数学模型论文

数学模型论文 人力资源分配 —— 人力资源安排问 学生: 200407020228 陈春华 200407020225 冯艳华 200407020231 杨 倩 日期 2006年12月16日 人力资源安排问题 人力资源分配 一 摘要: 人力资源的安排问题是一类带有复杂约束条件的优化与规划类问题。在当代经济知识时代，人力资源已经成为生产要素中最活跃、最重要的因素。 就拿某学校承接某些项目来说，由于学历高，资深的教授等就相对稀缺，为了使得数学系每天的直接收益最大，合理的分工，适当的人力资源安排就显得尤为重要。 ?我们的研究中就如何分配教员才能使得数学系获得最大的收益的问题进行了 分析。 ?收益值Z示承接某项目的教员个数Xij的函数表达式，将问题转化为求解 Z的最大值问题。 ?这是在一定的约束条件下的线性规划的数学模型的问题。 ?可以用LINGO数学软件求出 数学系教员们每天的直接收益最大为:38210.00 数学系教员们一周的直接收益最大为:195620.0 对应的教员分配一致，如下表所示: A B C D 3 5 2 2 教授 11 2 10 2 副教授 2 5 2 8 讲师 1 8 1 0 助教 表中所示就是该数学系人力资源的最优的安排。 该模型在工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域应用广泛，具有不可比拟的优点，值得推广和使用。 关键字: 数学模型，线性规划，LINGO 人力资源分配 二 问题重述: 某学校数学系现有64名教师，其职称结构和相应的工资水平分别如表一所示: 表 一:数学系的职称结构及工资情况 教授 副教授 讲师 助教 人数 12 25 17 10 工资/日(元) 250 200 170 110 目前，该系承接有4个项目，其中2项项目实践，需要到现场监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成;另外2项是理论研究，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的报酬不同，具体情况如表2所示。 表2不同项目和各种人员的报酬 教授 副教授 讲师 助教 收费 A 1000 800 600 500 (元/天) B 1500 800 700 600 C 1300 900 700 400 D 1000 800 700 500 为了保证项目质量，各项目中必须保证各职称人员结构符合客户的要求，具体情况如表3所示。 表3:各项目对专业技术人员结构的要求 A B C D 人力资源分配 教授 1,3 2,5 2 1,2 副教授 ?2 ?2 ?2 2,8 讲师 ?2 ?2 ?2 ?1 助教 ?1 ?3 ?1 -- 总计 ?17 ?20 ?15 ?18 说明: ,,,,,,,, 表中“1,3”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“,”符号的同理; ,,,,,,,, 项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是讲师以上，助教不能参加; ,,,,,,,, 教授相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对教授的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他职称人员也有不同的限制或要求; ,,,,,,,, 各项目客户对总人数都有限制; D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理,,,,,,,, 由于C、 费开支。 1) 收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是( 17+20+15+18=70，多于数学系现有人数64。因此需解决的问题是:如 何合理的分配现有的技术力量，使数学系每天的直接收益最大,并写 出相应的论证报告。 三 问题的分析: 在人力资源管理已经成为21世纪管理领域的核心的今天,我们应该审视自己的发展现状,正确认识所面临的机遇和挑战.世界经济一体化的背景下，在法规政策,劳工关系,劳动力市场等方面取得进步的同时我国企业人力资源管理又面临着市场化加剧和人力资源投入不足的挑战,在人力资源安排的过程中，不仅要注重数量，更为重要的是人力资源质量的提高以及如何利用好现有的人力资源以获得最大的效益。只有合理的利用好人力资源，才能最大限度的提高效益。合理利用人力资源最重要的就是提高人力资源的利用率，它是衡量人力资源优化配置水平高低的重要标志。面队这些挑战和机遇,我们应该采用怎么样的人力资源规划和配置? 在数学系承接项目中所需要的高学历，资深的教授相对缺少。而教授、副教授、讲师、助教等在承接不同项目的时候所得到的报酬高低不一。在教员安排方面上，既要满目各项目客户的要求，又要使得数学系的收益最大。我们研究的问题就变成:在满足各项目客户所需要教员的前提下，安排教员，使得数学系每天的直接收益最大。 