伪t_模与L关系方程的解集

伪t_模与L关系方程的解集 JOURNAL OF UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLO GY OF CHINA 2 0 0 4 年 4 月 Apr . 2 0 0 4 () 文章编号 :025322778 20040220140205 Ξ 伪 t2模与 L2关系方程的解集 1 2 廖大见,赵 敏 () 1 . 淮海工学院东港学院基础部 ,江苏连云港 222069 ; 2 . 盐城师范学院数学系 ,江苏盐城 224000 摘要 :研究了 sup2 T 类与 inf2 I 类方程的解结构 ,并在特定条件下分别给出了它们的 解集 ,其中 L 为完备 Brouwer 格. T 为无穷 ?2分配伪 t2模 , I 是无穷 ?2分配蕴涵算 ( ) 子 , I = I T. 关键词 :非经典逻辑 ; t2模; 伪 t2模; 蕴涵 ; L2关系方程 中图分类号 :O153 . 1 文献标识码 :A 0 前言 ( ) 文献1 引入并讨论了完备 Brouwer 格上的伪 t2模与蕴涵算子 , 详细地研究了 T L 与 I ( ) ( ) ( ) L 的关系 , 这里 T L 与 I L 分别是 L 上无穷 ?2分配伪 t2模和无穷 ?2分配蕴涵集合, 还给出了生成 L 上伪 t2模集合与蕴涵的一种方法. 基于文献[ 2 , 文献[ 3 ]又研究了伪 t2模与 蕴涵的直积和直积分解. 本文将继续文献[ 1 ] 和[ 3 ] 的工作 , 讨论 sup2 T 类与 inf2 I 类 L2关系 方程解集. 本文涉及的格的知识可参阅文献4 . 关于 t2模的术语及概念与文献[ 5 , 6 ]中一致. 除非另外说明 , L 总是指具有最大元 1 与 最小元 0 的完备 Brouwer 格. J 指非空指标集 , 除此之外 , 对于任意的非空集合 X , 定义 X 上 的函数 1 和 0 如下 : X X ( ) ( ) 1 x= 1 , 0 x= 0 , Π x ?X. X X 1 预备知识 ) ( 定义 1 ?L 上的一个二元算子 T 称为伪 t2模 , 如果它满足下面的条件 : ( ) () () TT 1 , a= a , T 0 , a= 0 , Π a ?L ; , 1 ( ) ( ) ( ) Ta , b , c ?L , b ? c ] T a , b?T a , c. 2 另外 , 如果还满足下述条件 , 就分别称 T 为无穷 ?2分配的伪 t2模和无穷 ?2分配的伪 t2模. ( ) ) ) ( ( T a , b?L , j ?J ] T a , ?b= ?T a , b, ?j j ?J j j ?J j ( ) ( ) ( ) T a , b?L , j ?J ] T a , ?b= ?T a , b. ?j j ?J j j ?J j ( ) ?L 上一个二元算子 I 称为蕴涵算子 , 如果它满足下面的条件 : Ξ 收稿日期 :2003207207 ( ) ( ) ( ) II 1 , b= b , I 0 , b= 1 , Π b ?L , 1 ( ) ) ( ) ( Ia , b , c ?L , b ?c ] I a , b? I a , c. 2 另外 , 如果还满足以下条件 , 就分别称 I 为无穷 ?2分配的和无穷 ?2分配的. ( ) ( ) ( ) I a , b?L , j ?J ] I a , ?b= ?I a , b, ?j j ?J jj ?J j ( ) ( ) ( ) I a , b?L , j ?J ] I a , ?b= ?I a , b. ?j j ?J jj ?J j ( ( ) ) 我们分别用 T L 与 I L 表示 L 上所有无穷 ?2分配伪 t 模组成的集合与 L 上所有无 ( ) 穷 ?2分配蕴涵组成的集合. 若 L 上伪 t 模 或蕴涵同时满足无穷 ?2分配与无穷 ?2配条 件 , 则称之为无穷分配的. ( ) ( ) 很显然 , 假如 T 是一个 L 上无穷 ?2分配伪 t 模 , 那么 T ?T L , 因此 ??T L . L ×L ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( 定义 2 设 A ?L, 分别定义 I A , T A 如下 : I A a , b= ?{ u ?L A a , u? ( ) ( ) ( ) b} , T A a , b= ?{ u ?L A a , u?b} 这里假定空集的最小上界为 0 , 最大下界为 1. ( ) ( ) ( ) 定理 1 如果 T 是一个伪 t2模 , I = I T . 那么下面的结论是等价的 : ?T a , c?b ( ( ( ) ) ( ) ) ( ) Ζ c ?I a , bΠ a , b , c ?L , ?T 满足 T , ?I 满足 I . ?? ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) 定理 2 若 T ?T L , 且 T a , 0= 0 Π a ?L , 则 I ?I L , 且 T I T = T. 若 I ?I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) L , I a , 1 = 1 Π a ?L , 则 T I?T L , 且 I T I = I . