01,11 31,,112，，tdt,,dt,0 ，，ptp,,t,,02,,1122,, 53,,113，，tdt,,tdt,0 ，，ptp,,t,,,,031122,, 31,,113，，tdt,,tdt,0 ，，ptp,,t,,12,,1122,, 53,,1142，，tdt,,dt,0 ，，ptp,,tt,,13,,1122,, 5331,,,,1132，，tdt,,t,dt,0 ，，ptp,,,,tt,,,,23112222,,,,所以前四个勒让德函数多项式在区间内是正交函数集。 ,1,1，， TT,,,,4.5实周期信号在区间内的能量定义为 ft，，,,22,, T22 Eftdt,，，,T,2 如有和信号 fttt,，ff，，，，，，12 TT,,,,(1)若与在区间内相互正交～证明和信号的总能量等于ttff，，，，12,,22,, 各信号的能量之和。 (2)若与不是互相正交的～求和信号的总能量。 ttff，，，，12 解:(1)由题意得 TT2222，[tt]，，，，E,tdt,dtff，，f,,TT12,,22 T222，，，，，，，，[t2ttt]dt,，，ffff,T1122,2 TT,,因为与在区间内相互正交～ ,,ttff，，，，12,,22,, T2所以，，，， ttdt,0ff,T12,2 T222Ettttdt，，，，，，，，,[，2，]ffff,T1122,2得 TT2222，，，，tdttdt,，,，ffEE,,12TT12,,22 (2)有第一问可得 TT2222[t，t]，，，，E,tdt,ffdt，，f,,TT12,,22 T222，，，，，，，，,，，[t2ttt]dt ffff,T1122,2 TTT22222，，，，，，，，tdt2ttdttdt,，，ffff,,,TTT1122,,,222 T2，，，，所以 E,，，2ttdtffEE,12T12,2 4.6求下列周期信号的基波角频率和周期。 ,T ,jt100(1) (2) cos[3]t,，，e 2(3) (4) cos2sin4tt，cos2cos3cos5,,,ttt，，，，，，，，，，，， tt,,,,,,,,,,,,,,,cossincoscoscosttt(5) ， (6)，， ,,,,,,,,,,24235,,,,,,,,,, 2,,解:(1) 基波角频率～周期 T,,s,,100rad/s ,50 2,, (2) 基波角频率～周期 ,,rad/sT,,4s 2, ，，，，cos2tsin4t(3)的基波角频率～的基波角频率～取两者最大,,2,,4 ,2公约数为和信号的基波角频率～所以,周期 ,,2rad/sT,,,s , ，，，，，，cos2,tcos3,tcos5,t(4) ,,的基波角频率分别为 ,2,,3,,5,,,,取三者最大公约数为和信号的基波角频率～,,,123 2, 所以～周期为 ,,,rad/sT,,2s , ,,,,,,,,costsint(5)～的基波角频率分别为～取两者最大,,,,,,,,12 4224,,,, 2,,公约数为和信号的基波角频率～所以～周期为。 ,,rad/sT,,8s 4, ,,,,,,,,,costcostcost(6) ～～的基波角频率分别为,,,,,, 235,,,,,, ,,, ,,,取三者最大公约数为和信号的基波角频率～所以,,,,,,231 352 2,, ,周期为. ,,rad/sT,,60s 30, 三4.7用直接计算傅里叶系数的方法～求题4.7图所示周期函数的傅里叶系数(角形式或指数形式)。 ，，ft，，ft 1 ，，sin,t 1 -4 -1 0 1 4 (a) -2 -1 0 1 2 3 t (b) ,解:(a)图所示周期～角频率 T,4,, 2 ,,,T11,11,jn,t,jnt,jnjn2,f，，tdt,dt,[,]222eeeeF,,nT,1,2,T42jn ,1n,,,sin,n,0,,1,,2,？,, n2,,, (b)图所示周期～角频率 T,2,,, T111,,jn,t,jnt2,,ftdt,sintdt，，，，eeF,,nT0,2T2 ,jn,11，1e，，，，11,j,nt,j，nt,,,[,]dt,,n,0,,1,,2？ee,02，，,4j21,n4.8如题4.8图所示的4个周期相同的信号。 ，，t，，tff 21 1 1 -T T/2 0 T/2 T t -T T/2 0 T/2 T t (b) (a) ，，tf4，，tf3 1 1 -T T/2 0 T/2 T t -T T/2 0 T/2 T t (d) (c) 三角形式)。 (1)用直接求傅里叶系数的方法求图(a)所示信号的傅里叶级数( T ，，t，，(2)将图(a)的函数左(或右)移～就得图(b)的函数～利用(1)ftf212 ，，的结果求f 的傅里叶级数。 