人力资源分配 通过学习积累，我们知道线性规划共同特征: 1:每一个问题都可以用一组变量来表示，这组变量的一组定值就代表一个具体，通常要求这些变量取值是非负的。 2:存在一定的约束条件下，这些约束条件下都可以用一组线性等式或线性不等式表示。 3:都有一个目标，目标可以表示为一组变量的线性函数，并按照问题的要求出其最大值或最小值; 用数学符号表达线性规划的共同特征，如下: 4D 目标函数: k cXij,,Max(min)Z= i,,1jA 约束条件: D x,,Ai ,ijjA, 4 x,,Cj ,iji1, X >=l ij ij X >=h ij ij 经过分析，我们把所研究的问题归入线性规划模型，求最大值问题。 ?数学系每天的直接收益等于数学系所有教员的每天的收入减去教员的工资，再减去C、D项目中，每天的管理费开支。 ?把数学系分配给各个项目的各类型教员设为Xij，(表示第i类型的教员去接第j个项目，i代表教授、副教授、讲师或者助教，j代表项目A、B、C或者D。)因此，数学系的收益Z可以表示为关于Xij的线性表达式。所求问题便成为在各个项目的要求下(对Xij的约束条件)求Z的最大值问题。 ?由于MATLAB中没有现成的线性规划数学函数，我们选用比较方便使用的LINGO软件，这样我们就可以解得收益Z的最大值，和数学系各类型的教员的分配方案。 四 模型假设 : (1) 数学系各类型的教员在承接项目期间没有缺勤、请假、辞职或者跳槽的现象发生。 (2)各类型的教员都没有兼任其他的职务。 人力资源分配 (3) 各个项目都不会受到客观环境的影响。比如不受到天气的原因 而影响工作的进行。 (4)凡是数学系的教员不论是否被指派去A、B、C和D工作，(经过 工作分配，可能有部分的教员没有被分配到A、B、C和D工作)都应该发 给工资。 五 符号说明: Z —— ——数学系每天的直接收益 Z —— ——数学系每天的直接收益的最大值 max x —— —— 第i种类型的教员被分配到第j个项目的人树 i j (i=1，2，3，4 分别对应教授，副教授，讲师，助教; j= A，B，C，D分别对应四个项目) 六 数学模型的建立 模型的求解和分析: 设数学系的教员安排人数按照表中安排 A B C D 教授 x x x x 1 A1 B1 C1 D 副教授 x x x x 2 A2 B2 C2 D 讲师 x x x x 3 A3 B3 C3 D 助教 x x x 4 A4 B4 C 数学系各类型的教员可被分配到的工作地址如下图所示: 人力资源分配 数学系 每天的直接收益= 根据题设， 教员的总收入—C、D教员的管理费用— 教员的工资额 其中包含的含义是: ?数学系的总收入最高 但教员的工资题目已经设置为定值)?数学系支付给教员的工资最低 ( ?办公室人员的管理费用最低 数学系的直接收入可用公式表达为: 1000800,,,,,,,,1500800,,,,x,x,x,x)Z=(+( x,x,x,x)1A1B1C1D2A2B2C2D,,,,900,501300,50,,,,,,,,800,501000,50,,,, 600500,,,,,,,,700600,,,,+()+( x,x,x,xx,x,x,x)3A3B3C3D4A4B4C4D,,,,700,50400,50,,,,,,,,700,500,,,, ,12×250,15×200,17×170,10×110 在下面的约束条件下求Z的最大值 (1) 各个项目对各类型教员的要求: 根据表“各项目对专业技术人员结构的要求”，得出下面的不等式 1<= x<= 3 ; 2<= x <= 5 ; x =2 ; 1<= x <=2 ; 1 A 1 B 1 C 1 D x >= 2 ; x >=2 ; x >=2 ; 2<= x <=8 ;2 A 2 B 2 C 2 D 人力资源分配 x >= 2 ; x >=2 ; x >=2 ; x >=1 ; 3 A 3 B 3 C 3 D x>= 1 ; x >=3 ; x >= 1 ; 4 A 4 B4 C 4444 x,17x,20x,15x,18 ; ; ; ,,,,iAiBiCiDi,i,i,i,1111 根据表“数学系的职称结构及工资情况”，有下面的不等式 DDDD x,12x,25x,17x,10 ; ; ; ,,,,jjj12j34jAjAjA,j,A,, 根据题设知道数学系的总人数为: 4D x,64 ,,ij1i,,jA 这是一个线性规划问题，我们用LINGO数学软件可以求出结果。 见附录。 LINGO 程序 根据LINGO程序执行的结果可以得出数学系最大的直接收益为: Z = 40160.00 max 此时对应的教员安排如下表: A B C D 教授 3 5 2 2 副教授 11 2 10 2 讲师 2 5 2 8 助教 1 8 1 0 (2)以一个星期为周期，如果每个教授最多只能工作四天，每个副教授最多只 人力资源分配 能工作5天，讲师和助教每天都可以工作。此时如何合理的分配现有的技术力量，使数学系一个星期的直接收益最大,并写出相应的论证报告。 