题 袋中有 红球, 白球,今逐一从袋中取球,每次取后仍放...

题 袋中有 红球, 白球,今逐一从袋中取球,每次取后仍放... 2题 袋中有 红球， 白球，今逐一从袋中取球，每次取后仍放回，直到连续取出 3 次红球，则游戏结束。求游戏结束时取球次数的数学期望。 3 22解 从有 红球， 白球的袋中任取一球，取到红球的概率为 ，取到白球的p,35 3概率为 。 q,5 p 设 ()是恰好取球 次才首次连续取出 次红球的概率。 n,1,2,3,？n3n pp,,0 当 时，不可能取出 次红球 ，所以 。当 时，只n,1,23n,312 3pp,有一种可能，就是这 次都取到红球，所以 。 33 当 时，取球 次才首次连续取出 次红球，可以分为下列 种情况: nn,3331qp 次取到白球，以后取球 次才首次连续取出 次红球，概率是 ; 第 n,13n,112第 次取到红球，第 次取到白球，以后取球 次才首次连续取出 次n,23 pqp红球，概率是 ; n,2 第 次取到红球，第 次取到白球，以后取球 次才首次连续取出 次1,23n,33 2红球，概率是 。 pqpn,3 所以，有递推公式 2 ， 。 n,4,5,6,pqppqppqp,，，,,,nnnn123 X设 是到首次连续取出 次红球，游戏结束所需的取球次数，它的数学期望为 3 ,, EXnp,,，，，123pppnp,,n123nn1n4,, ,32,，，，，，，，10203()pnqppqppqp ,nnn,,,123n4, ,,,32,，，，3pqnppqnppqnp 。 ,,,nnn,,,123nnn444,,, ,,,, npnkpnpkpEXk,，,，,，()其中 (k,1,2,3)。 ,,,,nknnn,4433nnknn,,,,, 32EXpqEXpqEXpqEX,，，，，，，3(1)(2)(3)所以有 23232332 。 ,，，，，，，，，，3()(1)(2)()(3)EXEXEX555555 195 解这个方程，得到游戏结束所需取球次数的数学期望为 。 EX,8