一般投影线性群PGL（2，q）和4-（q＋1，5，λ）设计

一般投影线性群PGL（2，q）和4-（q＋1，5，λ）设计 一般投影线性群PGL(2，q)和4-(q，1， 5，λ)设计 第30卷第1期 2010年3月 数学理论与应用 MAl'HEMA11CALTHEORYANDAPPUCA,nONS V01.30No.1 Mar.2O1O 一 般投影线性群PGL(2,g)和4一(+1,5,)设计 刘伟俊姚蹈陈静 (中南大学数学科学与计算技术院,长沙,410075) 摘要本文主要考虑了一般投影线性群PGL(2,q)区传递作用下的4一(g+1,5,A)设 计的存在性问题. 经讨论知A的可能值是4. 关键词4一(q+1,5,A)设计区传递PGL(2,q) 4一(q+1,5,A)DesignsAdmittingtheBlockTransitive AutomorphismGroupsPGL(2,q) LiuWeijunYaoDaoChenJing (SchoolofMathematicsofCentralSouthUniversity,Changsha,10075) AbstractInthispaper,weconsidertheexistenceofthe4一 (q+1,5,A)designadmittingtheblocktransitiveauto- morphismgroupsPGL(2,q).Afterdiscussion,thepossibilityofAis4. Keywords4一(q+1,5,A)designBlocktransitivePGL(2,q) 1引言 设X=GF(q)U{?},q是一个素数,则X.={Ill=i};设G=PGL(2,q),则 Gl=(q+1)g(q一1). 定义1.1参数为t一(,后,A)的一个设计定义为符合以下条件的一对符号(,D): (i)是一个一集合; (ii)B是的一组Ji}一子集; (iii)的任意给定的t一子集都恰好含于D的A个成员之中. 的元素称为点,D的成员称为区组,区组个数设为6.若一个t—v,k,A)设计不包含重 国家自然科学基金资助课题(NO:10871205) 甘四清教授推荐 收稿日期:201)9年9月4日 数学理论与应用 A ?;.(mod))o … 证明因为G区传递作用在,上,所以区组个数}D{=主,又 IDI=1,Icl1.,故A?IGI?(q-2)=l2.. 一 般投影线性群PGL(2,q)和4一(q+1,5,A)设计 表1 g22'I2I5717 fA?II6020f4f40248 由引理1.1可知,只需考虑q?{17,2}这两种情况. 若C(V)=G(W),则V—W. 引理1.6[3]4-8EXIs,则lG{=1或ll为偶数.若是后者,则存在某个,使得B , {0,1,?,,}. 引理1.7[4]若.(g)=2,Nq=2,则g():等,其中口,6,c?OF(q). ~1111.8若g=2,={0,1,?,,卢},则Icl=1或2,若是后者,则卢?{吉,2, 1 1一. 证明Vg?G,若g稳定B,则o(g)E{1,2}. 若o(g)=2,则g稳定一个点,且有16个2轮换, (1)若g稳定{0},分两种情况讨论: (a):{?,1},{,},{0}是<g>作用在上的轨道,则g=—,即卢=.. 一 l.—l (b):{,l},{?,},101是<g>作用在B上的轨道,则g=裴,又.(g)=2, 则由引理1.7知,卢=.,v—I 同理可知: (2)若g稳定{?},则g不存在. (3)若g稳定{1},则口=.,v (4)若g稳定{},则=. 故若IGl=2,B={0,1,?,,卢},则卢?{吉,0c2,}. 定理1.1[5]令群H作用在点集y上,D??是日作用在Y上的一些轨道,0, 0:,…是作用在yItl上的所有轨道,那么(y,, )是一个,一(,k,A)设计当且仅当对所有 数学理论与应用 眠有砉其=[Bst'tnO~ 2主要结果 定理2.1设F=(X,D)是一个4一(18,5,A)设计,X=GF(17)u{?},如果G= PGL(2,17)区传递作用在,上,则A=4. 证明由上表知,若q=17,则Afl=8,即A?{1,2,4,8}. (1)A?1. 在弓t理?.?中,令z=3,男么A(-33);.(m.d(45—33)),即?5A善.cm.d2,,贝n 2lA,故A?1. (2)A?2. 假设4一(18,5,2)设计存在,则lGl=40这时G分两种情况讨论(E[6]). (i)令G=<g>,显然g有一个不动点.由于B={0,1,.o,,卢},且G为3传递的,不 妨设g(?)=o,g(0)=l,g(1)(NI~Ag),g(/3):/3,g()=?.由计 算知:a=2,则g=.由g()=知,=5或l4.此时,={0,1,?,2,51或{0,l,?, 2,14}.若B={0,1,?,2,5}时能构成设计,则B的4一比例向量为(1,2,2)(见[7]),而由 计算知,B的4一比例向量为(1,0,4),故设计不存在.同理可知B={0,1,?,2,14}时,其4 一 比例向量为(1,0,4),则设计不存在.