方程的求根公式和根的展开式及其算法

方程的求根公式和根的展开式及其算法 THE FO RM UL A OF FIND ING ROO TS AND EXPANSIO N OF ROO TS OF AN EQUATIO N AND AL GO RITHM OF CAL CUL ATING ROO TS Zheng Yi ( )Qingdao Institute of Architecture and Engineering , Qingdao 266520 Abstract In this paper ,the formula and series expansion of any root of an equation are obtained. The algorithm of calculating roots of the equation is obtained too . The new method for finding roots is founded ,it is known as the formula method on the zero of function and the root of equation Key words Zero Equation root Expansion Algorithm ( ) ( ) 引理 212 设 xi = 1 ,2 , , n是函数 y = f x 一阶零点 , i ( ) f x在 x的某邻域 B = { x :| x - x| < R} < D 内具有各阶导 i i i i 1 引言与约定- 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 数 ,则 f x的反函数 F y= f y在 D = f B 内存在 ,并且y i 1 众所周知 , Galois 理论已经证明了五次以及更高次的代数 ( ) ( ) ( ) ( )( )F″ y f ′ x = 1 x ?B 或 F′y= x ?B i i ( )f ′x (方程没有一般的代数解法 即由方程的系数经有限次四则运算 ( ) 证明 由假设 f x , 因此各个零点都是 只有有限个零点 ) ( ) 和开方运算求根的方法。但是 ,对于一般方程 f x = 0 是否 ( ) 孤立零点 。于是 xi = 1 ,2 , , n的各个邻域可以互不相交 。 i 有其它形式的公式解呢 ? 怎样得到其解 ? 本文给出了解决这 ( ) 在各个互不相交的邻域上用引理 211 , 得到 f x 在该邻域 B i 些问题的一个新的途径和方法 ———我们称为函数零点和方程 ( ) 内单调 、可导且 f ′x ?0 。再利用反函数存在定理即得结论 。 根公式表示法 。 证毕 。 ( ) 本文假设 y = f x 是开区间 D 内存在任意阶导数的实变 ( ) ( ) 又记 y= f x, x?B i = 1 ,2 , , n ; m = 1 ,2 , , t , im im im i ( ) ( ) 函数 , f x有有限多个一阶零点 xi = 1 ,2 , , n或者说方程 i 即 x是取自邻域 B 的任意的 t 个自变量值 , y是对应的函数 im i im 值 。 ) ( ) ( f x= 0 只有有限个单根 xi = 1 ,2 , , n,以后不再重复说i 明 。 2 1 dF ( ) ( ) 根据引理 211 和引理 212 ,得 F′y= , = - 1? 2( )f ′x dy 2 主要结果- 3 ( ) ( ) [ f ′x] f ″x , 。注意到复合函数求导法则 ,可知反函数- 1 ( ) ( ) F y= f y存在各阶导数。我们得到重要的定理 : ( ) ( ) ( 引理 211 函数 y = f x在一阶零点 x处 ,有 f ′x?0 i i i )(定理 211 函数零点和方程根表示定理 ) ( ) ( ) = 1 ,2 , , n。进而 ,在 x的某邻域中有 f ′x?0 ,且 f x在 i () ( ) ( ) x i = 1 ,2 , , n 是函数 f x 一阶零点 , f x 在 x 的某设 i i 该邻域内连续 、单调 。 < ( ) ( ) ( ) ( )x| < R} D 内具有各阶导数 ,则方程 f x 邻域 B = { x :| x - 证明 假设有 f ′x= 0 ,则用泰勒公式和 f x及 f ′x i i i i i i = 0 的根有公式 ( ) = 0 , 得到 x是 f x 的至少二阶零点 。