步骤一到五都是一致的，设数学系的教员安排人数按照表中安排 A B C D 教授 x x x x 1 A1 B1 C1 D 副教授 x x x x 2 A2 B2 C2 D 讲师 x x x x 3 A3 B3 C3 D 助教 x x x x 4 A4 B4 C4 D 则数学系一个星期的直接收益为: 教授分别被指派到A、B、C和D工作，工作4天可得到的报酬 + 副教授分别被指派到A、B、C和D工作，工作5天可得到的报酬 + 讲师分别被指派到A、B、C和D工作，工作7天可得到的报酬 + 助教分别被指派到A、B和C工作，工作7天可得到的报酬 - 教授、副教授、讲师和助教分别被指派到C、D工作的管理费 - 教授、副教授、讲师和助教一周7天得到的工资 于是问题转化为在下面的约束条件下求Z的最大值问题 (2) 各个项目对各类型教员的要求: 根据表“各项目对专业技术人员结构的要求”，得出下面的不等式 人力资源分配 1<= x<= 3 ; 2<= x <= 5 ; x =2 ; 1<= x <=2 ; 1 A 1 B 1 C 1 D x >= 2 ; x >=2 ; x >=2 ; 2<= x <=8 ;2 A 2 B 2 C 2 D x >= 2 ; x >=2 ; x >=2 ; x >=1 ; 3 A 3 B 3 C 3 D x>= 1 ; x >=3 ; x >= 1 ; 4 A 4 B4 C 4444 x,17x,20x,15x,18 ; ; ; ,,,,iAiBiCiDi,i,i,i,1111 根据表“数学系的职称结构及工资情况”，有下面的不等式 DDDD x,12x,25x,17x,10 ; ; ; ,,,,jjj12j34jAjAjA,j,A,, 根据题设知道数学系的总人数为: 4D x,64 ,,ij1i,,jA 而目标函数是一个星期的直接收益Z: 1000800,,,,,,,,1500800,,,,x,x,x,x)Z=4*(+5*(+7*x,x,x,x)1A1B1C1D2A2B2C2D,,,,900,501300,50,,,,,,,,800,501000,50,,,, 600500,,,,,,,,700600,,,,()+7*( x,x,x,xx,x,x,x)3A3B3C3D4A4B4C4D,,,,700,50400,50,,,,,,,,700,500,,,, ,7*12×250,7*15×200,7*17×170,7*10×110 仍然是一个线性规划的数学模型，约束条件相同，知识目标函数有所变动，同样运用LINGO数学软件，编程见附录: 根据程序运行结果，可以得出: 人力资源分配 数学系一个星期的直接收益最大为: Z = 195620.0 max 此时对应的教员安排如下表: A B C D 教授 3 5 2 2 副教授 11 2 10 2 讲师 2 5 2 8 助教 1 8 1 0 七 模型的结果检验(模拟仿真): 任意假设一种教员的分配方案，试求数学系的直接收益。 在满足题设的条件下，举(1)中一个例子说明: 假设教员安排如下表: A B C D 教授 3 5 2 2 副教授 10 2 11 2 讲师 3 4 2 8 助教 1 8 1 0 计算该数学系将得到的直接收益为: Z= 1000*3+5*1500+2*(1300-50)+2*(1000-50) +10*800+2*800+11*(900-50)+2*(800-50) + 3*600+4*700+2*(700-50)+8*(700-50) +1*500+8*600+1*(400-50) - 12*250-25*200-17*170-10*110 =40110.0 该结果小于我们所求得的Z 。 max 依此计算机假设出其他可行的人员分配方案，代入目标函数中均求得Z小于 人力资源分配 Z .可以知道模型与结果正确。 max 八 模型评价改进与推广: ?在这个模型当中，我们做出的假设比较理想化，与现实社会有一定的出入。 ?为了使这个模型具有更强的现实意义，我们可以对该数学系教员的缺勤、辞 职、跳槽或者其他客观环境在模型中考虑进去，数学系的直接收益还是可以 用上述方案解决。 ?另外，我们还可以考虑数学系教员有兼职的情况发生，可以假设教授可以从 事其他三类教员的工作，副教授可以从事讲师和助教的工作，讲师可以从事 助教的工作，这样，该模型就具有更强的现实意义了。 ?本论文中对教员进行整体的管理，统一的分配，其实还可以设计得更加的人 性化，可以考虑到不同个人的不同条件，充分发挥个人的优势，扬长避短， 使每个人都能到最适合自己的岗位上工作，尽量做出合理的安排，较好的完 成工作，同时使教员满意。 在进行人力资源分配的时候，充分考虑内部、外部环境的因素。内部环境 中考虑数学系等企事业单位发展战略的变化，以及员工流动的变化，外部环 境中考虑政府人力资源政策的变化，人力供需矛盾的变化，以及竞争对手的 变化。 另外，发挥人的最大的主观能动性，激发人才的活力，充分发挥人的主动 性和创造性，获得高效益。我们要缔造激情，激励和鼓舞每个人努力高效的 工作。 ?