【doc】浅谈线性方程的解集

【doc】浅谈线性方程的解集 浅谈线性方程的解集 ,()(AJ,所以打碰l解系牛?,i嫂为川 解办【- I,抖X为Ax0的解.唰Y为 tXfl!)0 的解;反之.蒋.x为A0的解,喇i^为 A'0的解.从丽A为A,Y0的解,ff 以(/1)=0, u『J若为A0的解,必比,t0的解 J:是 1/'c')R(1f1('). 定理4i2.i址阶阼,证叫 (1")fi)rl').-.. 考ft.线r} 1lI0,l?.0, 蚺l?的解均址.x的解; "--J-以".0的解部足 i0的斛.Wl】设1….0,『.1 .J址-1个fIz0: A0AX0,lJY,1…,Y1.?--,l1.l 为解方组.町得(A):R(A.).线性尤兑.'1.,假嚣f『 俄此类推,得(,1J(rJ=()…"?.1N.…-?rA.:k,A"x. (A).0. 定理3陛l,.r是个阶矩埘:,川1柬t.式,褂.0.推知0. 明:(A)(BA)删(.4C),亡(r').f,ilffJl乘 证明困为疗(A)R(BA),所以判【1,{…JtIA.0 ,10AX0端-呵.0.依此类推.知量量… 为解方【.f】,J址达?1个却『:线"l盖,矛盾. 见ACX0的解均址BAC0的胖;L^I(1i仃J.0,ulJi0A;0为 另?咐,几为B40的解,令…解I.所以(A"J(A…).依此类 则BAX-0,X.为Bl0的解.从推,他甜 而.为d0的解,AXACX0.敞(?f.)(t)…. , 4CX0BACX一0为Jl|1解.似',士 坟'钮丝研栗 浅谈线性方程组的解集 /一川(=)//I(IIl4沽;'牧肯学院彀一系)V,J一 "通报.9O年前3期"荚齐次线性以州,时』:lf】个向;n,,.十一- 办组解的结构?文(以简称",构J}Hd}{Il-仪'蛳扣,这时,一i以爱成 r齐次线性方程解的结构定,指fn卉?屿荚J的被此fIj奎的旧余类的并集, 救线性方【的解集作I正的?个次数为1r为_荚}:l'的li,1余类的体所成舟,往 的n—rl_1维次空笔斤认为次空的H?巾定义J』I法和纯:乘法运算如 维数定义为11f『委,故'jm广l已肚抽】(瓯I1?t(a一):fat){一 浅的法iti-r~们指Il,j,,111?t,木丈r}-1人 01I的概念,对线性方iI的解集作r粗浅地 闸述 }盐足数域l:的维向奄6ii,w是它 的窄润,doE,把‰加到的所彳丁向{^得 到的?个集 iWa+{j} 称巢?W为V关r的个_l11余类.也弥 为线流形,称为这个M余类的个代. 1992年第7期数学通报 Ir. 纯j?乘法fW)蛳,?.可 以}Jl=I埘?w火Jf述两种过算作成:—l的向 :宅I】,称为向窄旧对宅问的商空问. (参见r1]) r嘶iJ]嘲"结构"中次数1的次f空间就 怂向{l==lill戈卜空蚓w的余类.为此 先述"结}}I戈J次空删的定义:设是 数域Ll:?v的一个{I:空产集,日是【1I ———— 一 个定数.如果对于任意,…,?_W,有 mm ?",口'EW,其中'EF,1?i?m且?d, ?=】 则称是的一个次数为a的次空间. 命囊任一次数为1的次空间必含f向 量空间关于某手空间的同余类中;反之, 关于任一子空间的同余类都必含F某一次数 为l的次子空间内. 证明设是任一次数为1的次产空间, 口?8,刚存在8中向毓口0,口",a"使 口=?b,?b.:1.i;?=0 令5=boa.W一(】,口2,…,a1),则?, 碥+W. 另一方面,设口o+W是关于空间的 任一同余类,?一W,则 ?,a, :咖+?.一f1一?k.) +?.(十) 其中t?P,;=1,2,…,s,{卢-,芦2,…,卢)是w 的一个基.这里口o,l十口o,+口0,…,+o 5 } 均属于+W.令.=1?,".=kt,il=I , 1,2,…,s则?毗一l?这说明口o+W含于某 l:0 次数为1的次子空间内.(证毕) 设+W是维向疑空阃关于手空间 的一个同余类,dimW=s;则铂+W可以看成 由子空间平行移动一个向量‰所抖到.口.十 是被唯一确定的.所以a.+W的维数应由 确定,即口o+W应是8维的.事实I:,把ao+ 的维数定义为s+1是不合理的.