这与假设矛盾 , 因此 , i n ( ) ) ( f ′x?0 i = 1 ,2 , , n。 i 1 d F d F n n ( ) ( )() f x+ + - 1 f xx= x- im im n i im ( ) ( ) 因为二阶导数 f ″x存在 ,得到一阶导函数 f ′x 在某邻 域 dy n ! dy x = x x = x imim( ) ( ) B内连续′ 。再由 f ′x?0 及连续函数的保号性定理 ,得到 f ′xi Α ) ( ) ) ( ) ( ( ?0 x ?B B′。又由于 f ′x?0 x ?B ,得到 f x在 收稿日期 :2002 - 10 - 24 。郑一 ,副教授 ,主要从事数学与计算技术 n + 1 ( ) d F 1 f ′x′= 0n + 1 n + 1 i ( ) ( ) + - 1( )1 f xn + 1im 成立 ,说明邻域边界点 x′是重根 ,得 下一步 ;否则 ,i ( ) n + 1! dy ξx = i ( ) f x′= 0 i () ξ 其中位于 x和 x之间 , x?B , x?B 。我们称公式 1为( ) f x= 0 的重根 x = x′; 到 i i im i i im i i ( ) ( ) 函数零点和方程根表示公式 。 step3 验证 f ′x不存在的点 x′是否是 f x= 0 的根 :若 i ( ) ( ) ( ) 证明 利用引理 212 及复合函数求导法则得到反函数 f x′?0 ,则转下一步 ;否则由 f x′= 0 ,得到 f x= 0 的根 x i i ( ) x = F y存在任意阶导数 。 = x′; i ( ) ( ) ( 在 y点邻域 D= f B 内对反函数 x = F y 展开成 y - im y i ) ( step4 至此 ,在每个 D= { x | x′< x < x′} i = 1 ,2 , , ni i - 1 i - 1 ) y的 Taylor 公式 ,则有 ( ) ( ) ( ) im 邻域内 , f x满足连续、单调、可导、存在反函数 F y = f y- 1 ( ) ( ) 及 F y = f y 任意阶可导。由隐函数求导公式求反函数 n dF d F 1 n ( ) ) )( ( x = F y+ y+ y y - y - + im im n im 2 n dyn ! dyy = y y = y d F dF d F im- 1 im ( ) ( ) F y= f y的 n 阶导数 : , ,, ,生成多项式2 ndy n + 1 dydy d F 1 n + 1 ) ()( y - y 2 2 3 + im n + 1 d F ( 1 d F 1 d F ) n + 1! 2 3 dy ηy = ( ) ( ) ( ) ( ) Tx= x - x+ f x- f x+ f i n 2 3 dy 2 ! 3 ! dydy( ) ( 在上式中令 y = 0 ,则必 x = F y| = xi = 1 ,2 , ) , n, y = 0 i n 1 d F n n( ) ( ) f + - 1 x; n( ) ( ) ( ) ( 注意到 x = F y是 y = f x的反函数及 y= f xm = 1 ,2 , n ! im im dy ) ( ) ηη, t,得到 x= F y。对于 y = ,位于 y和 y之间 。 im im i i i im x′+ x′i - 1 i( ),将 x代入Tx = step5 在 D 邻域内选定 x i im im n ( ) (η) ξξξ2 注意到 x = F y的单调性 ,必存在满足= F 且位于 i i i i () () x和 x之间 。于是 2式变为 1式 ,定理 211 证完 。 ( ) ( ) i im 中 ,得到 u = Tx, u= Tx; ( n - 1) m n - 1 im nm n im )(定理 212 函数零点和方程根级数展开式 u u- εε ( ) step6 设已给误差,若< ,即 step4 中计n - 1m nm ( ) 在定理 211 的条件下 ,方程 f x= 0 的根有幂级数展开式 n 1 d F m ( )f x ε 算的最后一项 im < ,则转下一步 ; 否则 ,nn ! dy x = x im 2 dF1 d F 2 ( ) ( ) f x+ f x- x= x- im 2 im i im n + 1赋给 n ,转到 step4 ;dy 2 !dy x = x x = x im im ( ) step7 得到方程 f x= 0 在邻域 D内的单根 x= x。