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 定理 3 设 T ?T L ,且 T a ,0= 0 Π a ?L , I = I T ?I L Π a, b ?L , j ?J,则下面 j () ( ) ( ( ) ) () ( ) 的条件等价 : ?T ?a, b= ?T a, b. ?I ?a, b= ?I a, b.j ?J j j ?J j j ?J j j ?J j ( ) 我们说一个 L 上无穷 ?2分配伪 t 模 或一个 L 上无穷 ?2分配蕴涵是正则的 , 如果它 ( ) ( ) ( ( ) 满足 ?或 ?. 由定理 3 , 可以看出一个无穷 ?2分配伪 t2模 T 满足 T a , 0= 0 Π a ?L ) ( ) 是正则的当且仅当 I T 是正则的. ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) 定理 4 ?如果集合 A = { u T a , u? b} ?, 且 T ?T L , 则 T a , I T a , bô ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ?b. 特别的 , 若 S a , b?ô, 则 I T a , b是方程 T a , x= b 的最大解. ?如果集 T ( ) ( ( ) ( ) ) 合 B = { u T a , u?b} ?ô, 且 T 是无穷 ?2分配的 , 则 T a , T T a , b?b . 特别的 , ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( 若 S a , b?, 则 T T a , b是方程 T a , x= b 的最小解. ?若 A , B ?, T 是无穷 ôôT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 分配的 , 且 T T a , b? I T a , b, 则闭区间 [ T T a , b, I T a , b, 就是方 ( ) ( ) 程 T a , x= b的解集 S a , b. T ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 定理 5 ?如果集合 A = { u I a , u?b} ?ô, 且 I ?I L , 则 I a , T I a , b? ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) b . 特别的 , 若 S a , b?ô, 则 T I a , b是方程 I a , x= b 的最小解. ?如果 I 是无 I ( ) ( ( ) ( ) ) 穷 ?2分配的 , 且集合 B = { u I a , u? b} ?ô, 则 I a , I I a , b?b. 特别的 , 若 S I( ) ) ( ) ( ) ( ) ( a , b?ô, 则 I I a , b是方程 I a , x = b 的最大解. ?若 A , B ?ô, T 是无穷分配 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 的 , 且 T I a , b? I I a , b, 则闭区间[ T I a , b, I I a , b] 就是方程 I a , ) ( ) x= b 的解集S a , b.I 2 L2关系方程 在这一节中 ,我们研究 sup2 T 类与 inf2 I 类L2关系方程的解的结构与解集. 设 X、Y 、Z 为 三个非空集合. 一个从 X 到 Y 的 L2关系指一个 X ×Y 的 L2子集. 给定一个由 X 到 Y 的 - 1- 1 ( ) ( ) ( ) L2关系P , 定义从 Y 到 X 的关系 P ?P y , x = P x , y, Π x , y?X ×Y , 并称为 P 的 逆关系. 由于 L2关系皆为 L2子集 , 因此在文献[ 6 ]中定义的 L2子集的包含 、相等 、并 、交 , 都 X ×Y可以被合法地应用到 L2关系上来. 用 L 表示所有的 X 到 Y 的的关系所组成的集合 , 那 X ×Y( ) ( ) 么 L也是一个完备 Brouwer 格. 下面的讨论 ,我们均假定 T ?T L , 且 T a , 0= 0 Π a ? ( ) L , I = I T . X ×Y Y ×Z ( 定义 3 设 P ?L , Q ?L , 分别定义从 X 到 Z 上的关系 : PoQ 和 PoQ : PoQ x , TIT ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ) ) z= ?{ T P x , y, Q y , zy ?Y} , PoQ x , z = ?{ I P x , y, Q y , zy ?Y } I ( ) Π x , z?X ×Z , 并分别称 PoQ 与 PoQ 为 P 与 Q 的 sup2 T 复合和 inf2 I 复合. 