例如,令 是平面上以原点为起点的垒体向组成的向碴 空间,对于任意.:?,令口的终点与之对应.由 平面向精与平面上点的对应关系可知,平面向 量可以用平面上的点来表示.令W=OX轴, 劓是的一维子空间.任取o?,"o+W就 是一条与OX轴平行的直线.显然+的 维数为1而不应该是2. 数域F上元非齐次线性方程组 ?,2' ?. 的导出组为 ? 我们都知道,齐次线性方程组(2)的解集是 向最宅间F的一个宅0IJ,叫做该齐次线性 方组的解空间;反过jI?,F的任一子空间部 是某个元齐次线性方程组的解空间 定理设非齐次线?方程组(1)有无穷多 解,咖其解集足F"关于(2)的解空阃的同余 类;反之,F关于任一于空间的同余类部是 某个无线性方程组的解集. 证明先证前一部分.设(1)的系数矩阵 的秩为r,<,r/】,r/2,…,r/…是(2)的一个 基础解系,则=(叶-,r/一…r/)是F的一 个】i_-空间取(1)的一个特解,则(1)的任一 解口可以农成 口-_r/+klr/1}…+…r/…,kI?F,=1, 2,….—r即?f}. 反之任取口?叩0十,显然口是(1)的一个 解.综:可知,方程组(1)的解集是+? F/w. 再证后一部分.设是F的任一个子 空间,任取--W?/w,则存在元齐次 线性方程组 ?b.q0=1,2,…,m(3) 使其解空间是'.设(3)的系数矩阵为B," ,…, 为曰的列向量,一(,I,f2,…,)? F,若?_,则r/+WW,结论成立.若 岳14",作线性组合 lI +22+…+?F 则存y---(cl,c2,…,c)GF,其中cl,c2,…, c不垒为零,使 lI+22十…+=. 这说明是非齐次线性方程组 的一个解由前一部分的征明知,方程组(4)的 解集是一.(证毕)' 1992年第7期教学通报 推论向量空间F关于它的每一个子空 问,总可以表示成一些具有共同系数矩阵的线 性方程组的解集的并集,而这些线性方程组的 解集板此不相交. ?考文献 l蓝中编.线性代教引论北京大学出版杜. 2杨于胥编.高等代教习磨解.山东科挂出版社. 3张禾瑞.都镝新编高等代数,第3版.高等教育出版社 单叶双曲面和双曲抛物面直母线的几何作图 洪仲明 (安戎师范学院1 在二次曲面中,唯有单叶双曲面和双曲抛 物面是直纹面.这两种直纹面都有两族直母线 0族和"族),'两族直母线有很多有益的牲质, 掌握这些有益的性质并运用这些性质便可在两 个曲面上将这些直母线一条一条地作出来,这 样可以帮助我们清楚地看到直博线的运动规 律,更深入地来理解直母线和直纹 本文主要用下面两个性质来完成直母线的 几何作用, 性质l单叶双曲面 】C2 薯+b2一;='口2 的任意一条直母线在xoy坐标平面上的射影, 是腰椭圆的切线.(证明略) 由于腰椭圆的切线可以连续运动,所以任 意一条腰椭圆的切线,也必是曲面上某一条直 母线在:coy平面上的射影. 根据这个性质,我们可以作出单叶双曲面 J:的两族直母线.. I (田1) ;iI7期数学通报 1992年 什先画出单叶双曲面的图形,用正等确投 影l画法(图1) 把单叶双曲面上下两个截口椭圆(关于? 平面对称)投影到:roy平面上,这个投影是与两 个截f]椭圆形状完垒一样的椭圆,它与腰椭圆 形成同心相似,长短轴共处一轴. 腰椭圆I任取一点Js,过Js作腴椭圆的 切线交投影椭脚于A,B两点,过d向上作zoy 平面的垂线交_J-截口椭圆于P点;过向下作 :roy-平面的垂线交下截口髓圆干口点,连结P,口 两点得直线PQ(过Js).由性质1即为所作之 直母线.在腰椭圆上变换Js的位置,重复上面 的作法,可以作出第二条,第三条……直母线, 如果我们从A向下,从向上作zoy平面 的垂线,分别与下,上两个截口椭圆得两个交 点,连结这两个交点的直线,剐是另一族中的直 母线. 性质2双曲抛物面 一2= nb 的,两族直母线各平行干同一平面 十ay=0和一ay--U-0(证明略) 曲面的族直母线均平行1二平面b+a= 0.夸体族直母线在zoy平面上的射影为平 行f直线 l+ay=0 cz=0 的一族平行直线. 由于作为射影的一族平行直线也是一条直 线连续运动的结果,所以其中的每一条亦必是 某一条直母线在xoy平面内的射影,