本论文建立的线性规划模型能与实际紧密联系，结合实际情况对所提出的问 题进行求解，使模型更贴近实际，通用性，推广性较强。该模型在工农业、 军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域应用广泛，具有不可比 拟的优点，值得推广和使用，模型还可以运用到商场、国有或者私营企业， 现代酒店，中小企业的人力资源的规划中去，可以最大的获得效益。 九 参考文献: [1] 吴建国，数学建模案例 出版地:北京 中国水利水电出版社，2005年。 页码:252 — 272页 [2] 林雪松，MATLAB7.0 应用集锦 出版地:三河市 机械工业出版社 2006年 页码:339 — 355页 [3] 孙红伟 商场经营管理中的几个数学模型分析，商业现代化，卷期号:475期，起止页码:62—63 页，2006年 [4] 陈晓梅 ，支持向量机在企业人力资源结构分析中的应用，河北工业大学学报 ，卷期号:第27卷，第5期，2005年 人力资源分配 附录:,1,LINGO程序: model: max= 1000*x1A+800*x2A+600*x3A+500*x4A+1500*x1B+800*x2B+700*x3B+600 *x4B+1250*x1C+850*x2C+650*x3C+350*x4C+950*x1D+750*x2D+650*x3D -11990; x1A+x1B+x1C+x1D<=12; x2A+x2B+x2C+x2D<=25; x3A+x3B+x3C+x3D<=17; x4A+x4B+x4C<=10; x1A>=1;x1A<=3; x1B>=2;x1B<=5; x1C=2; x1D>=1;x1D<=2; x2A>=2; x2B>=2; x2C>=2; x2D>=2;x2D<=8; x3A>=2; x3B>=2; x3C>=2; x3D>=1; x4A>=1; x4B>=3; 人力资源分配 x4C>=1; x1A+x2A+x3A+x4A<=17; x1B+x2B+x3B+x4B<=20; x1C+x2C+x3C+x4C<=15; x1D+x2D+x3D<=18; x1A+x2A+x3A+x4A+x1B+x2B+x3B+x4B+x1C+x2C+x3C+x4C+x1D+x2D +x3D<=64; @gin(x1A);@gin(x1B);@gin(x1C);@gin(x1D);@gin(x2A);@gin(x2B);@gin(x2C);@gin(x2D);@gin(x3A);@gin(x3B);@gin(x3C);@gin(x3D);@gin(x4A);@gin(x4B);@gin(x4C); End LINGO 程序运行结果: Global optimal solution found at iteration: 10 Objective value: 40160.00 Variable Value Reduced Cost X1A 3.000000 -1000.000 X2A 11.00000 -800.0000 X3A 2.000000 -600.0000 X4A 1.000000 -500.0000 X1B 5.000000 -1500.000 X2B 2.000000 -800.0000 X3B 5.000000 -700.0000 X4B 8.000000 -600.0000 X1C 2.000000 0.000000 X2C 10.00000 -850.0000 X3C 2.000000 -650.0000 X4C 1.000000 -350.0000 X1D 2.000000 -950.0000 X2D 2.000000 -750.0000 X3D 8.000000 -650.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 40160.00 1.000000 人力资源分配 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 2.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 3.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 1250.000 11 1.000000 0.000000 12 0.000000 0.000000 13 9.000000 0.000000 14 0.000000 0.000000 15 8.000000 0.000000 16 0.000000 0.000000 17 6.000000 0.000000 18 0.000000 0.000000 19 3.000000 0.000000 20 0.000000 0.000000 21 7.000000 0.000000 22 0.000000 0.000000 23 5.000000 0.000000 24 0.000000 0.000000 25 0.000000 0.000000 26 