由上面的定 TIX ×Y Y ×Z义显然有 :0 oQ= 0 , 0 oQ= 1 , Π P ?L , Q ?L . 容易看出 , 定 X ×Y T Y ×Z X ×Z X ×Y IY ×Z X ×Z 义 3 是文献[ 6 ]中定义 3. 9 的一种推广. 如果 T 为“ ?”,那么定义 3 也是文献7 中定义 10 及定义 11 的推广. X ×Y Y ×Z ( ) ( ) ( ) ( ) 定理 6 设 P ?L , Q?L j ?J ?Po?Q= ?PoQ. ?Po, 则 j T j ?J jj ?J Tj I( ) ?Q= ?PoQ.j ?J jj ?J Ij ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ( ) 证明 ?Π x , z ?X ×Z , 由 T ?T L 得[ Po?Q] x , z= ?{ T P x , y , T J ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ?Qy , zT P x , y, Qy , z) ) y ? Y } = ? { ?y ? Y = ?j ?J j j j ?J j ?J ( ( ( ) ( ) ) ?{ T P x , y, Qy , z) ( ) ( ) ( ) ( ) y ?Y} = ?PoQx , z = ?PoQx , z , 因此 , Poj j ?J Tj j ?J Tj T( ) ( ) ?Q= ?PoQ. 类似可证 ?成立.j ?J j j ?J Tj X ×X当 X = Y = Z , o与 o是L 上的两个二元算子 , 由定理 6 , o与 o分别是无穷 ?2分配 T I T I 的和无穷 ?2分配的. X ×Y Y ×Z ( ) ( ) ( ) 定理 7 设 P ?L , Q?L j ?J, 如果 T 是正则的 , 那么 ??PoQ =j j ?J j T ( ) ( ) ?PoQ , ??PoQ = ?PoQ .j ?J jTj ?J jIj ?J jI ( ( ) ) ) ( 证明 ?参考定理 6 的证明. ?设 T 是正则的 , 则 Π x , z ?X ×Z , 由定理 3 得 ( ) ( ) ) ) Px , y, Q y , z) ( ) ( ( ) y ?( ( ?PoQ x , z = ?{ I ? Y } = ?{ ?j j ?J j Ij ?J j ?J ( ( ) ) ) ( ( ( ) ) ) ( ( I Px , y, Q y , z) ?{ I Px , y, Q y , z) ( y ?Y = ?y ?Y} = ?PoQ j j j ?J j ?J jIX ×Y ) ( ) ( ) ( ) ( ) x , z= ?PoQx , z, 所以 ?PoQ = ?PoQ . 特别的 , 当 P ?L 且 S , j ?J jIj ?J j Ij ?J jI1 Y ×Z ?PoS , PoS ?PoS , 此外如 T 为正则的 , P, P?S ?L 时 , 如果 S ?S , 那么 Po S 2 1 2 1T T2I1I 212 X ×Y Y ×Z L , P?P, Q ?L 那么 PoQ ?PoQ , PoQ ?PoQ .1 2 1 T2 T1 I2 I X ×Y Y ×Z X ×Z - 1 ) ( 定理 8 ?如果 P ?L , Q ?L , S ?L , 那么 PoQ ?S Ζ Q ?P oS , T I - 1 - 1 ( ) ( ) ( ) ?P oPoQ?Q , PoP oS ?S . T II T ( ) ( ( ) ( ) ) ) ( ) ( ( ) 证明 ?PoQ ?S Ζ ?{ T P x , y, Q y , zy ?Y } ?S x , z Ζ T P x , y , Q T - 1 ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) y , z?S x , zΖ Q y , z?I P x , y, S x , z = I P y , x , S x , z Ζ Q y , z ? - 1 - 1 ( ) ( ) P oS y , zΖ Q ?P oS , Π x , y , z?X ×Y ×Z. II - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 ( ) ( ( ) ( ) ) ?我们有 PoQ ?P oQ , P oS ?P oS , 这样 , 由 ?得 P oPoQ ?IITTT I- 1 ( ) Q , S ?PoP oS . I TX ×Y 许多作者研究模糊关系方程 , 现在我们也来研究 L 关系方程. 假设 P ?L , S ? X ×Z Y ×ZL , 是两个给定的 L 关系 , 且 R , Q ?L 是未知的 L2关系 , 那么方程 PoQ = S 是一个 T sup2 T 类的 L2关系方程 , 记这个方程的解集为 Q , 方程 PoR = S 是一个 Inf2 I 类的 L2关系方 T T 程 , 记这个方程的解集为 R. I 定理 9 集合 Q 有如下性质 :T 3 - 1 3 3 ( ) ) ( ?令 Q = PoS , 如果 Q?ô, 那么 Q ?Q , 且 Q ?Q , Π Q ?Q . ?