故A?2. (ii)令G口=<g,h>,同理G有一个不动点OL.由于G为3传递,不妨设B一{}在< g>作用下的轨道为{?,ol,{1,},那么g=譬,又g()=,所以=2.而B一{}在< >作用下的轨道{?,1},Io,~t,那么=篆嚣,又^()=口,所以2—2+JB=0.解 二元二次方程组得:==0或卢==1,故矛盾.所以若=<g,h>时,A?2. 故总之A?2. (3)由文献[7]知,4一(18,5,4)设计存在. (4)A?8. 一 般投影线性群PCL(2,g)和4一(g+1,5,A)设计127 若A=8,则IGI=1.令P为If=1时B.的轨道个数,由文献[6]知:p: q2_2 1 0 2O q+51).=.,故这样的轨道不存在,即找不到5一子集,使得IGl:1,相应地,A? 引理2?2设,=(,D)是一个4,(33,5,A)设计,X=cr(32)u{?},如果G: PGL(2,32)区传递作用在F上,则A?2. 证明若q=2,则A?Icl=4,所以A?{1,2,4}.由引理1.4知,A?2. 定理2?2设F=(,D)是一个4一(33,5,A)设计,=GF(32)u{?},如果G: PGL(2,32)区传递作用在,上,则A?1. 证明令,是G作用在X'上的轨道,0,0:,…0是G作用在X…上的所有轨道,则 由文献[6]知,m=:=s,RIof=,?I1,2,…,51.因为A:1,所 V-ZlGIJDf=. 若A=1,则由定理1.1知V?.=J…nf,有=l.故u=l,?{l, 2,…,5}.即B的5个4一子集均匀分布在…的每个轨道里.由引理1.6知:B,Io, 1,..,, }.由于存在g()=詈Ec,使得g(0,?,,.)=(0,?,1,or),则G({0,?,,}): G({0,?,1,a}).所以B的5个4一子集并不是均匀分布在I4I的每个轨道里.故A?1. 定理2?3设F=(,)是一个4一(33,5,A)设计,X=GF(32)U{..},若G: P(2,32)区传递作用在F上,且=Io,l,?,,卢},其中?{,2,,l一 ,『_, L},则A?4. 证明由定理2.2知:此时Iol=,若A:4,则lGl:1,lDl:lGl.若4一(33, 5, 4)设计存在,则VB?D,M=IB…n0I=4.故uj=1,i?{1,2,…,5}. 即日={o,,00,a,},其中隹{,,)的5个4一子集均匀地分布在0,02,03,LI一J 04,05中. 有 128数学理论与应用 经过计算知,当且仅当JB鹾{吉,2,,l—,1,L)时,Ll一一J C({O,1,?,}),G({0,1,?,卢}),G({0,?,,卢}),G({0,?,卢,1}),G({1,?,0c,卢}) 两两不交,即分别代表4元轨道. 所以若?{,,-,1一,l一,1,则A?4.L1一 l一仅aJ 参考文献 [1]BethT,JungnickelD,andLenzH.Designtheory[M].CambridgeUniversityPress,Cambr idge,England,1993. [2]KeranenMs,KreherDL.3一designsfromPSL(2,2)withblock4and5[J].JcombineDes,2004,(12),103 — 111. [3]VanLeijenhorstCD.OrbitsontheProjectiveLine[J].JournalofCombinatorialTheory,Se riesA,1981,(31), 146—154. [4]DicksonEL.LineargroupswithanintroducitontotheGaloisfieldtheory[J].DoverPublic ation,NewYork, 1958. [5]KramerSEandMesnerMD.t— designonhypergraphs[J].DiscreteMath,1979,(15),263-296. [6]HughesRD.Onl—designsandgroups[J].AmJMath,1965,(87),761-778 [7]AUtopOW.Some3一designanda4一design[J].JCombineTheorySer,1971,(6),190, 195. [8]AlltopOW.Aninfiniteclassof4一designs[J].JCombineTheorySer,1969,(6),320— 322 [9]CusackAC,GrahamWSandKreherLD.Largesetsof3一 designsfromPSL(2,q)withblocksizes4and5 [J].JCombineDes,1995,(3),147—160. [10]KeranenSM,KreherLDandShiueSJP.Thequadruplesystemsoftheprojectivespecialli neargroup PSL(2,q)[J].JCombineDes,2003,339—351.