将 i i im n d F1 nn i + 1 赋予 i ,转到 step5 ,计算下一个根 x。 i + 1 ( ) ()( ) + - 1 f x + 3 im nn ! dy x = x im 参 考 文 献 其中 x?B′, x?B′,闭邻域 B′= { x :| x - x| ?c} < B 。我 i i im i i im i 1 张志海、田伶改 “, 求无重根时代数方程根的一种数值迭代方法”, () 们称式 3为函数零点和方程根级数展开式 。 《高等学校计算数学学报》,Vol . 23 ,No . 1 ,pp . 38,44 ,20011 2 杨帆、吴新元“, 关于不用计算导数的大范围收敛迭代法的注记”, 证明 在定理 211 邻域 B 中存在闭邻域 B′= { x :| x - xi i im 《高等学校计算数学学报》,Vol . 23 ,No . 2 ,pp . 186,192 ,20011 ( ) ( ) | ?c} < B ,又由于函数 x = F y及 y = f x有任意阶导数 ,因 i ( ) 此在闭邻域 B′和 D′= f B′上二者分别连续 ,再利用闭区间 i y i () 上的连续函数有界性定理 ,注意到 2式 ,得到 () 上接第 4 页n + 1 (η)dF 1 i n + 1 ( ) lim | Ry| = lim ( )y - yn n + 1 im ( ) n + 1! n ??n ??dy 4 总结 1 n + 1 Md= 0 ?lim( ) n ??n + 1! 本文针对医学影像数据库 ,利用颜色关联图这一特征 ,对( ) n + 1 四种距离度量方法进行了实验比较 。结果表明 ,特征提取时 , (η)F ( ) 其中 y ?D′= f B′, d 为 D′的直径 , i M 。由?y i y () 泰勒级数定理得到 3。证毕。 利用颜色关联图算法 , 结合了空间信息 , 以解决健壮性问题 。 距离度量时 ,采用 J effrey 距或加权距效果最佳 。将该方法应用213 在定理 212 条件下 ,函数零点和方程根级数展 定理 于我们开发的医学影像数据库信息系统中 , 可以协助医生对 () 开式 3在含零点的函数单调闭区间上总是收敛的。 CT、MRI 等医学常用图像进行病理特征分析 ,积累临床经验 ,具 k d F ( )证明 若对于某个正整数 k ,使得 有一定的实用价值 。 = 0 ,说明 3kdy x = x im k d F 中只有有限项 , 故一定收敛 。若 ?0 , 因连续函数 k参 考 文 献dy x = x im n + 1 1 J . Huang ,S. R. Kumar ,M. Mitra ,W. J . Zhu , R. Zabin , Image indexing using dF在闭邻域 B′上有界 ,用比值审敛法即可证得 。i n + 1 color correlograms. Proc . Computer vision and Pattern recognition. pp1762, dy 768 ,19971 3 求方程全部根的算法2 M. Stricker and M. Orengo , Similarity of color images. SPIE - Storage and Retrieval for Image and Video Databases J ,pp 1381,392 ,1995 . step1 划分区间[ a , b ] ,确定零点邻域 D= { x | x′< x < i i - 1 3 G. Pass and R. Zabih , Histogram refinement for content - based image re 2 ) ( ) ( ) ( x′} i = 1 ,2 , , n:即求 f ′x= 0 和 f ′x 不存在的点 x′: a i i trieval J 1IEEE Workghop on Applications of Computer Vision. pp196 , 102 December ,1996 . x′= b ; < = x′< x<′ x′< n 0 12 4 胡晓峰、刘毅“, 基于内容检索的颜色特征匹配方法J ”《, 小型微型 ( ) f ′x′= 0 i 计算机系统》,Vol117 ,No . 12 ,pp16,11 ,19961 ( ) 验证 f x′= 0 确定重根 :若 step2 不成立 ,转i ( ) f x′= 0 i