如果 IT T T Y ×Z ( ) ( ) Q?Q , j ?J那么 ?Q?Q . ?设 Q, Q?Q, Q?Q则 Π Q ?L , Q? j T j ?J j T 1 2 T 1 21 Q ? Q有 Q ? Q . 2 T 证明 - 1 3 ( ) ?设 Q? ô, 由定理 8 得 Q ? PoS = Q Π Q ? Q . 因此 S = PoQ ? T IT T- 1 - 1 3 ( ) PoPoS ?S , Π Q ? Q所以 PoP oS = S , 即 Q ? Q . T ITT IT ( ) ) ( ) ( ?如果 Q?Q , j ?J, 那么 Po?Q= ?PoQ= S , 因此 ?Q?Q .j T T j ?J j j ?J Tj j ?J j T Y ×Z ( ) ?如果 Q, Q?Q, Q ?L , 且 Q?Q ?Q, 那么 S = PoQ? PoQ ? PoQ 1 2 T 1 2 T1 TT2 = S , 因此 PoQ = S , 即 Q ? Q .TT X ×Y X ×Z定理 10 设 T 是 L 上无穷分配伪 t2模 , P ?L , S ?L . x , z ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ?若 Π x , z?X ×Z , A = { y ?Y S P x , y , S x , z ?ô} ?ô, 其中 S P x , T T ) ( ) ) ) ) ( ) ( ( ( ) y, S x , z表示方程 T P x , y, u= S x , z的解集 , 且 Π x , y , z ?X ×Y ×Z 集合 B 3Y ×Z , ( ( ) ) ( ) ( ) = { Q ?L Π x , z ?X ×Z , ϖ y = { u ?L T P x , y, u?S x , z } ?ô. 则集合 Q 0T - 1x , y x , z( ) ( ) ( ) S , o?A 使 M y?Q y , z?G x , zQ 的一个子集 , 其中 G = P} 是 IyT o ( ) ( ( ) ( ) ) T P x , y, S x , z, 当 y = y时; T 00 x , z( ) y = M yo 0 其它. x ( ) ( ) ) ( )( ?若 Π x , z ?X ×Z , S x , z ?2不可分解 , 且 Π x ?X , 集合 V = { y ?Y P x , y 3 ?0} 为有限集 , 则 Q = Q .T T 3 x , y x , z ( ( ) ) 证明 ?如果 Q ?Q , 那么 Π x , z?X ×Z , ϖ y 0( ) ( ?A 使得 M y?Q y ,T y o x , z ) ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) ( ( ( ) ( ) )z? G y , z, 所 以 ?T P x , y, My??T P x , y, Q y , z y ?Y y y ?Yo - 1 ( ( ( ) ( ) ) ) ( ( ( ) ( ) ( ) ) ) ??T P x , y, G y , z= ?T P x , y, PoS y , z=y ?Y y ?Y I - 1 x , z ( ( ( ( ) ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) PoPoS x , z?S x , z, 而 ?T P x , y, My? T P x , y , T TT Iy ?Y y0 0 ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) P x , y, S x , z= S x , z, 因此 ?T P x , y, Q y , z= S x , z, 即 Q ?0y ?Y 3 的一个子集. Q , 故 Q 是 Q T TT ( ) ( ) 如果 Q ? Q , 由于 Π x , z?X ×Z , S x , z?2 不可分解 , 且 Π x ?X , 当 y ?Y - T ( ( ( ) ( ) ) ( ( ( ) ( ) )( ) V 时 P x , y= 0 , 于 是 由 ?T P x , y, Q y , z= ?T P x , y, Q y , z x y ?Y y ?V x ( ( ( ( ) ( ) ) ) ) ( ( ( ) ( ) ) ) ( ) ??T P x , y, Q y , z= ?T P x , y, Q y , z?0 = S x , z, 又y ?Y - V y ?V x x x , y ) ( ) ( ( ( ) ) 由 V = { y ?Y P x , y?0} 为有限集知 ϖ y? A , 使 T P x , y, Q y, z= x 0 00 x , z ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) S x , z, 从而由定理4 得 T T P x , y, S x , z?Q y, z, 所以 My?Q y , z, 00 y o x , z 3 3( ) ( ) ( ) ( ) 再由定理 9 知 My? Q y , z? G y , z, 因此 Q ? Q , 故由 1得 Q = Q .yT T T o 定理 11 集合 R有如下性质 :I 3 - 1 3 ( ) ?