0.000000 0.000000 27 0.000000 0.000000 28 6.000000 0.000000 29 0.000000 0.000000 ,2,LINGO程序如下: model: max= 4*1000*x1A+5*800*x2A+7*600*x3A+7*500*x4A+4*1500*x1B+5*800*x2B+ 7*700*x3B+7*600*x4B+4*1250*x1C+5*850*x2C+7*650*x3C+7*350*x4C+4*950 *x1D+5*750*x2D+7*650*x3D -11990*7; x1A+x1B+x1C+x1D<=12; x2A+x2B+x2C+x2D<=25; x3A+x3B+x3C+x3D<=17; x4A+x4B+x4C<=10; x1A>=1;x1A<=3; x1B>=2;x1B<=5; 人力资源分配 x1C=2; x1D>=1;x1D<=2; x2A>=2; x2B>=2; x2C>=2; x2D>=2;x2D<=8; x3A>=2; x3B>=2; x3C>=2; x3D>=1; x4A>=1; x4B>=3; x4C>=1; x1A+x2A+x3A+x4A<=17; x1B+x2B+x3B+x4B<=20; x1C+x2C+x3C+x4C<=15; x1D+x2D+x3D<=18; x1A+x2A+x3A+x4A+x1B+x2B+x3B+x4B+x1C+x2C+x3C+x4C+x1D+x2D +x3D<=64; @gin(x1A);@gin(x1B);@gin(x1C);@gin(x1D);@gin(x2A);@gin(x2B);@gin(x2C);@gin(x2D);@gin(x3A);@gin(x3B);@gin(x3C);@gin(x3D);@gin(x4A);@gin(x4B);@gin(x4C); End LINGO程序运行结果如下: Global optimal solution found at iteration: 11 Objective value: 195620.0 Variable Value Reduced Cost X1A 3.000000 -4000.000 X2A 11.00000 -4000.000 X3A 2.000000 -4200.000 X4A 1.000000 -3500.000 X1B 5.000000 -6000.000 X2B 2.000000 -4000.000 X3B 5.000000 -4900.000 X4B 8.000000 -4200.000 人力资源分配 X1C 2.000000 0.000000 X2C 10.00000 -4250.000 X3C 2.000000 -4550.000 X4C 1.000000 -2450.000 X1D 2.000000 -3800.000 X2D 2.000000 -3750.000 X3D 8.000000 -4550.000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 195620.0 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 2.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 3.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 5000.000 11 1.000000 0.000000 12 0.000000 0.000000 13 9.000000 0.000000 14 0.000000 0.000000 15 8.000000 0.000000 16 0.000000 0.000000 17 6.000000 0.000000 18 0.000000 0.000000 19 3.000000 0.000000 20 0.000000 0.000000 21 7.000000 0.000000 22 0.000000 0.000000 23 5.000000 0.000000 24 0.000000 0.000000 25 0.000000 0.000000 26 0.000000 0.000000 27 0.000000 0.000000 28 6.000000 0.000000 29 0.000000 0.000000 人力资源分配 项目 主要指标 分数 分数评定 步骤齐全，格式规范、美观，格式完备 5 图文并茂 扼要说明文中主要模型、方摘要 5 法和结论 明确给出数学模型并解释模型建立 30 模型含义 求解算法设计合理、技术先求解 15 进、性能优良、程序正确 符合题目要求 结果 5 模型的合理性、适用性检验 模型检验 10 假设的合理性、建模的创新 性、结果的正确性、文字描其它 10 述的清晰性、表达的准确性 语言表达准确，概念清楚， 思维清晰;回答问题有理论答辩 20 依据、准确、深入 人力资源分配