t2 ，，(3)利用以上结果求图(c)的函数f的傅里叶级数。 t3 ，，(4)利用以上结果求图(d)的函数f的傅里叶级数。 t4 解:(1)由图可得 T,0,,,,0t2, ，，t, f,12Tt,0,t,,2,T TT222122所以可得 ，，,ftdt,tdt,a,,0T0,22TTT222TT22,ftcosn,tdt,tcosn,tdt，，，，，，a,,nT0,2TTT T 2T4112,[tsinn,t,sinn,tdt] ，，，，,02n,n,T0 ,，，cosn,1 ,,n,1,2,3？2，，,n TT22222,ftsinn,tdt,tsinn,tdt，，，，，，b,,nT0,2TTT T 2T4t12 ,[,，cosn,tdt，，,02,，，ncosn,tn,T0 ,，，cosn ,,,n,1,2,3？ ,n 所以傅里叶级数为 ，，tf1 ,,,,,1cosn，，1cosn，， ，，，，，，tcosntsinnt,，,,, f,,21nn,1,1,4n，，,n T,,，，t,t，(2)由图形可得 ff,,122,, ,,TT,,,,1tntnt,，,，,,，cos[]sin[]fab,,，，nn,,,,2224,,,,nn,,11 ,,1 ,,,，,，,coscoscossinnntnnt，，，，，，，，,,abnn 4nn,,11 ,,1cos,n，，11, cossin,，,,,ntnt，，，，,,24nn,，，,nn,,11 ，，，，，，，，(3)比较和的波形可得 ttt,,tffff3232 ,,1cos,n,，，11tntnt,，,,,,,cossin，，，，f,,，，23n,4n，，,nn11,, ,,1cos,n，，11,cossinntnt,，,，,，，，，,,24nn，，,nn11,,, ，，，，，，(4)由图形可得t,t，t fff423 ttt,，fff，，，，，，423 ,,1cos,,n11，， cossin,，,,,ntnt，，，，,,24nnn,,,11n，，, ,, 1cos,n，，11,cossin，，,,,,,ntnt，，，，,,24nn，，,11,nn,, ,2[1cos],n，，1,cos,，,nt，，,22n，，1n,, 4.9试画出题4.9图所示信号的奇分量和偶分量。 ，，tf 1，，tf 2 1 1 -T -T/2 0 T/2 T t -2 -1 0 1 2 3 t (b) (a) ，，，，解:由定义可得表示奇分量～表示偶分量 ttffodev ftft,,，，，，t,f，，od2 ftft，,，，，， t,f，，ev2 对于(a)图 奇分量 偶分量 ，，t fod 1 ，，t fev 1/2 1/2 -3 -2 -1 0 1 2 3 t -3 -2 -1 0 1 2 3 t 对于(b)图 奇分量 偶分量 ，，tfev ，，tfod 1 1/2 -T -T/2 0 T/2 T t -T -T/2 0 T/2 T t 4.10利用奇偶性判断题4.10图所示各周期信号的傅里叶级数中所含的频率分 量。 ，，tf 2，，ft 1 1 1 -T -T/2 0 T/2 T t -T -T/2 0 T/2 T t (a) (b) ，，tf ，，tf 43 1 1 -T -T/2 0 T/2 T t -T/2 0 T/2 T t (c) (d) 解: ，，ut4.11某1Ω电阻两端电压如题4.11图所示。 u/V 1 -1 0 1 2 3 4 t/s ，，(1)求的三角形式傅里叶级数。 ut 1,, (2)利用(1)的结果和～求下列无穷级数之和。 u,1,, 2,, 111 S,1,，,，？ 357 (3)求1Ω电阻的平均功率和电压有效值。 111 S,1，，，，？(4)利用(3)的结果求下列无穷级数之和 222 357 ，，it4.12如题4.12图所示的周期性方波电压作用于RL电路～试求电流的前五 次谐波。 ，，tus 1H 1 + 1Ω ，，it - -2π -π 0 π 2π t ，，t us (a) 4.13求题4.13图所示各信号的傅里叶变换。 ，，tf1，，tf 2 1 1 0 τ t 0 τ t (b) (a) ，，tf ，，t3f 4,,,1 ，，sin,t 1 cost ,, 2,, -T/2 0 T/2 t -1 0 1 t (d) (c) 4.14依据题意(a)、(b)的结果～利用傅里叶变换的性质～求题4.14图所示各 信号的福利叶变换。 ，，tf 22 ，，tf 1 1 1 -τ 0 τ t -3 -1 0 1 3 t -1 (b) (a) ，，t，，tff 43 1 2 -2τ 0 2τ t -τ 0 τ t (d) (c) ，，tf6 ，，，，sin6,tt f5 1 ，，cos10,t 1 0 t 0 t (e) (f) ，，，，，，，，，，ftF[ft],Fj,,R,，jX,为虚函数～且～试证: 4.15若 ，，，，，，，，R,,,R,,,X,,X,,(1) ,，，，，F,j,,,j, (2)F ，，ft4.16若为复函数～可为 ，，，，，，ft,t，jtffri ,，，，，F[ft],j,且。式中均为实函数～证明: ，，，，t,tffFri ,,，，，，(1) F[t],,j,fF 1,(2), ，，，，，，F[t],[Fj,，j,]fFr2 1,，，，，，，F[t],[Fj,,,j,] fFi2j 4.17利用对称性求下列函数的福利叶变换。 ,sin[2t,2]，， ，，ft,,,,,t,,(1) ，，,t,2 ,2 ，，ft,,,,,t,,(2) 22，,t ,sin2t，，2(3) ，，ft,[],,,,t,, ,2t 4.18求下列信号的傅里叶变换。 ,jt，，，，ft,,t,2(1) e ，，,3t,1,，，，，ft,,t,1(2) e 2，，，，ft,sgn,9(3) t ,2t，，，，ft,Ut，1(4) e 1,,，，ft,Ut,1(5) ,, 2,, 4.19试用时域微积分性质～求题4.19图所示信号的频谱。 ，，tf 2，，tf 11 1 -τ 0 τ t -τ/2 0 τ/2 t (b) ，，，，ft,Fj,4.20若已知～试求下列函数的频谱。 dft，，，，，，，，tf2tt,2ft(1) (2) (3) t dt，，，，，，，，f1,t1,tf1,tf2t,5(4) (5) (6) 1dft，，11,tjt2，，f3,2t(7) (8) (9) ，，f,d,,e,,,dt,t 4.21求下列函数的傅里叶逆变换。 ,,1,,,0 ,,Fj，，(1) , ,,0,,0, ，，，，，，,,,,,Fj,，,,(2) ,,00 ，，，，Fj,,2cos3,(3) ,j,(4) ，，，，，，FjUU,,[,,,,2]e 2,2sin,j2n，1，，,,(5) ，，Fj,,e n,0, 4.22利用傅里叶变换性质～求题4.22图所示函数的傅里叶逆变换。 ，， ，， Fj,Fj, A A 0 ω 0 ω ,,,,,,0000 ，，,, ，，,, , 0 ω ,,00 , 0 t ,,00 (a) (b) 4.23试用下列方法求题4.23图所示信号的频谱函数。 ，，ft 1 -3 -1 0 1 3 t 门函数的频谱可利用已知结果) (1)利用延时和线性性质( (2)利用时域的积分定理。 ，，，，，，ft,t，2,,t,2，，(3)将看作门函数与冲击函数的卷积和。 tg2 4.24试用下列方法求题4.24图所示余弦脉冲的频谱函数。 ，，ft ,,,1 cost ,, 2,, -1 0 1 t (1)利用福利叶变换定义。 (2)利用微分、积分特性。 ,,,cost(3)将它看作门函数与周期余弦函数的乘积。 ，，tg,,22,,4.25试求题4.25图所示周期信号的频谱函数。图(b)中冲击函数的强度均为1。 ，，，，ftft 11 ，，，cos,t1 221 -2T -T 0 T 2T t -3 -1 0 1 3 t (b) (a) 4.26题4.26图所示升余弦脉冲可表示为 1,，，ft 11[1，cost],t,1,，，,1 ，，，cos,t ft,，，2,22 ,0,t,1, -1 0 1 t 试用以下方法求其频谱函数。 (1) 利用福利叶变换的定义。 (2) 利用微分、积分特性。 (3) 将它看作门函数与题4.25(a)图函数的乘积。 ，，tg2 ，，，，ftFj,4.27如题4.27图所示信号的频谱函数为～求下列各值[不必求出 ，，Fj,]。 ，，ft (1) ，，，，F0,Fj,,,0 ,，，Fj,d,(2) ,,, 2, (3)，，Fj,d,,,, -1 0 1 t 4.28利用能量等式 12,,2 ，，，，tdt,Fj,d,f,,,,,,2, 计算下列积分的值。 dxsint,,2(1) (2) []dt,,2,,,,2t，，1，x ，，ft4.29一个周期为T的周期信号～已知其指数形式的傅里叶系数为～求Fn下列周期信号的傅里叶系数。 ，，，，，，，，(1) (2) t,ft,t,f,tfft021 dft，， t,，，，，(3) (4) ，，t,fat,a,0ff34dt ，，Hj,4.30求下列微分方程所描述系统的频率响应。 ,,,,，，，，，，，，yt，3yt，2yt,ft(1) ,,,,，，，，，，，，，，yt，5yt，6yt,ft，4ft(2)