假设 R = PoS , 如果 R? ô, 那么 Π R ? R, 则 R ? R . TI I ( ) ?如果 R? Rj ?J , 那么 ?R? R. j I j ?J j I Y ×Z ( ) ?如果 R, R? R, 且 R? R, 那么当 R ?L , 且 R? R ? R时 , 有 R ? R.1 2 I 1 2 1 2 I 证明 参照定理 9 的证明. X×Y X×Z定理 12 设 I 是 L 上无穷分配蕴涵 , P ?L , S ?L . x , z ( ) ( ( ( ) ) ( ) ) ?若 Π x , z?X ×Z , 集合 A = { y ?Y I P x , y, u= S x , z, u ?L } ? ( ) ( ( ) ) ( ) ô, 且 Π x , y , z?X ×Y ×Z ,集合 B = { u ?L I P x , y, u? S x , z} ? ô. 则集合 Y ×Zx , y x , z3 ( ) ( ) ( ) ( ) , Π x , z?X ×Z ,存在 y?A R= { R ?Lx , z} 是使 M y?R y , z? G0 I y o - 1 R的一个子集 , 其中 M = PoS ,I T ( ) ( ( ) ( ) ) I I P x , y, S x , z, 当 y = y时;00 x , z( ) y= Gyo 1 , 其它. ( ) ( ( ) ) ( ) ?若 Π x , z?X ×Z , S x , z, 且 Π x ?X , 集合{ y ?Y P x , y??2 分解 不可 3 1} 为有限集 , 则 R = R. I I 证明 参照定理 10 的证明. 参 考 文 献 2 4 Birkhoff G. Lattice Theory. M Rhode . Is 1 王住登 ,于延栋. Pseudo2t2norms and implication land : Amer Math. soc . coll . Pub l , 1967. operators on a complete Brouwerian lattice J . 5 王住登. On L2subsets and TL2subalgebrass Fuzzy Sets and Systems , 2002 ,132 :1132124. J . Fuzzy Sets and Systems , 1994 ,65 :59 264. 2 Baets B De , Mesiar R. Triangulgular norms on 6 于延栋 ,王住登. TL2subrings and TL2ideals product lattice J . Fuzzy sets and systems , 1999 , J . Fuzzy sets and systems , 1994 ,68 : 93 2103. 104 : 61275. 7 Sanchez E. Resolution of composite fuzzy relation 3 王住登 ,于延栋. Pseudo2t2norms and implication equationsJ . Inform. and Control , 1976 ,30 : 38 2 operators : Direct products and direct product de2 48. compositionsJ . 中 国 科 学 技 术 大 学 学 报 , () 2001 ,31 6:6562662. Pseudo2t2norms and the Solution of L2relation Equations 1 2L IAO Da2jian, ZHAO Min () 1. Department of B asic Education Donggang College , Huaihai Institute of Technology , LianYunGang , JiangSu 222069 , China ()2 . Dept . of Mathematics , Yancheng normal university , Yancheng 224000 , China Abstract : The set of solutions of sup2 T type and inf2 I type L2relation equations is discussed , and the sets of solutions to the equations under certain conditions. Where L is a complete Browerian lattice , T is an infinitely ?2distributive p seudo2t2norm on L , I is an infinitely ?2distributive implication on L , ( ) and I = I T. Key words : non2classical logic ; t2norm ; Pseudo2 t2norm ; implication ; L2relation equation